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北师大版八年级数学下册课件
第五章 分式与分式方程
5.1 认识分式
第2课时 分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的_______与_______都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值_______.
用式子表示就是 , .
2.（1）把一个分式中分子和分母的_________约去，这种变形称为分式的_______；分式的分子和分母没有_________，这样的分式称为___________.
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何_______，分式的值不变.即 （其中 ）.
分子
分母
不变
公因式
约分
公因式
最简分式
两个
例1 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
【点拨】（1）分式的分子、分母是单项式时，直接确定最大公因式后进行约分.
（2）分式的分子、分母是多项式时，分子、分母若能因式分解，应先因式分解，再确定最大公因式，最后将这个公因式约去.
（1）【解】 .
（2）【解】 .
（3）【解】 .
例2 下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
C
【点拨】判断一个分式是否为最简分式，关键看分子、分母是否有公因式.当分子、分母是多项式时，必须先因式分解再判断.
变式.下列分式中，是最简分式的是( )
A. B.
C. D.
B
例3 已知 ，求 的值.
【点拨】先把分式的分子、分母因式分解，再约分，最后根据 ， 的关系即可求值.
【解】原式 .
由 ，得 .
原式 .
变式.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式 .
当 时，原式 .
1.下列运算中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
2.下列分式的约分中，正确的是( )
A. B.
C. D.
C
3.若将 中的 ， 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( )
A.变为原来的2倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.变为原来的
C
4.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果是( )
A. B. C. D.
B
5.化简： ______.
6.已知 ， 是常数，分式 和 化简后的结果均是一个整式，求 的值.
解：由分式 和 化简后的结果均是一个整式，
得到 ， .
.
7.小明和小刚做了如下三张数学卡片：
小明让小刚从中任意选择两张，将其中一张上的式子作为分子，另一张上的作为分母组成一个分式.
（1） 小刚组成的分式有____个.
6
（2） 你选择的分式是 ；把这个分式进行化简，并求当 时分式的值.
[答案]
解： .
当 时，原式 .
8.使分式 的值为整数的整数 的值有多少个？请你先阅读下面的解题过程,然后回答有关问题.
解：因为 .又因为分式的值及 的值均为整数,所以 能整除 .
所以 可取的值为 , , , ,相应的 的值为 , , , .所以满足条件的 的值共有4个.
（1） 本题的解题思路是________________________________________.
先约分化简,再按 可取的值进行分类讨论
（2） 运用上述解题思路，求出使分式 的值为整数的整数 的值的个数.
解：通过约分化简，得原式 ，再讨论，求出 可取的值为0， ， ， ， ， ， ， ，共有8个.
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第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法
第1课时 同分母分式的加减法
1.同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，_______不变，把_______相加减.用式子表示为： ______.
2.同分母分式相减时，减式的分子是多项式的要加上括号，避免产生符号错误；当两个分式的分母互为相反数时，要将分式变为同分母分式.
分母
分子
例1 计算：
（1） ；（2） .
【点拨】（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果要化成最简分式或整式；（2）由 ，先把分式化成同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则运算.
（1）【解】原式 .
（2）【解】原式 .
变式.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
例2 先化简 ，再从 中选取一个你喜欢的整数 代入求值.
【点拨】先算除法，再算加法，最后从 中选取一个使原分式有意义的整数 代入计算即可.
【解】原式 .
满足 且为整数，要使分式有意义，
只能取 .
当 时，原式 .
易错示例 计算： .
【错解】原式 .
【错因分析】减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，防止出现类似错解的错误.
【正解】原式 .
1.化简： ( )
A. B. C. D.
A
2.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
C
3.当 时， ________.
4.计算: ____.
5.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
6.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式 .
当 时，原式 .
7.如图，数轴上的点 ， ， 表示三个连续的整数，对应的数分别为 ， ， .
（1） 若 与 互为相反数，则 的值为________；
解：根据题意，得 .由 ， ， 为三个连续的整数，得 ， ， ，则 的值为 .故答案为 .
（2） 若 ，先化简，再求值： .
解：依题意有 ，
代入 ，得 ，解得 .
原式 .
8.已知 ， ,用“+”或“-”连接 ， 有三种不同的形式： ， ， ,请你任选其中一种进行化简并求值,其中 .
解：下面只列出 的情况，另两种略.
.
当 时, ,原式 .
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第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程
第1课时 分式方程的概念
1. 分母中含有_________的方程叫作___________.
2.列分式方程解应用题的一般步骤
（1）_______，了解已知量与所求的是什么；
（2）设_________；
（3）找相等关系，列出_______方程.
未知数
分式方程
审题
未知数
分式
例1 下列方程中，_________是分式方程，_______是整式方程.（均填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
②③⑤
①④
【点拨】区分整式方程与分式方程的关键是看方程的分母是否含有未知数, 是一个特殊的数,它不是未知数.
变式.下列方程中，不是分式方程的是( )
A. B.
C. D.
D
例2 某工程队承接了80万 的荒山绿化任务.为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ，结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为 万 ，则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
A
【点拨】由题意可得原计划的工作效率，进而可得原计划的工作时间，根据“原计划的工作时间-实际的工作时间 天”可得答案.
变式.现代科技的发展已经进入到了 时代. 网络峰值速率为 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4 000兆数据， 网络比 网络快360秒.设 网络的峰值速率为每秒传输 千兆数据，则由题意可列方程为_ ______________.
1.下列方程中，不是分式方程的是( )
A. B.
C. D.
A
2.学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵8元，已知学校用15 000元购买科普类图书的本数与用12 000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本 元，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
B
3.下列关于 的方程中,_______是分式方程，_________是整式方程.（填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
②⑤
①③④
4.某呼吸机厂家接到一份生产300台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产20台呼吸机，结果提前2天完成任务.设原来每天生产 台呼吸机，下面列出的方程中，正确的是( )
A. B.
C. D.
A
5.工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土及时运走？设派 人挖土，其他的人运土.列方程：① ；② ；③ ；④ .上述方程中，正确的有____个.
3
6.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
Ⅰ.甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天；
Ⅲ.若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独完成也正好如期完成.
（1） 设甲队单独完成这项工程需要 天，完成下面的表格.
工程总量 所用时间/天 工作效率
甲队 1 _ ___
乙队 1 _ _____
（2） 根据题意及表中所得到的信息列出方程：_ ____________________________.
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为_______方程.
2. 解分式方程的一般步骤：（1）去_______，把分式方程转化为整式方程；（2）解_______方程；（3）_______.
3.使得原分式方程的分母为零的根称为原方程的_______，产生增根的原因是我们在方程的两边同乘了一个___________________.
整式
分母
整式
验根
增根
使分母为零的整式
例1 解方程： .
【点拨】观察方程可得，最简公分母为 ，方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程并求解.注意：一定要检验
【解】方程两边同乘 ，去分母，得
.
整理，得 .
解得 .
检验：把 代入，得 .
原方程的根为 .
变式.解方程： .
解：方程两边同乘 ，去分母，得
.
解得 .
经检验， 是增根.
原分式方程无解.
例2 若关于 的分式方程 有增根，则 的值为____.
3
【点拨】若原方程有增根，则方程中分式的分母 ，解得 是原分式方程去分母后的整式方程的解，代入即可求得 的值.
变式.若关于 的分式方程 无解，则 的值为_______.
1或
易错示例 解方程： .
【错解】去分母，得 .
解得 .
【错因分析】上述解法有三处错误：（1）去分母时忽视符号的变化；（2）去分母时漏乘没有分母的项；（3）忘记验根.
【正解】去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
经检验， 是原方程的根.
1.方程 的解为( )
A. B. C. D.
D
2.已知 是分式方程 的解，那么实数 的值为( )
A. B. C. D.
B
3.已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
B
4.关于 的分式方程 有增根，则 的值是____.
2
5.解分式方程：
（1） ；
解：去分母，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
经检验， 是原方程的根.
（2） .
解：去分母，得 .
化简、整理，得 .
解得 .
经检验， 是原方程的根.
6.当 为何值时，关于 的方程 会产生增根？
解：方程的两边都乘 ，得
.
化简，得 .
分式方程的增根是 或 .
当 时， ，
当 时， .
当 或-4时，关于 的方程 会产生增根.
7.阅读下列材料：
关于 的分式方程 的解是 ， ；
，即 的解是 ， ；
的解是 ， ；
的解是 ， .
（1） 请观察上述方程与解的特征，猜想关于 的方程 的解是什么，并利用方程解的概念进行验证.
解：猜想：关于 的方程 的解是 ， .
验证：当 时，左边 右边，所以 是方程的解；
当 时，左边 右边，所以 是方程的解.
（2） 根据以上规律方法解关于 的方程： .=
解： 可变形为 ，
或 .
， .
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第五章 分式与分式方程
5.1 认识分式
第1课时 分式的概念
1.整式 除以整式 ，可以表示成 的形式.如果 中含有字母，那么称 为_______.其中 称为分式的_______， 称为分式的 _______.
2.一般地,对分式 都有：
分式有意义 ________；
分式没有意义 ________；
分式的值为 ________________.
分式
分子
分母
且
例1 在代数式 ， ， ， ， ， 中，分式的个数是( )
A. B. C. D.
C
【点拨】判断一个代数式是否为分式，关键是看分母是否含有字母，并且一定要注意，不能把原式变形（如约分）后再判断，必须根据原来的形式进行判断，另外 是一个数，而不是一个字母.
变式.在式子① ；② ；③ ；④ 中，分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
例2 （1）当 取何值时，分式 有意义？
（2）当 取何值时，分式 的值为
（3）当 为何值时，分式 的值为负数？
（4）当 时，求分式 的值.
【点拨】分式是否有意义，与分子无关，只要分母不等于0，分式就有意义；分式的值为0的条件是分子等于0，分母不等于0；分式的值是负数的条件是分子分母异号；求分式的值，若分式能化简，则需先化简，再代入求值，若不能化简，则将字母的值直接代入计算.
（1）【解】由 ，得 且 .
（2）【解】由 ，且 ，得 .
（3）【解】由题意，得 或
解得 .
（4）【解】把 代入，得 .
变式（1） 分式 无意义的条件是________.
（2） 当 ______时，分式 的值为0.
（3） 当 时，分式 的值为_______.
易错示例 若分式 的值为0，则 的值为______.
【错解】
【错因分析】分式的值等于0，必须同时满足两个条件：①分子等于0，②分母不等于0.错解只考虑了分子等于0，而忽略了分母不等于0这个条件.
1.下列式子中是分式的是( )
A. B. C. D.
B
2.下列各式中，无论 取何值，分式都有意义的是( )
A. B. C. D.
B
3.当 ______时，分式 的值为0.
4.某趟“和谐号”动车始发站为南昌西站，终点站为赣州西站，线路全长 ，平均速度为 .计划提速 ，那么提速后这趟动车从南昌西站到赣州西站节约的时间为_ _____________ .
5.当 时，分式 无意义；当 时，分式的值为零.求 的值.
解： 分式有意义的条件是分母不为零，
当 时，分式无意义，
， .
当 时，分式的值为零，
， .
.
6.对于分式 ，当 时，下列说法中正确的是( )
A.分式的值为0 B.分式无意义
C.当 时，分式的值为0 D.当 时，分式的值为0
D
7.观察下列各式： ， ， ， ， ， ，根据其中的规律可得 _ __________（用含 的式子表示）.
8.已知分式 ，且不论 取何实数，该分式总有意义，求 的取值范围.
解：因为 ，且 ，
所以当 ，即 时，不论 取何实数，分式 总有意义.
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第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程
第3课时 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）_______，了解已知量与所求的是什么；
（2）设 _________ ；
（3）找相等关系，列出___________；
（4）解这个___________；
（5）_______，看所求的根是否满足方程和符合题意；
（6）写出答案.
审题
未知数
分式方程
分式方程
验根
例1 为了进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地 和 的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚 到达目的地.分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
【点拨】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为 ，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为 ，由时间关系“甲校师生比乙校师生晚 到达目的地”列出方程即可求解.
【解】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为 ，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为 .
根据题意，得 ，解得 .
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，所以 .
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 ， .
变式.第5代移动通信技术简称 .某地已开通 业务，经测试 下载速度是 下载速度的15倍.小明和小强分别用 与 下载一部600兆的公益片，小明所用的时间比小强快 .求该地 与 的下载速度分别是每秒多少兆.
解：设该地 的下载速度是每秒 兆，则该地 的下载速度是每秒 兆.
由题意得 ，解得 .
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意.
.
答：该地 的下载速度是每秒4兆， 的下载速度是每秒60兆.
例2 甲、乙两个工程队计划修建一条长 的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路 ，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.
（1）甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少要修路多少天？
【点拨】（1）根据等量关系“甲工程队单独完成修路任务所需天数 乙工程队单独完成修路任务所需天数”列方程可求解；（2）由“两个工程队修路总费用不超过5.2万元”列不等式可求解.
（1）【解】设甲工程队每天修路 ，则乙工程队每天修路 .
根据题意，得 ，解得 .
经检验， 是所列分式方程的根，且符合题意.
所以 .
答：甲工程队每天修路 ，乙工程队每天修路 .
（2）【解】设甲工程队修路 天，则乙工程队需要修路 .
所以乙工程队需要修路 （天）.
由题意，可得 ，
解得 .
答：甲工程队至少要修路8天.
1.“十一”黄金周期间，几个同学租一辆面包车前往某旅游景点游玩.面包车的租价为180元，出发时，又增加了2个同学，结果每个同学比原来少分担了3元车费.求原先参加游玩的同学人数.若设原先参加游玩的同学有 人，则可得方程( )
A. B.
C. D.
A
2.我国古代著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
A
3.随着市民环保意识的日渐增强，文明、绿色的环保祭扫方式（鲜花祭奠、网络祭奠等）正成为一种趋势.清明节期间，某花店用4 000元购买了若干花束，很快就售完了，接着又用4 500元购买了第二批花束.已知第二批花束的数量是第一批花束数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元.若设第一批花束的数量为 束，则可列方程为_ _______________.
5.某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本的价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.
（1） 甲、乙两种图书每本的价格分别为多少元？
解：设乙图书每本的价格为 元，则甲图书每本的价格是 元.
根据题意可得 ，
解得 .
经检验， 是所列方程的根，
则 .
答：乙图书每本的价格为20元，甲图书每本的价格是50元.
（2） 如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1 060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
解：设购买甲图书 本，则购买乙图书 本.
依题意有 ，
解得 .
故 .
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书.
6.某社区拟建 ， 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多 ，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元.用 建 类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 .
（1） 每个 ， 类摊位的占地面积各为多少平方米？
解：设每个B类摊位的占地面积为 ，则每个A类摊位的占地面积为 .
根据题意，得
,解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
.
答：每个A类摊位的占地面积为 ，每个B类摊位的占地面积为 .
（2） 该社区拟建 ， 两类摊位共90个，且 类摊位的数量不多于 类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最低费用.
解：设拟建A类摊位 个，则拟建B类摊位 个，建造90个摊位的费用为 元.
由题意，得 ， .
.
， 随 的增大而增大.
当 时， 有最小值.
最低费用： （元）.
建造这90个摊位的最低费用是10 630元.
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第五章 分式与分式方程
5.2 分式的乘除法
1.分式的乘除法法则
（1）两个分式相乘，把分子相乘的_____作为积的_______，把分母相乘的_____作为积的_______.可表示为： .
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母_______位置后再与被除式_______.
可表示为： ______=_____.
（3）两个分式相乘除时，如果分子、分母都是单项式，可以直接运用法则计算；如果分式的分子、分母有多项式，那么要先对多项式进行___________，然后运用法则进行计算，注意最后结果要化为 ___________或 _______.
积
分子
积
分母
颠倒
相乘
因式分解
最简分式
整式
2.分式的乘方：分式的乘方等于把分子、分母各自_______.可表示为： 为正整数 .
3.分式的乘除混合运算可以统一为_______运算.乘除是同级运算，一般情况下，要按照___________的顺序进行运算，如果有括号，那么应先算_________的，再算
_________的.
乘方
乘法
从左到右
括号内
括号外
例1 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【点拨】在分式乘除、乘方的混合运算中，先算乘方，再算乘除；乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算；当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，从而达到约分的目的.
（1）【解】原式 .
（2）【解】原式 .
（3）【解】原式 .
变式.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
例2 先化简 ，再选一个合适的数作为 的值代入求值.
【点拨】先将分式的乘除混合运算统一为乘法运算，约分化为最简分式或整式后，再取合适的 值代入.
【解】原式 .
取 ，原式 .（答案不唯一）
变式.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式 .
当 时，原式 .
1.计算 的结果为( )
A. B. C. D.
B
2.计算 的结果为( )
A. B. C. D.
B
3.下列计算中结果正确的有( )
① ；② ；
③ ；④ .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
4.计算： ____.
5.李先生买了两只灯泡，它们的额定功率分别是 ， ，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的____倍.
3
6.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
7.若 等于它的倒数，试求 的值.
解：原式 .
因为 等于它的倒数，所以 .
当 时，原式 ；
当 时，原式 .
8.观察下面一列单项式： ， ， , , ， .
（1） 计算这列单项式中一个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？
解： ；
发现：从第二个单项式开始，每个单项式与它前一个单项式的商为 .
（2） 根据你发现的规律写出第 个单项式.
解： 从第二个单项式开始，每个单项式与它前一个单项式的商为 ，
第 个单项式为 .
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第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减法（2）
分式的混合运算顺序和实数的混合运算顺序相同，先算_______，再算_______，最后算_______，如果有括号先算_____________.计算过程中应灵活运用交换律、结合律、分配律等. 结果要化为_________________.
乘方
乘除
加减
括号里面的
最简分式或整式
例1 计算： .
【点拨】把 变形为 ，进而将其看作分母是1的式子，即 ，最后计算即可.
【解】原式
.
例2 先化简，再求值： ，其中 .
【点拨】有关分式的混合运算，一定要弄清楚运算顺序，即先把括号里的通分，再进行分式的乘除运算.
【解】原式 .
当 时，原式 .
变式.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式
.
，
.
原式 .
易错示例 计算： .
【错解】原式
.
【错因分析】乘法对加法的分配律为 ，但除法运算没有分配律，错解正是套用了乘法分配律而致错.
【正解】
原式
.
1.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
B
2.已知两个分式： , ,其中 ,则 与 的关系是( )
A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D. 大于
C
3.若 ，则代数式 的值为( )
A. B. C. D.
D
4.计算： ______.
5.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
6.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式 .
当 时，
原式 .
7.已知式子 .
（1） 请对上式进行化简；
解：原式 .
（2） 如图，若 从 中取一个合适的整数，则该式的值对应的点落在数轴上的第_______________段上.（填写序号即可）
解：满足 的整数有 ， ， ， ， ，但 ， ， ，所以 或3.当 时，原式 ，该分式的值对应的点落在数轴上的第②段上.（或当 时，原式 ，该分式的值对应的点落在数轴上的第②段上）
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北师大版八年级数学下册课件
第五章 分式与分式方程
5.3 分式的加减法
第2课时 异分母分式的加减法（1）
1.通分：利用分式的___________，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把_________的分式化成_________的分式，这样的分式变形叫作通分.其关键是确定几个分式的_____________.
2.求最简公分母的方法：①将能因式分解的公分母进行因式分解；②取各分母系数的_____________；③取所有出现的字母（因式）；④相同字母（因式）的指数取
_________.
基本性质
异分母
同分母
最简公分母
最小公倍数
最高的
3.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先_______，化为_________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为：
_____ _____=________.
通分
同分母
例1 通分：
（1） 与 ；
（2） , , .
【点拨】通分的关键是确定几个分式的最简公分母，写出最简公分母后，还要确定各分式的分子、分母所乘的公因式，这个公因式就是最简公分母除以原分母所得的商.（1）的最简公分母是 ；（2）的最简公分母是 .
（1）【解】∵最简公分母是 ，
，
.
（2）【解】∵最简公分母是 ，
，
,
.
例2 计算：
（1） ；
（2） .
【点拨】先通分，把它们化成同分母分式，然后再加减，注意符号运算.
（1）【解】原式 .
（2）【解】原式
.
变式.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
【解】原式
例3 甲、乙两位采购员一个月两次同时到某店购买饲料.两次饲料的价格有变化，第一次的价格为 元/千克，第二次的价格为 元/千克（ ， 均是正数，且 ）.两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买1 000千克，乙每次用去1 000元.
（1）甲、乙两人所购饲料的平均单价各是多少？
（2）谁的购货方式更合算？
【点拨】要比较谁的购货方式更合算，关键是比较甲、乙两位采购员所购饲料的单价大小，为此可采用作差法来比较.
（1）【解】根据题意，得甲所购饲料的平均单价是
（元），
乙所购饲料的平均单价是 （元）.
（2）【解】 ，
又 ， 是正数，且 ，
.
，即 .
乙的购买方式更合算.
1.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
A
2.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
B
3.分式 与 的最简公分母是___________________.
4.计算 的结果是______.
5.已知 ，则实数 ____.
6.已知 ， ，试求 的值.
解： ， ， .
7.已知下面一列等式：
, , , , .
（1） 请按这些等式左右两边的结构特征写出一般性等式；
解：一般性等式为 .
（2） 验证你写出的等式的正确性；
解：因为 ，所以一般性等式成立.
（3） 计算： .
解：原式 .
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第五章 分式与分式方程
积累与提高
例1 .
【点拨】该题为分式的混合运算，运算顺序为：先算括号里的，通分后，再把除法转化为乘法.注意最后结果要利用约分化为最简分式或整式.
【解】原式
.
方法归纳
解决分式的混合运算问题，除了要熟练掌握运算顺序及各种运算的法则外，有时还要注意观察和巧妙利用公式，学习时要注意用心体会.
例2 先化简 ，然后从 范围内选取一个合适的整数作为 的值代入求值.
【点拨】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简式子，再选取使分式有意义的 的整数值代入计算可得.
【解】原式 .
范围内的整数有 ， ， ， ， ，其中能使原分式有意义的 只有 ， ， .
取 ，则原式 .
方法归纳
此类题目的解决思路一般是通过分式的混合运算法则将分式化简，然后根据要求代入求值.需要注意的是有时未知数的取值具有开放性，这时取值除了要保证原分式有意义外，还要保证计算过程中所有的分式均有意义.
例3 解方程： .
【点拨】方程两边都乘最简公分母 ，化为整式方程，然后进一步求解即可.
【解】方程两边同时乘 ，
得 .
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
方法归纳
本题考查了分式方程的解法.解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程.另外，解分式方程时一定要有验根的过程.
例4 若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
C
【点拨】先解分式方程，用含 的式子表示出方程的解，然后根据解的情况列出不等式，解之即可.需要注意的是，使分式方程无解的字母系数的值应舍去.
方法归纳
此题考查了分式方程及一元一次不等式的解法，求得分式方程的解，然后由题意列出不等式并综合考虑分式方程“无解”的情况是解题的关键.
例5 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化. 某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购 种茶叶数比 种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒的进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍.
（1） ， 两种茶叶每盒的进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 ， 两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元.两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素）.求第二次购进 ， 两种茶叶各多少盒.
【点拨】（1）根据等量关系“所购B种茶叶数比A种茶叶多10盒”列分式方程可解决问题；（2）根据第二次所购茶叶的利润为5 800元列一元一次方程可解决问题.
（1）【解】设A种茶叶每盒的进价为 元，则B种茶叶每盒的进价为 元.
根据题意，得
.
解得 .
经检验， 是原方程的根.
（元）.
， 两种茶叶每盒的进价分别为200元、280元.
（2）【解】设第二次A种茶叶购进 盒，则B种茶叶购进 盒.
打折前A种茶叶的利润为 .
B种茶叶的利润为 .
打折后A种茶叶的利润为 .
B种茶叶的利润为0.
由题意得 .
解方程，得 .
（盒）.
第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒.
方法归纳
解分式方程应用题时，关键是要读懂题意，找到合适的等量关系并列出方程.一般题目中会有两个等量关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中一个等量关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数.另外，要注意结果必须符合实际.
本章知识是初中数学“数与式”中的重要内容，当然也是中（学）考的必考内容，其中分式的有关概念（有意义、值为零、最简分式等），分式的基本性质，分式的运算，分式方程等知识是考查的重点，各种题型均有涉及，以基础题为主，难度一般不大.
考点一 分式的基本概念
1.[2021·黑龙江绥化] 若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A. B. 且
C. 且 D.
C
2.[2023·四川凉山州] 分式 的值为0，则 的值为( )
A. B. C. D.
A
考点二 分式的基本性质
3.[2020·河北] 若 ，则下列分式化简正确的是( )
A. B. C. D.
D
考点三 分式的运算
考点四 分式方程的解法
C
考点五 分式方程的应用
1.当 时，下列分式没有意义的是( )
A. B. C. D.
B
2.下列各式从左到右变形正确的是( )
A. B.
C. D.
B
3.计算 的结果为( )
A. B. C. D.
A
4.如果 ，那么代数式 的值是( )
A. B. C. D.
A
5.分式 , , 的最简公分母是______________.
6.若关于 的方程 有增根，则 ____，增根是 ____.
7.解分式方程： .
解：去分母得 .
去括号得 .
解得 .
经检验， 是分式方程的解.
8.先化简 ，再自选一个合适的 值代入求值.
解：原式
.
当 时，原式 .
9.请先阅读下面的计算过程,再回答问题．
A
B
C
.
（1） 上述计算过程中,从步骤____（填序号）开始出现错误.
A
（2） 从 到 是否正确？_________.若不正确,错误的原因是_____________．
（3） 请写出正确的解答过程.
解：
.
不正确
不能去分母
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