2023北京首都师范大学附属苹果园中学初三4月月考数学（PDF版，含解析）

2023北京首都师大苹中学校初三 4 月月考
数 学
考生须知：
1.本试卷共 8页，28道小题，满分 100分．考试时间 120分钟．
2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用 2B铅笔作答，其他试题请用黑
色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
4.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每题只有一个正确答案，每题 2分，共 16分）
1. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
2. 若 x 1在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是（ ）
A. x 1 B. x 1 C. x 1 D. x 1
3. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 a = b ，则下列结论中错误的是（ ）
A. a + b 0 B. a + c 0 C. b + c 0 D. ac 0
4. 若正多边形的内角和是540 ，则该正多边形的一个外角为（ ）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 90
5. 港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道. 其中海底隧道是由 33 个巨型沉管连
接而成，沉管排水总量约 76000 吨. 将数 76000 用科学记数法表示为（ ）
A. 7.6 104 B. 76 103 C. 0.76 105 D. 7.6 105
a2 +9 2a2
6. 如果 a2 + 3a +1= 0，那么代数式 + 6 的值为（ ）
a a +3
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
7. 下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化.
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（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》）
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）
A. 2018 年与 2017 年相比，我国网约出租车客运量增加了 20%以上
B. 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足 60%
C. 2015 年至 2018 年，我国出租车客运的总量一直未发生变化
D. 2015 年至 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加
8. 如图 1，一辆汽车从点 M 处进入路况良好的立交桥，图 2 反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/
时）与行驶路程（米）之间的关系.根据图 2，这辆车的行车路线最有可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每空 2分，共 16分）
x
9. 若分式 的值为 0，则 x 的值等于___________．
2x 1
10. 分解因式：ma2 4mab + 4mb2 ＝______．
11. 若用一组 x，y 的值说明命题“若 x y ，则 x2 y2 ”是假命题，则这样的一组值可以是 x =______，
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y = ______．
12. 4 月 23 日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书 22 本，其中甲同学购买的图书
数量比乙同学购买的图书数量的 2 倍多 1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书 x
本、乙同学购买图书 y 本，则可列方程组为___________．
13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
m
投掷次数（n） “出现点数为 1”的次数（频数 m） 频率
n
300 52 0.173
400 65 0.163
500 80 0.160
600 99 0.165
700 114 0.163
800 136 0.170
900 151 0.168
1000 166 0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为 1”的概率为__________（精确到 0.001）
14. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC 于点 E，则 AE＝__．
2
15. 若关于 x 的一元二次方程 x + 2(m +1)x + c = 0 有两个相等的实数根，则 c 的最小值是___________．
16. 高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每 20分
钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口 20 分钟一共通过的小
客车数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240
在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______．
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三、解答题（本题共 68分，第 17﹣22题，每小题 5分，第 23﹣26题，每小题 6分，第
27，28题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： 5 + 12 2sin 60 (2019 )0
4(2x 1) 3x +1

18. 解不等式组: 3x 8
x
5
19. 下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为 60°”的尺规作图过程．
已知：⊙O
求作：矩形 ABCD，使得矩形 ABCD 内接于⊙O，且其对角线 AC，BD 的夹角为 60°．
作法：如图
①作⊙O 的直径 AC；
②以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线 AC 上方的圆弧于点 B；
③连接 BO 并延长交⊙O 于点 D；
所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点 A，C 都在⊙O 上，
∴OA＝OC
同理 OB＝OD
∴四边形 ABCD 是平行四边形
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°（ ）（填推理的依据）
∴四边形 ABCD 是矩形
∵AB＝ ＝BO，
∴四边形 ABCD 四所求作的矩形．
20. 已知关于 x的一元二次方程 x2 + bx + c = 0 .
（1）当 c = b 2时，利用根的判别式判断方程根的情况，
（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b,c的值，并求此时方程的根.
21. 如图，在△ABC 中，AC=BC，点 D， E， F 分别是 AB，AC， BC 的中点，连接 DE，DF.
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(1)求证:四边形 DFCE 是菱形；
(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形 DFCE 的面积.
m
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的图象与反比例函数 y = （m≠0）的图象
x
的一个交点的横坐标为 1．
（1）求这个反比例函数的解析式；
m
（2）当 x＜﹣3 时，对于 x 的每一个值，反比例函数 y= 的值大于一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的值，
x
直接写出 k 的取值范围．
23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端 A 处弹跳后恰好落在人梯的顶端 B 处，其身体（看
成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点 A 水平距离为 d 米时，距地面
的高度为 h 米．
d（米） … 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 …
h（米） … 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 …
请你解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
（3）求起跳点 A 距离地面的高度；
（4）在一次表演中，已知人梯到起跳点 A 的水平距离是 3 米，人梯的高度是 3.40 米．问此次表演是否成
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功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点 A 的水平距离才能成功？
24. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 为 AB 上一点，以 AE 为直径作⊙O 与 BC 相切于点 D，连
接 ED 并延长交 AC 的延长线于点 F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若 AE＝5，AC＝4，求 BE 的长．
25. 某校计划更换校服款式．为调研学生对 A，B 两款校服的满意度，随机抽取了 20 名同学试穿两款校
服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为 20 分），并按照 1∶1∶1 的比计算综合评分．将数据
（评分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A，B 两款校服各项评分的平均数（精确到 0.1）如下：
款式 舒适性评分平均数 性价比评分平均数 时尚性评分平均数 综合评分平均数
A 19.5 19.6 10.2
B 19.2 18.5 10.4 16.0
b．不同评分对应的满意度如下表：
评分 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
满意度 不满意 基本满意 满意 非常满意
c．A，B 两款校服时尚性满意度人数分布统计图如下：
d．B 校服时尚性评分在 10≤x＜15 这一组的是：
10 11 12 12 14
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）在此次调研中，
① A 校服综合评分平均数是否达到“非常满意”： （填“是”或“否”）；
② A 校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为 ；
（2）在此次调研中，B 校服时尚性评分的中位数为 ；
（3）在此次调研中，记 A 校服时尚性评分高于其平均数的人数为 m，B 校服时尚性评分高于其平均数的人
数为 n．比较 m，n 的大小，并说明理由．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y 23）在抛物线 y = x －2ax + 1 上，其中 m≠1
且 m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含 a 的式子表示）；
（2）当 m = 0 时，若 y1= y3，比较 y1与 y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于 1 的实数 m，使 y1＞y2＞y3，求 a 的取值范围．
27. 在 ABC 中， AB = AC ，过点 C 作射线CB ，使 ACB = ACB（点 B 与点 B 在直线 AC 的异侧），
点 D 是射线CB 上一个动点（不与点 C 重合），点 E 在线段 BC 上，且 DAE + ACD = 90 ．
（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时， AD 与CB 的位置关系是______，若BC = a ，则CD 的长为
______；（用含 a 的式子表示）
（2）如图 2，当点 E 与点 C 不重合时．连接 DE ．
①直接写出 BAC 与 DAE 之间的数量关系为__________；
②用等式表示线段 BE ，CD ， DE 之间的数量关系，并证明．
2
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ ，给出如下定义：若存在 PQR 使得 S PQR = PQ ，则称
PQR 为线段 PQ 的“等幂三角形”，点 R 称为线段 PQ 的“等幂点”．
（1）已知 A(3,0) ．
①在点 P1(1,3), P2(2,6), P3( 5,1), P4(3, 6) 中，是线段OA的“等幂点”的是_____________；
②若存在等腰 OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点 B 的坐标；
（2）已知点 C 的坐标为C(2, 1) ，点 D 在直线 y = x 3上，记图形 M 为以点T (1,0) 为圆心，2 为半径
的 T 位于 x 轴上方的部分，若图形 M 上存在点 E，使得线段CD 的“等幂三角形” CDE 为锐角三角
形，直接写出点 D 的横坐标 xD 的取值范围．
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参考答案
一、选择题（每题只有一个正确答案，每题 2分，共 16分）
1. 【答案】B
【分析】观察图形，直接判断结果．
【详解】解：观察图形，张开的两脚所形成的角大约是60 ，
故选 B．
【点睛】本题考查了角的概念，正确的识别图形是解题的关键．
2.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得： x 1 0，
解得： x 1，
故选 A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数
为非负数．
3. 【答案】A
【分析】根据 a = b ，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答．
【详解】解：∵ a = b ，
∴原点在 a，b 的中间，
如图，
由图可得： a c ， a + b = 0， a + c 0，b + c 0， ac 0，
故选项 A 错误，
故选 A．
【点睛】本题考查数轴，绝对值，有理数的乘法、加法，解题的关键是确定原点的位置．
4. 【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式 (n 2) 180 求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的
360 ，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】 正多边形的内角和是540 ，
多边形的边数为540 180 + 2＝5，
多边形的外角和都是360 ，
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多边形的每个外角＝360 5＝72 ．
故选C ．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特
征，难度适中．
5. 【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n的值时，要看把原数变
成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10时，n是正数；
当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数．
【详解】数据 76000 用科学记数法表示为 7.6×104．
故选 A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为
整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
6. 【答案】D
【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据 a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．
a2 +9 2a2
【详解】 + 6 ，
a a +3
a2 +9+ 6a 2a2
=
a a +3
2
(a +3) 2a2
=
a a +3
=2a（a+3）
=2（a2+3a），
∵a2+3a+1=0，
∴a2+3a=-1，
∴原式=2×（-1）=-2，
故选 D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7. 【答案】A
【分析】根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
200 157
【详解】解：2018年与 2017年相比，我国网约出租车客运量增加了 100% 27.38% ,增加量超过
157
20% ，故选项 A 正确，
2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例超过60% ，故选项 B 错误，
2015 年至 2018 年，我国出租车客运的总量发生了变化，故选项 C 错误，
2015 年至 2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年减少，故选项 D 错误，
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故选 A．
【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8. 【答案】D
【分析】由图 2 可得，行车速度在途中迅速减小并稳定了 100 多米然后又迅速提升，说明应该是进行一次
性的拐弯，再对 4 个选项进行排除选择．
【详解】解： A.行车路线为直线，则速度一直不变，排除；
B.进入辅路后向右转弯，速度减小应该不大，排除；
C.向前行驶然后拐了两次弯再掉头行驶，中间速度应该有两次变大变小的波动呢，排除；
D.向前行驶拐了个较大的弯再进入直路行驶，满足图 2 的速度变化情况．
故选 D．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，正确理解函数图象的自变量和函数关系并对照实际问题进行分析是
解题关键．
二、填空题（每空 2分，共 16分）
9. 【答案】0
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
x
【详解】解∵分式 的值为 0，
2x 1
x = 0
∴ ，
2x 1 0
1
解得 x＝0 且 x≠ ，
2
∴x 的值为 0，
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
2
10. 【答案】m (a 2b)
【分析】先提公因式，然后用完全平方公式进行因式分解即可．
2 2
【详解】解：原式= m (a 4ab+ 4b )
2
= m (a 2b)
2
故答案为：m (a 2b) ．
【点睛】本题考查了综合提公因式与公式法进行因式分解．解题的关键在于正确的运算．
11. 【答案】 ①. 0 ②. -2
【分析】根据 x>y 给出 x、y 值，计算乘方，使 x2【详解】解：若 x=0，y=-2，则满足 x>y 的条件，
∴x2=0，y2=4，
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∴ 2 2，不符合 x2 2x 故答案为：0，-2（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是
解题的关键．
x + y = 22
12.【答案】
x = 2y +1
【分析】根据题意分别列出二元一次方程，组成方程组即可．
x + y = 22
【详解】由题意得： ，
x = 2y +1
x + y = 22
故答案为： ．
x = 2y +1
【点睛】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找准数量关系是解题关键．
13. 【答案】0.166
【分析】利用概率=出现的结果数÷数据总数，代入数据进行求解即可得到答案．
【详解】解：由题目表格知
数据总数=300+400+500+600+700+800+900+1000=5200
出现点数为“1”次数=52+65+80+99+114+136+151+166=863
∴“出现点数为 1”的概率=出现点数为“1”次数÷数据总数=863÷5200≈0.166
故答案为：0.166．
【点睛】本题主要考查了频数与频率之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9
14. 【答案】 ．
5
【分析】利用矩形的性质得到∠ADC=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，利用勾股定理计算出 AC=5，利用面
12
积法计算出 DE= ，然后利用勾股定理计算 AE 的长．
5
【详解】解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
在 Rt△ADC 中，AC= 32 + 42 = 5，
1 1
∵ DE AC= AD CD，
2 2
3 4 12
∴DE= = ，
5 5
2
12 9
在 Rt△ADE 中，AE= 32 = ．
5 5
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9
故答案为 ．
5
【点睛】本题考查了勾股定理，以及矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直
角；邻边垂直；矩形的对角线相等．
15. 【答案】0．
【分析】利用根的判别式列出方程，再确定 c 的最小值即可．
2
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 x + 2(m +1)x + c = 0 有两个相等的实数根，
∴[2(m +1)]2 4c = 0，
∴ c = (m +1)2 0，
则 c 的最小值是 0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，
根据非负数的性质确定最值．
16. 【答案】B
【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．
【详解】解：∵330 260 = 70，330 300 = 30，360 300 = 60，360 240 =120,260 240 = 20 ，
∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；
E 收费出口通过的数量大于 C 收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于 A收费出口通过的数量；B
收费出口通过的数量大于 E 收费出口通过的数量；
∴ B E C A, B D A ，
∴每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是 B．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本题共 68分，第 17﹣22题，每小题 5分，第 23﹣26题，每小题 6分，第
27，28题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 【答案】4 + 3.
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用利用特殊角的三
角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后进行加减运算即可.
0
【详解】 5 + 12 2sin60 (2019 ) ，
3
= 5+ 2 3 2 1，
2
= 4 + 3.
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 【答案】 4 x 1.
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【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
4(2x 1)＜3x +1①

【详解】 3x 8
＜x②
5
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞-4，
所以不等式组的解集为：-4＜x＜1．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 【答案】（1）见解析；（2）直径所对圆周角是直角，AO
【分析】（1）根据要求作图即可得；
（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，矩形 ABCD 即为所求；
（2）证明：∵点 A，C 都在⊙O 上，
∴OA＝OC
同理 OB＝OD
∴四边形 ABCD 是平行四边形
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°（直径所对圆周角是直角）
∴四边形 ABCD 是矩形
∵AB＝AO＝BO，
∴四边形 ABCD 即为所求作的矩形，
故答案为：直径所对圆周角是直角，AO．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，涉及到等边三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质与判定
等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．
20. 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.
【分析】（1）计算判别式的值得到△=（b-2）2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的
情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4c=0，设 b=2，c=1，方程变形为 x2+2x+1=0，然后解方程即
可．
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【详解】（1）∵c=b-2，
∴△=b2-4c=b2-4（b-2）=（b-2）2+4，
∵（b-2）2≥0，
∴△=（b-2）2+4＞0．
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2-4c=0，
若 b=2，c=1，方程变形为 x2+2x+1=0，解得 x1=x2=-1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
21. 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
（2）过 E 作 EG⊥BC 于 G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，
1 1
∴DE∥CF，DE= BC，DF∥CE，DF= AC，
2 2
∴四边形 DECF 是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形 DFCE 是菱形；
（2）过 E 作 EG⊥BC 于 G，
∵AC=BC，∠A=75°，
∴∠B=∠A=75°，
∴∠C=30°，
1 1
∴EG= CE= AC=1，
2 2
∴菱形 DFCE 的面积=2×1=2．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练
掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6
22. 【答案】（1） y =
x
第14页/共26页
（2） k 2
【分析】（1）把交点的横坐标代入一次函数解析式中求出交点的纵坐标，根据交点坐标使用待定系数法即
可求出反比例函数解析式．
6
（2）根据题意确定当 x＜﹣3 时，反比例函数 y= 的最小值大于一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的最大
x
6
值，根据反比例函数的增减性求出当 x＜﹣3 时，反比例函数 y= 的取值范围，根据一次函数的增减性求
x
出当 x＜﹣3 时一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的取值范围，再据此列出不等式并求解即可．
【小问 1 详解】
解：把 x=1 代入一次函数解析式中得 y = k(1 1) + 6 = 6 ．
∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是 (1,6)．
m
把 (1,6)代入反比例函数解析式中得6 = ．
1
∴m=6．
6
∴反比例函数的解析式为 y = ．
x
【小问 2 详解】
m
解：∵当 x＜﹣3 时，对于 x 的每一个值，反比例函数 y= 的值大于一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的值，
x
6
∴当 x＜﹣3 时，反比例函数 y= 的最小值大于一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的最大值．
x
6
∴把 x=-3 代入反比例函数解析式中得 y = = 2，把 x=-3 代入一次函数 y = k(x 1) + 6中得
3
y = k( 3 1) + 6 = 4k + 6 ．
6
∴当 x＜﹣3 时，反比例函数 y = 的取值范围是大于-2，且小于 0，一次函数 y = k(x 1) + 6(k 0) 的取值
x
范围是大于 4k + 6 ．
∴ 2 4k + 6 ．
∴ k 2 ．
【点睛】本题考查根据自变量求一次函数的函数值，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的增减
性，一次函数的增减性，熟练掌握这些知识点是解题关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）4.75 米
（3）1米
（4）不成功；应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或 4 米才能成功．
【分析】（1）建立直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接；
（2）根据表格中的数据或函数图象分析 h的最大值即可；
第15页/共26页
（3）利用待定系数法求出函数的解析式，令 d = 0 ，求 h；
（4）对比表格中的数据可知 d = 3时 h 3.4 ，故不成功，只需计算当 h = 3.4 时d 的大小，由此可知调节
人梯的方案．
【小问 1 详解】
解：如图所示.
【小问 2 详解】
解：由图可知，演员身体距离地面的最大高度为 4.75 米.
【小问 3 详解】
解：设抛物线的表达式为 h = a(d 2.5)2 + 4.75 (a 0)，
将点 (1,3.4) 2代入，得3.4 = a(1 2.5) + 4.75，
解得 a = 0.6 ．
2该抛物线为 h = 0.6(d 2.5) + 4.75．
2
当 d = 0 时， h = 0.6(0 2.5) + 4.75 =1．
起跳点A 离地面的高度为1米．
【小问 4 详解】
解：由表格可知，当 d = 3时， h 3.4 ，故不成功．
令 h = 3.4 ，即 0.6(d 2.5)2 + 4.75 = 3.4 ，
解得 d =1或 d = 4 ．
应调节人梯到起跳点A 的水平距离为1米或 4 米才能成功．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的作图，解决本题的关键
是掌握二次函数的图象与性质．
5
24. 【答案】（1）证明见解析；（2） ．
3
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE
＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接 OD，
第16页/共26页
∵BC 切⊙O 于点 D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠F，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC，
BO OD
∴ = ，
AB AC
∵AE＝5，AC＝4，
BE + 2.5 2.5
即 = ，
BE + 5 4
5
∴BE＝ ．
3
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的
关键．
25. 【答案】（1）① 是；② 3
（2）10.5 （3）m n，理由见解析
【分析】（1）①根据列表先求出 A 校服综合评分平均，再结合“非常满意”是15 x 20 来进行计算求
解；
②根据 A 校服时尚性满意度达到“非常满意”所占的百分比为15% ，用 20 乘百分比求解；
（2）根据扇形统计图分别求出 B 校服时尚性评分中不满意、基本满意、满意、非常满意人数，再确定出
中位数所在的位置，最后用中位数的求法来求解；
（3）根据频数分统计表和扇形统计图及中位数来求解．
第17页/共26页
【小问 1 详解】
19.5+19.6+10.2
解：①A 校服综合评分平均数是 16.4 ，
3
而“非常满意”是15 x 20，
所以 A 校服综合评分平均数达到了“非常满意”．
故答案为：是；
②A 校服时尚性满意度达到“非常满意”所占的百分比为15%
所以的人数为：20 15% = 3（人）．
故答案为：3；
【小问 2 详解】
解：根据题意可知：B 校服时尚性评分中不满意 20 35%=7 （人），基本满意20 10%=2（人），满意
20 25%=5 （人），非常满意 20 30%=6 （人），
中位数位于 10 和 11 位，正好是 B 校服时尚性评分在 10≤x＜15 这一组的是前两位数，
10+11
所以 B 校服时尚性评分的中位数为 =10.5；
2
【小问 3 详解】
解：m n ．
理由如下：
A 校服时尚性评分的平均数为 10.2，达到“满意”水平，由扇形图可知，20 人中对 A 校服时尚性评分达到
“满意”和“非常满意”的有 45%，即 9 人，因此 A 校服时尚性评分高于其平均数的人数m 9；B 校服
时尚性评分平均数为 10.4，小于其中位数 10.5，因此结合样本数据，在 20 人中 B 校服时尚性评分高于其
平均数的人数 n =10 ．
故m n ．
【点睛】本是主要考查了统计表和扇形统计图，平均数和中位数，理解图形，从中获取信息是解答关键．
26. 【答案】（1） x = a
（2） y2 y1，理由见解析
（3）a 的取值范围是 0 a 1
【分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；
（2）当m = 0时，这三个点分别为（ 2， y1 ），（0， y2 ），（2， y3 ），再结合 y1= y3，即可求出函数解析
式，判断即可；
（3）将（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y 23）代入 y = x －2ax + 1 中，再解不等式即可；
【小问 1 详解】
2a
解： x = = a ；
2
【小问 2 详解】
第18页/共26页
当m = 0时，
这三个点分别为（ 2， y1 ），（0， y2 ），（2， y3 ），
∵ y1 = y3 ，
∴ （ 2， y1 ）与（2， y3 ）关于对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴为 x = 0 ，
即 a = 0 ．
2
∴函数解析式为 y = x +1
∴ （0， y2 ）为抛物线的顶点．
∵ 抛物线的开口向上，
∴ 当 x = 0 时， y2 为函数 y = x
2 2ax +1的最小值．
∴ y2 y1 ．
【小问 3 详解】
将 x = m 2， x =m和 x = 2 m分别代入，得：
2
y1 = (m 2) 2a (m 2) +1，
y 22 = m 2am +1，
2
y3 = (2 m) + 2a (2 m)+1．
则有： y1 y2 = 4(a +1 m)，
y2 y3 = 4(a 1)(1 m)，
于是 y y y 成立，即为 y y 0和 y2 y1 2 3 1 2 3 0 同时成立，
也即为 a m 1和 (a 1)(1 m) 0同时成立．
① 当 a 0 时，m 1 a 0，
故m 1，不存在大于 1 的实数 m；
② 当 a 1时， a 1 0，
要使 (a 1)(1 m) 0，则m 1，也不存在大于 1 的实数 m；
③ 当 a =1时， (a 1)(1 m) = 0，不符合题意；
④ 0 a 1时，
只需取满足1 m a +1的 m 即可满足前述两个不等式同时成立，
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即 y1 y2 y3 成立．
综上所述，a 的取值范围是 0 a 1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论．
1
27. 【答案】（1）互相垂直； a
2
（2）① BAC = 2 DAE ；②BE =CD + DE ，证明见解析
【分析】（1）根据各角之间的关系得出 DAC + ACD = 90 ，即可确定位置关系；再由全等三角形的
判定和性质得出 ACD≌ ACM (AAS)，即可得出结果；
（2）①过点 A 作 AM ⊥ BC 于点M 、 AN ⊥ CB 点 N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出
CAN≌ ACM (AAS)，再由其性质即可得出结果；
②在 BC 上截取 BF = CD ，连接 AF ，由各角之间的关系得出 B = ACB = ACD，再由全等三角
形的判定和性质得出△ABF≌△ACD (SAS)， FAE≌ DAE (SAS)，即可得出结果．
【小问 1 详解】
解：当点 E 与点 C 重合时，
DAE = DAC ，
∵ DAE + ACD = 90 ，
∴ DAC + ACD = 90 ，
∵ ACD=90 ，
∴ AD ⊥ CB ，
即 AD 与CB 的位置关系是互相垂直，
若 BC = a ，过点 A 作 AM ⊥ BC 于点 M，
如图：
则 AMC = 90 = ACD，
∵ AB = AC ，
1 1
∴CM = BM = BC = a ，
2 2
在 ACD与△ACM 中，
ADC = AMC ， ACD = ACM ， AC = AC ，
第20页/共26页
∴ ACD≌ ACM (AAS)，
1
∴CD =CM = a，
2
1
即CD 的长为 a，
2
1
故答案为：互相垂直； a ；
2
【小问 2 详解】
①当点 E 与点 C 不重合时，用等式表示 BAC 与 DAE 之间的数量关系是： BAC = 2 DAE ，证明
如下：
过点 A 作 AM ⊥ BC 于点 M、 AN ⊥ CB 点 N，如图：
则 AMC + ANC = 90 ，
∴ CAN + ACB = 90 ，
∵ DAE + ACD = 90 ，
即 DAE + ACB = 90 ，
∴ DAE = CAN ，
∵ AB = AC ， AM ⊥ BC ，
∴ BAC = 2 CAM = 2 BAM ，
在△ACN 与△ACM 中，
ANC = AMC ， ACN = ACM ， AC = AC ，
∴ CAN≌ ACM (AAS)，
∴ CAN = CAM ，
∴ BAC = 2 CAM = 2 CAN = 2 DAE ；
故答案为： BAC = 2 DAE
②用等式表示线段 BE 、CD 、 DE 之间的数量关系是： BE = CD + DE ，证明如下：
在 BC 上截取 BF = CD ，连接 AF ，如图：
第21页/共26页
∵ AB = AC ，
∴ B = ACB，
∵ ACB = ACB，
∴ B = ACB = ACD，
在△ABF 和 ACD中，
AB = AC ， B = ACD ， BF = CD ，
∴△ABF≌△ACD (SAS)，
∴ AF = AD ， BAF = CAD ，
∴ BAF + CAE = CAD + CAE = DAE ，
由①知： BAC = 2 DAE ，
1
即 DAE = BAC ，
2
1
∴ BAF + CAE = BAC ，
2
1
∴ FAE = BAC ( BAF + CAE ) = BAC ，
2
∴ FAE = DAE ，
在 FAE 和 DAE 中，
AF = AD ， FAE = DAE ， AE = AE ，
∴ FAE≌ DAE (SAS)，
∴ FE = DE ，
∴ BE = FE + BF = CD + DE ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟
练运用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
3 3 3 2 5+ 2
28. 【答案】（1）①P2 , P4 ：② ，6 或 ，-6 ；（2） x 1或D 3 xD
2 2 2 2
【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与 OA2进行比较即可确定线段OA的“等幂点”；②如图，由
2
OAB是线段 OA 的“等幂三角形”，可得 S OAB =OA ．由点 A 的坐标为 A(3,0)，若记 OAB中OA边上
3
的高为 h，可得 S OAB = h = 9， 求出 h = 6 ．由 OAB是等腰三角形，点 B 在线段 OA 的垂直平分线上
2
第22页/共26页
3 3
即可求点 B 的坐标为（ ，6）或（ ，-6）；
2 2
（2）设半圆与 x 轴交于 G，H 两点，过 T 作 CH 的平行线与半圆交于 R，作 CH 的垂线交半圆于 Q，直线
y=x-3 与 y 轴交于 N，设 D（x，x-3），过 D 作 y 轴平行线，与过 C 作 x 轴平行线交于 F，求出 N(0，-3),
H(3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点 D 运动分两种情况，第一种情况点 D
2
在射线 CH，去掉线段 CH 部分运动，在 Rt△TCH 中 TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2 = 2 ，QC=2
2
+ 2 ，又因为△ECD 为锐角三角形，点 E 在QR 上运动，点 E 到 CD 的距离 h 的范围是
5+ 2
2 h 2+ 2 ，可求 h=2CD=2 2 (x-2)，3 x ； 第二种情况点 D 在射线 CU 上，去掉线段D
2
CU 部分运动，点 E 在QG 上运动，求出 GU=GH×cos45°= 2 2 ，可得 2 2 h 2+ 2 ，可求
3 2
2 2 2 2 (2 x) 2+ 2 ，解不等式即可得 x ． D 1
2
1 1 9
【详解】（1）① S OP A = OA yP = 3 3 = OA
2
，P1不是线段 OA 的“等幂点”．
1
2 1 2 2
1 1
S OP A = OA yP = 3 6 = 9=OA
2
， P2是线段 OA 的“等幂点”．
2
2 2 2
1 1 3
S OP A = OA yP = 3 1= OA
2
，P3不是线段 OA 的“等幂点”．
3
2 3 2 2
1 1
S OP A = OA yP = 3 6 = 9 =OA
2
， P4是线段 OA 的“等幂点”．
4
2 4 2
是线段OA的“等幂点”的是 P2 , P4 ，
故答案为： P2 , P4 ：
②如图，∵ OAB是线段 OA 的“等幂三角形”，
2
∴ S OAB =OA ．
第23页/共26页
∵点 A 的坐标为 A(3,0)，若记 OAB中OA边上的高为 h，
1 3
则有 S OAB = OA h = h = 9 ．
2 2
解得 h = 6 ．
∴点 B 在直线 y = 6或 y = 6上．
∵ OAB是等腰三角形，
∴点 B 在线段 OA 的垂直平分线上．
3 3 3
OA 的垂直平分线为 x= ,与直线 y = 6或 y = 6的交点为 B1（ ，6），B2（ ，-6），
2 2 2
3 3
综上所述，点 B 的坐标为（ ，6）或（ ，-6），
2 2
（2）设半圆与 x 轴交于 G，H 两点，过 T 作 CH 的平行线与半圆交于 R，作 CH 的垂线交半圆于 Q，直线
y=x-3 与 y 轴交于 N，
设 D（x，x-3），过 D 作 y 轴平行线，与过 C 作 x 轴平行线交于 F，
当 x=0 时，y=-3,N(0，-3),当 y=0 时，x-3=0，x=3，H(3，0)，
∴ON=3=OH，△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，
点 D 运动分两种情况，
第一种情况点 D 在射线 CH，去掉线段 CH 部分运动，
∵TC⊥NH，∠OHN =45°，
∴△TCH 为等腰直角三角形，
2
在 Rt△TCH 中 TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2 = 2 ，QC=2 + 2 ，
2
又因为△ECD 为锐角三角形，
第24页/共26页
点 E 在QR 上运动，
点 E 到 CD 的距离 h 的范围是 2 h 2+ 2 ，
CD=CF÷cos45°= 2 CF= 2 (x-2)，
∵线段CD 的“等幂三角形”，
1
S△CDE= h CD =CD2，
2
∴h=2CD=2 2 (x-2)，
∴ 2 2 2 (x 2) 2+ 2 ，
5 5+ 2
解得 x ，
2 2
点 D 在 H 右侧，x>3，
5+ 2
∴3 x ； D
2
第二种情况点 D 在射线 CU 上，去掉线段 CU 部分运动，点 E 在QG 上运动，
又因为△ECD 为锐角三角形，
GU=GH×cos45°= 2 2 ，
∴ 2 2 h 2+ 2 ，
∵线段CD 的“等幂三角形”，
1
S 2△CDE= h CD =CD ，
2
∴h=2CD=2 2 (2-x)，
则 2 2 2 2 (2 x) 2+ 2 ，
第25页/共26页
3 2
解得 x 1， D
2
3 2 5+ 2
D 的横坐标 xD 的取值范围为 xD 1或3 x ． D
2 2
【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三
角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角
函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解
题关键．
第26页/共26页