浙江省温州市龙湾九校联考2023-2024学年九年级下学期数学返校质量检测卷
1．（2024九下·龙湾开学考）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为7，点A在⊙O外，
∴OA＞7，
∵5、6、7都不符合，只有8符合题意.
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
2．（2024九下·龙湾开学考）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中，发生可能性最小的是（ ）
A．朝上一面的点数是3 B．朝上一面的点数是3的倍数
C．朝上一面的点数小于3 D．朝上一面的点数大于3
【答案】C
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： A、朝上一面的点数是3的可能性的大小是，
B、朝上一面的点数是3的倍数的可能性的大小是=，
C、朝上一面的点数小于3的可能性的大小是=，
D、朝上一面的点数大于3的可能性的大小是=，
∵，
∴任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中，发生可能性最小的是朝上一面的点数是3的可能性.
故答案为：A.
【分析】根据概率的公式，一个事件有n种可能，其中事件A有m种可能，那么事件A的概率P（A）=，分别算出各种情况的概率，进行比较即可.
3．（2024九下·龙湾开学考）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，若CE∶AE＝2∶3，BC＝10，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CE∶AE=2∶3，
∴AE∶CE=3∶2，
∴AE∶（AE+CE）=3∶(3+2)，
∵DE∥BC，
∴ ADE∽ ABC，
∴=，
∵BC=10，
∴=，
∴DE=6，
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质求出AE∶AC=3∶5，根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例建立方程，可求出DE的长.
4．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝144°，则∠AOC的大小是（ ）
A．36° B．72° C．46° D．92°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180°-144°=36°，
∴∠AOC=2∠B=72°.
故答案为：B.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，然后再根据圆周角定理求得∠AOC的度数即可.
5．（2024九下·龙湾开学考）关于二次函数y＝－x2＋2x－3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝－1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（－1，－2） D．图象与x轴没有交点
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝－x2＋2x－3 =--2，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2），故A、C不符合题意；
∵a=-1＜0，抛物线开口向下，
∴图象与x轴没有交点，故D正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B不符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先将二次函数的解析式配成顶点式，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，从而逐一分析即可求解.
6．（2024九下·龙湾开学考）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针不落在“I”所示区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：不落在“I”所示区域的概率为.
故答案为：B.
【分析】利用所示区域占的圆心角度数，求出概率，即可解出.
7．（2024九下·龙湾开学考）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形ABCD的BC边上取中点，以点为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点，过点作FG，交AD的延长线于点，得到矩形CDGF.若，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设CF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，
由题意可知，矩形CDGF满足黄金比例，
即AB∶BF=，
∴，
∴x=-1.
故答案为：C.
【分析】设CF=x，根据黄金分割的意义列出比例，进而求解.
8．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知点在以AC为直径的上，过作交于，连结BC，CD，AD，AD与BC交于点.若，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵O是AC的中点，
∴=，
又∵=，
∴=，
∵OA=OD.
∴∠ODA=∠OAD，
∵OD∥AB，
∴∠ODA=∠BAE，
∴∠OAD=∠BAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°，
∴ ABE∽ ADC，
∴=，
∵AE=1，
∴AC=.
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式并结合题意求出=，根据等腰三角形的性质及平行线的性质求出∠OAD=∠BAE，根据圆周角定理求出∠B=∠ADC=90°，判定 ABE∽ ADC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解.
9．（2024九下·龙湾开学考）关于的二次函数.甲同学认为：若，则当时，随的增大而增大.乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或.以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=1-，
当m＜0时，1-＞1，
∴当x≦1时，y随x的增大而增大，故甲同学的看法正确；
可设二次函数与x轴交点横坐标为，，
∴+=，=-，
由题意得，=3，
∴(x1-x2)2=9，
∴(x1+x2)2-4x1x2=9，
∴
化简整理5m2-4m-1=0，
解得m=1或m=-，
经检验：m=1或m=-都符合题意，故乙同学的看法也正确.
故答案为：B.
【分析】求出抛物线的对称轴，由函数的性质判断甲说法正确；根据二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，结合根与系数关系得出关于m的方程，解方程即可.
10．（2024九下·龙湾开学考）方方同学将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦BC向下翻折得到图③，最后沿弦BD翻折得到图④.若点E恰为弧BD的中点，则AD：DB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图：设半径为r，
连接AC、CD、DE、EB、OC、OD、OE，BD，可得：
===，
∴AC=CD=DE=BE，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOC==45°，
∴∠BOD=90°
∴BD=r，
如图④：AD=2r-r，
∴AD：DB ==.
故答案为：A.
【分析】根据折叠和圆的相关知识得出∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB，之后根据圆周角知识求解.
11．（2024九下·龙湾开学考）若，则的值为 .
【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴2a=3b，
∴===2.
故答案为：2.
【分析】根据比例的性质得2a=3b，从而用3b替换待求式子中的2a，分子、分母分别合并同类项，然后约分化简即可解答.
12．（2024九下·龙湾开学考）已知圆心角为的扇形的孤长为，则该扇形的面积为 .
【答案】60π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，
∵圆心角为150°的扇形的弧长为 ，
∴= ，
解得：r=12，
∴扇形的面积为×12×10π=60π .
故答案为：60π.
【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r，再根据扇形的面积公式即可求解.
13．（2024九下·龙湾开学考）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为 .
【答案】（1，-1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移3个单位得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7，
再向上平移2个单位，得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7+2=-x2+2x-2=-(x-1)2-1，
平移后抛物线的顶点坐标为（1，-1）.
故答案为：（1，-1）.
【分析】根据平移的规则，左加右减、上加下减即可求出平移后的抛物线，进而求出顶点坐标.
14．（2024九下·龙湾开学考）如图，的半径是5，点是弦AB延长线上的一点，连结OC，若，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过O作OH⊥AB于H，连接OB，
∴∠OHC=90°，
∵∠C=30°，
∴OH=OC=×8=4，
∴CH=OH=4，
∵⊙O的半径是5，
∴BH===3，
∴BC=CH-BH=4-3，
故答案为：4-3.
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OB，由含30°的直角三角形的性质得出OH=4，求出CH=4 ，由勾股定理得出BH=3，即可求出BC的值.
15．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知抛物线（a、b均不为0)与双曲线的图象相交于三点.则不等式的解是 .
【答案】－2＜x＜－1或0＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由 ax2+bx＜+1得
ax2+bx-1＜，
根据图象可知不等式的解集为：
-2＜x＜-1或0＜x＜1，
故答案为：-2＜x＜-1或0＜x＜1.
【分析】将不等式变形后，找出二次函数的图象在双曲线的下方部分相应的自变量的取值范围，可直接写出不等式的解集.
16．（2024九下·龙湾开学考）我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为弧CD的中点，连结BG，GF，FC，BG交CF于点P，则△PGF与△PBC的面积之比为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OB、OG，过点G作GK⊥OC于K，
∵六边形为圆内接正六边形，
∴∠BOC=60°，∠BOF=120°，
OB=OC=OF=OG=r，
∵点G为弧CD中点，
∴∠COG=30°，
∵GK⊥OC，
∴GK=r·sin30°=r，
OK=r·cos30°=r，
∴FK=OF+OK=r，
在Rt FGK中，
FG2=FK2+GK2=(r)2+(r)2=(2+)r2，
∵=，
∴∠GFC=∠GBC，
∴∠FPG=∠BPC，
∴ FGP∽ BCP，
∴===2+.
故答案为：2+.
【分析】连接OB、OG，过点G作GK⊥OC于K，由正六边形性质得∠BOC=60°，∠BOF=120°，再运用解直角三角形及勾股定理可得GK、OK、FK、FG2的值，再根据 FGP∽ BCP得出△PGF与△PBC的面积之比为2+.
17．（2024九下·龙湾开学考）一个不透明的袋子中装有3个完全相同的小球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出一个小球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色．圆圆同学认为“两次摸出的小球颜色只有两种结果，要么相同，要么不同，所以两次摸出的小球颜色相同的概率是”．你认为圆圆的看法正确吗？请用画树状图或列表法说明理由．
【答案】解：圆圆的看法不正确．理由如下：
根据题意列出树状图，
，即圆圆的看法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】画树状图，由图可知：共有9种可能的结果，两次摸出的小球颜色相同有5种，再由概率公式求解即可.
18．（2024九下·龙湾开学考）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得.
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
【答案】（1）解：如图，点D就是所求的点，
（2）解：如图，BE就是所求的△ABC的角平分线，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得出结论.
19．（2024九下·龙湾开学考）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）若AB＝10，BC＝6，DE＝3，求BF的长度．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠EDA＝90°，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAB．
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°．
∴∠EDA＝∠AFB．
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：在Rt中，，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、及垂直的定义∠AFB=∠D=90°，由平行线的性质得到∠EAD=∠ABF，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）根据矩形的性质得AD=BC=90°，根据勾股定理求出AE，再根据相似三角形性质对应边成比例建立方程求解即可.
20．（2024九下·龙湾开学考）设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0≤m≤4，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数图象过点(1，0)和点(3，0)，
∴设二次函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
将x＝0，y＝－3代入，得－3＝3a，
∴a＝－1．
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3；
（2）解：∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴当x＝2时，y取得最大值为1．
当x＝0或x＝4时，y取得最小值为－3．
∵0≤m≤4，
∴－3≤n≤1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数图象过点(1，0)和点(3，0)，设出交点式，再代入x=0，由可求出a，即可求出函数解析式；
（2）将（1）中所求的解析式配成顶点式，得当x＝2时，y取得最大值为1；当x＝0或x＝4时，y取得最小值为－3，从而即可求解.
21．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
22．（2024九下·龙湾开学考）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE，BD，CE，CE分别与AD，BD交于点F，G．
（1）若BE＝3CD，BC＝12，求AF的长．
（2）求证：GC2＝GF·GE．
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
（2）证明：在平行四边形ABCD中，，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据相似三角形的性质、结合比例的性质及已知可求出AF=2DF，根据平行四边形的性质求出BC=AD=12，即可求解；
（2）根据平行四边形性质求出AD∥BC，CD∥AB，判定 GDF∽ GBC， CDG∽ EBG，根据相似三角形的对应边成比例及等量代换求出=，根据比例性质即可求证.
23．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．
（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．
（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．
【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
∴∠ABE＋∠BAE＝90°．
∴＝180°．
∴＝180°．
∵AC＝BD，
∴．
∴．
∴．
∴＝90°．
∴∠ACB＝45°．
（2）解：如图，连结BO，DO，过点作交BD于点.
在Rt中，，
（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF，即点F是BC的中点．
又∵点O是BM的中点，
∴OF是△BCM的中位线．
∴CM＝2OF．
∵DM⊥BD，AC⊥BD，
∴DM∥AC．
∴AD＝CM．
∴AD＝2OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 根据圆周角的度数和弧的度数的关系，即可求解；
（2）连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H，根据圆周角和圆心角的关系，求得∠BOD=120°，在Rt BHO，求出OH、BH，进而求得BD、AC，即可求解四边形面积；
（3）延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．根据中位线定理求得CM＝2OF，再根据同一平面内，同时垂直于一条直线的两条直线平行得出DM∥AC，即可证明AD＝2OF．
24．（2024九下·龙湾开学考）在二次函数复习课上，李老师为检验同学们对函数知识的掌握情况，给出一个关于的函数.下面是方方同学的探究过程，请予以补充完整.
（1）当时，对于函数随的增大而 ，且.对于函数随的增大而 ，且.结合上述分析，可以发现对于函数，当时，随的增大而 .
（2）当时，对于函数，取若干自变量与函数的对应值如下表：
0 1 2 3
0 5
求的值，并在给出的平面直角坐标系中画出当时函数的图象.
（3）过点作平行于轴的直线，请结合(1)(2)的分析，当直线与函数的图象有两个交点时，求的取值范围.
【答案】（1）减小；减小；减小
（2）解：当时，.
图象如下：
（3）解：当x=-2时，求得y=，如图，
当直线与函数的图象有两个交点时，求的取值范围：0﹤n﹤.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象
【解析】 【解答】（1）当-2≤x﹤0时，对于函数==-x，随x的增大而减小，且﹥0.对于函数=-2x+2，随x的增大而减小，综上所述，可以发现对于函数y，当-2≤x﹤0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小，减小，减小.
【分析】（1）由一次函数和二次函数的性质即可求解；
（2）当x=2.5时，求得y=m，通过描点连线绘制函数图象即可；
（3）当x=-2时，求得y=，画出整个函数的大致图相，观察函数图象即可求解.
1 / 1浙江省温州市龙湾九校联考2023-2024学年九年级下学期数学返校质量检测卷
1．（2024九下·龙湾开学考）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024九下·龙湾开学考）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中，发生可能性最小的是（ ）
A．朝上一面的点数是3 B．朝上一面的点数是3的倍数
C．朝上一面的点数小于3 D．朝上一面的点数大于3
3．（2024九下·龙湾开学考）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，若CE∶AE＝2∶3，BC＝10，则DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝144°，则∠AOC的大小是（ ）
A．36° B．72° C．46° D．92°
5．（2024九下·龙湾开学考）关于二次函数y＝－x2＋2x－3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x＝－1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（－1，－2） D．图象与x轴没有交点
6．（2024九下·龙湾开学考）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针不落在“I”所示区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·龙湾开学考）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形ABCD的BC边上取中点，以点为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点，过点作FG，交AD的延长线于点，得到矩形CDGF.若，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知点在以AC为直径的上，过作交于，连结BC，CD，AD，AD与BC交于点.若，则AC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
9．（2024九下·龙湾开学考）关于的二次函数.甲同学认为：若，则当时，随的增大而增大.乙同学认为：若该二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，则的值是1或.以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都错误 B．甲、乙都正确
C．甲正确、乙错误 D．甲错误、乙正确
10．（2024九下·龙湾开学考）方方同学将图①中圆形纸片沿直径AB向上对折得到图②，再沿弦BC向下翻折得到图③，最后沿弦BD翻折得到图④.若点E恰为弧BD的中点，则AD：DB的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·龙湾开学考）若，则的值为 .
12．（2024九下·龙湾开学考）已知圆心角为的扇形的孤长为，则该扇形的面积为 .
13．（2024九下·龙湾开学考）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为 .
14．（2024九下·龙湾开学考）如图，的半径是5，点是弦AB延长线上的一点，连结OC，若，则BC的长为 .
15．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知抛物线（a、b均不为0)与双曲线的图象相交于三点.则不等式的解是 .
16．（2024九下·龙湾开学考）我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为弧CD的中点，连结BG，GF，FC，BG交CF于点P，则△PGF与△PBC的面积之比为 .
17．（2024九下·龙湾开学考）一个不透明的袋子中装有3个完全相同的小球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出一个小球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个小球，记下颜色．圆圆同学认为“两次摸出的小球颜色只有两种结果，要么相同，要么不同，所以两次摸出的小球颜色相同的概率是”．你认为圆圆的看法正确吗？请用画树状图或列表法说明理由．
18．（2024九下·龙湾开学考）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得.
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
19．（2024九下·龙湾开学考）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）若AB＝10，BC＝6，DE＝3，求BF的长度．
20．（2024九下·龙湾开学考）设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0≤m≤4，求n的取值范围．
21．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
22．（2024九下·龙湾开学考）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE，BD，CE，CE分别与AD，BD交于点F，G．
（1）若BE＝3CD，BC＝12，求AF的长．
（2）求证：GC2＝GF·GE．
23．（2024九下·龙湾开学考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．
（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．
（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．
24．（2024九下·龙湾开学考）在二次函数复习课上，李老师为检验同学们对函数知识的掌握情况，给出一个关于的函数.下面是方方同学的探究过程，请予以补充完整.
（1）当时，对于函数随的增大而 ，且.对于函数随的增大而 ，且.结合上述分析，可以发现对于函数，当时，随的增大而 .
（2）当时，对于函数，取若干自变量与函数的对应值如下表：
0 1 2 3
0 5
求的值，并在给出的平面直角坐标系中画出当时函数的图象.
（3）过点作平行于轴的直线，请结合(1)(2)的分析，当直线与函数的图象有两个交点时，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为7，点A在⊙O外，
∴OA＞7，
∵5、6、7都不符合，只有8符合题意.
故答案为：D.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： A、朝上一面的点数是3的可能性的大小是，
B、朝上一面的点数是3的倍数的可能性的大小是=，
C、朝上一面的点数小于3的可能性的大小是=，
D、朝上一面的点数大于3的可能性的大小是=，
∵，
∴任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中，发生可能性最小的是朝上一面的点数是3的可能性.
故答案为：A.
【分析】根据概率的公式，一个事件有n种可能，其中事件A有m种可能，那么事件A的概率P（A）=，分别算出各种情况的概率，进行比较即可.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CE∶AE=2∶3，
∴AE∶CE=3∶2，
∴AE∶（AE+CE）=3∶(3+2)，
∵DE∥BC，
∴ ADE∽ ABC，
∴=，
∵BC=10，
∴=，
∴DE=6，
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质求出AE∶AC=3∶5，根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例建立方程，可求出DE的长.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180°-144°=36°，
∴∠AOC=2∠B=72°.
故答案为：B.
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，然后再根据圆周角定理求得∠AOC的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝－x2＋2x－3 =--2，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2），故A、C不符合题意；
∵a=-1＜0，抛物线开口向下，
∴图象与x轴没有交点，故D正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B不符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先将二次函数的解析式配成顶点式，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，从而逐一分析即可求解.
6．【答案】B
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：不落在“I”所示区域的概率为.
故答案为：B.
【分析】利用所示区域占的圆心角度数，求出概率，即可解出.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设CF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，
由题意可知，矩形CDGF满足黄金比例，
即AB∶BF=，
∴，
∴x=-1.
故答案为：C.
【分析】设CF=x，根据黄金分割的意义列出比例，进而求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵O是AC的中点，
∴=，
又∵=，
∴=，
∵OA=OD.
∴∠ODA=∠OAD，
∵OD∥AB，
∴∠ODA=∠BAE，
∴∠OAD=∠BAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B=∠ADC=90°，
∴ ABE∽ ADC，
∴=，
∵AE=1，
∴AC=.
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式并结合题意求出=，根据等腰三角形的性质及平行线的性质求出∠OAD=∠BAE，根据圆周角定理求出∠B=∠ADC=90°，判定 ABE∽ ADC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=1-，
当m＜0时，1-＞1，
∴当x≦1时，y随x的增大而增大，故甲同学的看法正确；
可设二次函数与x轴交点横坐标为，，
∴+=，=-，
由题意得，=3，
∴(x1-x2)2=9，
∴(x1+x2)2-4x1x2=9，
∴
化简整理5m2-4m-1=0，
解得m=1或m=-，
经检验：m=1或m=-都符合题意，故乙同学的看法也正确.
故答案为：B.
【分析】求出抛物线的对称轴，由函数的性质判断甲说法正确；根据二次函数的图象在轴上截得的线段长为3，结合根与系数关系得出关于m的方程，解方程即可.
10．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图：设半径为r，
连接AC、CD、DE、EB、OC、OD、OE，BD，可得：
===，
∴AC=CD=DE=BE，
∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOC==45°，
∴∠BOD=90°
∴BD=r，
如图④：AD=2r-r，
∴AD：DB ==.
故答案为：A.
【分析】根据折叠和圆的相关知识得出∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB，之后根据圆周角知识求解.
11．【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵=，
∴2a=3b，
∴===2.
故答案为：2.
【分析】根据比例的性质得2a=3b，从而用3b替换待求式子中的2a，分子、分母分别合并同类项，然后约分化简即可解答.
12．【答案】60π
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，
∵圆心角为150°的扇形的弧长为 ，
∴= ，
解得：r=12，
∴扇形的面积为×12×10π=60π .
故答案为：60π.
【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r，再根据扇形的面积公式即可求解.
13．【答案】（1，-1）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移3个单位得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7，
再向上平移2个单位，得到抛物线y=-（x-3）2-4（x-3）-7+2=-x2+2x-2=-(x-1)2-1，
平移后抛物线的顶点坐标为（1，-1）.
故答案为：（1，-1）.
【分析】根据平移的规则，左加右减、上加下减即可求出平移后的抛物线，进而求出顶点坐标.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过O作OH⊥AB于H，连接OB，
∴∠OHC=90°，
∵∠C=30°，
∴OH=OC=×8=4，
∴CH=OH=4，
∵⊙O的半径是5，
∴BH===3，
∴BC=CH-BH=4-3，
故答案为：4-3.
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OB，由含30°的直角三角形的性质得出OH=4，求出CH=4 ，由勾股定理得出BH=3，即可求出BC的值.
15．【答案】－2＜x＜－1或0＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由 ax2+bx＜+1得
ax2+bx-1＜，
根据图象可知不等式的解集为：
-2＜x＜-1或0＜x＜1，
故答案为：-2＜x＜-1或0＜x＜1.
【分析】将不等式变形后，找出二次函数的图象在双曲线的下方部分相应的自变量的取值范围，可直接写出不等式的解集.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OB、OG，过点G作GK⊥OC于K，
∵六边形为圆内接正六边形，
∴∠BOC=60°，∠BOF=120°，
OB=OC=OF=OG=r，
∵点G为弧CD中点，
∴∠COG=30°，
∵GK⊥OC，
∴GK=r·sin30°=r，
OK=r·cos30°=r，
∴FK=OF+OK=r，
在Rt FGK中，
FG2=FK2+GK2=(r)2+(r)2=(2+)r2，
∵=，
∴∠GFC=∠GBC，
∴∠FPG=∠BPC，
∴ FGP∽ BCP，
∴===2+.
故答案为：2+.
【分析】连接OB、OG，过点G作GK⊥OC于K，由正六边形性质得∠BOC=60°，∠BOF=120°，再运用解直角三角形及勾股定理可得GK、OK、FK、FG2的值，再根据 FGP∽ BCP得出△PGF与△PBC的面积之比为2+.
17．【答案】解：圆圆的看法不正确．理由如下：
根据题意列出树状图，
，即圆圆的看法不正确．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】画树状图，由图可知：共有9种可能的结果，两次摸出的小球颜色相同有5种，再由概率公式求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，点D就是所求的点，
（2）解：如图，BE就是所求的△ABC的角平分线，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得出结论.
19．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠EDA＝90°，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAB．
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°．
∴∠EDA＝∠AFB．
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：在Rt中，，
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、及垂直的定义∠AFB=∠D=90°，由平行线的性质得到∠EAD=∠ABF，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）根据矩形的性质得AD=BC=90°，根据勾股定理求出AE，再根据相似三角形性质对应边成比例建立方程求解即可.
20．【答案】（1）解：∵二次函数图象过点(1，0)和点(3，0)，
∴设二次函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
将x＝0，y＝－3代入，得－3＝3a，
∴a＝－1．
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3；
（2）解：∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴当x＝2时，y取得最大值为1．
当x＝0或x＝4时，y取得最小值为－3．
∵0≤m≤4，
∴－3≤n≤1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数图象过点(1，0)和点(3，0)，设出交点式，再代入x=0，由可求出a，即可求出函数解析式；
（2）将（1）中所求的解析式配成顶点式，得当x＝2时，y取得最大值为1；当x＝0或x＝4时，y取得最小值为－3，从而即可求解.
21．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
22．【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
（2）证明：在平行四边形ABCD中，，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据相似三角形的性质、结合比例的性质及已知可求出AF=2DF，根据平行四边形的性质求出BC=AD=12，即可求解；
（2）根据平行四边形性质求出AD∥BC，CD∥AB，判定 GDF∽ GBC， CDG∽ EBG，根据相似三角形的对应边成比例及等量代换求出=，根据比例性质即可求证.
23．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
∴∠ABE＋∠BAE＝90°．
∴＝180°．
∴＝180°．
∵AC＝BD，
∴．
∴．
∴．
∴＝90°．
∴∠ACB＝45°．
（2）解：如图，连结BO，DO，过点作交BD于点.
在Rt中，，
（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF，即点F是BC的中点．
又∵点O是BM的中点，
∴OF是△BCM的中位线．
∴CM＝2OF．
∵DM⊥BD，AC⊥BD，
∴DM∥AC．
∴AD＝CM．
∴AD＝2OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 根据圆周角的度数和弧的度数的关系，即可求解；
（2）连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H，根据圆周角和圆心角的关系，求得∠BOD=120°，在Rt BHO，求出OH、BH，进而求得BD、AC，即可求解四边形面积；
（3）延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．根据中位线定理求得CM＝2OF，再根据同一平面内，同时垂直于一条直线的两条直线平行得出DM∥AC，即可证明AD＝2OF．
24．【答案】（1）减小；减小；减小
（2）解：当时，.
图象如下：
（3）解：当x=-2时，求得y=，如图，
当直线与函数的图象有两个交点时，求的取值范围：0﹤n﹤.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象
【解析】 【解答】（1）当-2≤x﹤0时，对于函数==-x，随x的增大而减小，且﹥0.对于函数=-2x+2，随x的增大而减小，综上所述，可以发现对于函数y，当-2≤x﹤0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小，减小，减小.
【分析】（1）由一次函数和二次函数的性质即可求解；
（2）当x=2.5时，求得y=m，通过描点连线绘制函数图象即可；
（3）当x=-2时，求得y=，画出整个函数的大致图相，观察函数图象即可求解.
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