河南省濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学（PDF版含解析）

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濮阳市一高 2022 级高二下学期期中质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题
1.答案：D
解析： f x cos 2x 2x 2cos 2x．
2.答案：A
解析： a4 2a3， a3 3， a3 a2 1,a2 2 a1 1．
3.答案：A
2

2 2 1 a
2 3 r 2
解析：依题可设圆的方程为 x a y r r 0 ，所以 ，解得 a 2, r 2．
a r
即圆的方程是 x2 y2 4x 0．
4.答案：C
1 1
解析：因为 y f (x)= ln x 2，所以 f (x) ，设切点坐标为 (x0 , x0 a)，所以 f (x0 ) =1, x0 1x .所以x 0
f (x0 )= ln1 2=2=x0 a 1 a, a 1．
5.答案：C
记服用金花清感颗粒为事件 A，服用莲花清瘟胶囊为事件 B，服用清开灵颗粒为事件 C，感冒被治愈为事件
D，
P A 3 2 1依题意可得 ，P B ，P C 5 1 2 3 ，P D | A ，P D | B ，P D | C 4 ，所以
10 10 5 10 2 3 4 5
P D P A P D | A P B P D | B P C P D | C
3 2 1 3 1 4 3
.
1 0 3 5 4 2 5 4
6.答案：A
c
解析： 5 ， c 5a ，根据双曲线的定义可得 PF PF 2a ，
a 1 2
S 1△PF F | PF1 | PF 4，即 | PF1 2 2 2 1
| PF2 8，
F P F P | PF |2 PF 2 2 21 2 ， 1 2 2c ， PF1 PF 22 2 PF1 PF2 4c ，即 a2 5a2 4 0，解
得 a 1，故选 A．
7. 答案：D
F x f (x) f x e
x ex f x f x f x解析：令 x ，则e F x

，
e2x ex
因为导函数 f x 满足 f x f x 恒成立且 ex 0，
所以F x 0，所以F x f (x) x 在 (0, )单调递增， e
f 1 f (x) 1因为F 1 1 ，所以不等式
e e ex
等价于F x F 1 ，
e
f (x)
因为所以F x x 在 (0, )单调递增，所以 x 1， e
所以不等式 f (x) ex 1 的解集为 0,1 ．
8.答案：A
解析：因为 f x 1 ，所以 f x 1 2 ， x x
1
f
x x xn x则 n 1 n xn n 2x x 1 x 0 1 n ，又 1 ， n ， f xn
x2n
n
所以 xn 1 2是首项为 x1 1，公比 q = 2的等比数列，则 S nn 2 1， 1 2
令 S nn 2 1 2024 ，则 2n 2025，又因为 y 2x 在定义域内单调递增，
且 210 1024 2025，211 2048 2025 ，所以n 10，所以最大正整数 n 的值为 10．
二、多项选择题
9.答案：AC
解析：令 f (x) (2x 1)4 a0 a1x a2x
2 a x3 43 a4x ，
由 x 0，得 a0 f (0) 1，A 正确；
由 x 1，得 a0 a1 a2 a3 a4 f (1) 1，B 错误；
由 x= 1，得 a0 a1 a2 a3 a4 f ( 1) 81，
因此 a0 a2 a
f (1) f ( 1)
4 41，C 正确； 2
a a f (1) f ( 1)1 3 40，D 错误. 2
10.答案：ABC
解析：因为等差数列{an}中，
16 a1 a16 16 a8 aS 16 9 0， a 0， 2 2 9
所以 a8 0， a9 0， d a9 a8 0，A 正确；
当 n 8时， Sn 取得最大值，B 正确；
a4 a5 a18 3a1 24d 3 a1 8d 3a9 0，C 正确；
S 8 a a 8 a a 0 S 17(a1 a17 )16 1 16 8 9 ， 17 17a9 0， 2
故 Sn 0成立的最大自然数 n 16 ，D 错误．
11.答案 ACD
解析：直线过点 F (0,1) ，所以 p 2 ，A 正确；
由于 AF 3FB， yA 1 3(yB 1) ,即 yA 4 3yB
x2 4y
由 ，m2 y2 (2m2 4)y m2 0
x m(y 1)
2m2y y 1 y y 4 4 1 4 10A B ， A B 2 2 2 ，所以 yB m m 3 ，
yA 3所以 2 m2 3 ，
m 3 ，B 错误；
AN x21 (y 1)
2 4y (y 1)2
若 N (0, 1) ,设 A(x1, y1)则
1 1 1
AF y1 1 y1 1
1 1 1
令 t y1 1(t 2),0 1( ) t t 2
AN t 2 4t 4
4(1 1 )2 2 （1, 2) ，所以 C 正确；
AF t t 2
FA , AC , FB 成等差数列，得 2 AC FA FB , AC 1 BC ，
3
过点 A做 AA 垂直准线 l与点 A1 1 ，过点 B 做 BB1垂直准线 l与点 B1
则 AA1 AF , BB1 BF
AA 11 BB1 , AF
1
BF AF BF 2 1 BC AF BC , BF 1 BC
3 3 3 6 2
所以点 F 为 BC 中点， FC BF ， D 正确.
三、填空题
9
12. 答案 10
3 1 3
解析：由离散型随机变量 X 的分布列的性质，可得 m 1，解得m ，
5 10 10
所以 P( X 2) P( X 1) P( X 2)
3 3 9
.
5 10 10
13. 答案 36
2 3解析：若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为:1，2，2 的选法种数为: C3 A3 =18，
C1C1 3
甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为:1，1，3 的选法种数为: 3 22 A3 =18， A2
所以不同的选法种数为 18+18=36.
1
14. 答案 ,


2e
e2ax ln x 1 e
2ax
解析：因为 恒成立即 2axe2ax x ln x 2x 2e2ax ，
2a a ax
2ax
可得 e 2ax 2 x ln x 2 ，令 f (x) x(lnx 2) 2ax，则 f e f x 恒成立.
又 f (x)
1
lnx 3 ，故当 x 3 ,

时， f (x) 0 ，故 f x 在区间上为增函数.
e
又 f e2ax f x 1恒成立，则 e2ax x在区间 3 , ln x 上恒成立，即 2ax lnx， 2a . e x
构造 g x ln x , x 1 3 ,
1 ln x
，则 g x 2 ，令 g (x) 0有 x e， x e x
1
故当 x 3 , e 时， g (x) 0， g(x)为增函数；当 x e, 时， g (x) 0， g(x)e 为减函数.
1 1 1
故 g x g e ，故 2a ，即 a .
e e 2e
四、解答题
15. 解析：
1 (x2 a )n 7 T C 6 2(n 6) a 6（ ）在二项式 的展开中，第 项为 7 n x ( ) ( a)
6C 6x2(n 7)
3 x 3 x n
n 7 27 7由题意知 ．因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以 (1 a) ,a 1； 6 分
1 1 42 7k
（2 2 7 k 2(7 k ) k k）二项式 (x ) 的展开式通项为T C x ( ) C x 3 k 0,1...7
3 x k 1 7 3 x 7
42 7k
Z ,解得 k 0,3,6
3
14 7
所以展开式所有理项为T1 x ,T4 35x ,T7 7． 13 分
16. 解析：
（1 1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分 3 步:先排第 1 个节目，有C2 种安排方法，再排最后一个节
目，可以从余下的 5 个非相声节目中选一个排在最后，有C15 种排法,
5
最后余下的节目随便排，有 A5 种排法，
1 1 5
由分步计数原理得共有C2C5 A5 =1200 种排法. 4 分
（2 5 2 5 2）先排非舞蹈节目，有 A5 种排法，将 2 个舞蹈节目插到 6 个空中，有 A6 种排法，故 A5 A6 =3600 种排法.
9 分
（3 1 2 3）前 3 个节目共三种情况:一种为 1 个歌唱节目，2 个舞蹈节目，C4C2 A3 A
4
4 =576 种排法，另外一种为 2
2 1 3 4
个歌唱节目，1 个舞蹈节目，有C4 C2 A3 A4 =1728 种排法，最后一种为歌唱节目、舞蹈节目、相声节目各 1
, C1C1C1 3 4个有 4 2 1 A3 A4 =1152 种排法，故共有 576+1 728+1 152=3456 种排法 15 分
17 解析：
（1）证明：连 AC 交BD于点O，连OQ ．
由 ABCD为正方形知O为 AC 中点，又Q为PC 中点，故 AP∥OQ，
又 AP 平面BDQ且OQ 平面BDQ，
所以 AP / / 平面BDQ． 5 分
（2）取 AD 中点 H ，连PH ，由 PAD为等边三角形得PH AD．
又平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD, PH 平面PAD ，
所以PH 平面 ABCD， 7 分
以D为原点，DA, DC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 8 分
设 AB 2 ，则P 1,0, 3 , B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,Q 1 ,1, 3 ，DB 2,2,0 , DQ 1 3 ,1, ，
2 2 2 2

平面PAD 就是坐标平面 xDz，故可取其法向量 n1 0,1,0 ， 9 分
设平面QBD一个法向量为 n2 (x, y, z)，

2x 2y 0 DB n2 0
即

，则 1 3 ，
DQ n2 0 x y z 0 2 2

令 x 3 ，则 y 3, z 1，得 n2 3, 3,1 ， 12 分
记平面PAD 与平面QBD夹角为 ，

n1 n2 21
则 cos cos n1,n2 ， 14 分
n1 n 72
所以平面PAD 与平面QBD 21夹角的余弦值为 15 分
7
18. 解析：
（1）当 n 1时， a1 1
当 n 2时 a1 2a2 n 1 a 2n 1 nan n ①
a1 2a2 n 1 a
2
n 1 n 1 ②
2 2 a 2n 1①减②得 nan n n 1 2n 1，则 n n
2n 1
因为当 n 1 *时，符合上式，所以 an n N 7 分 n
n
2 b 1 na = 2n 1 1
n
（ ） n n
2 2
T 1 1 1 1 1 1n 3 2 5 3 2n 3 2n 1 ③ 2 2 2 2n 1 2n
1 Tn 1
1
2 3
1 1 1
3 2n 3 2n 1 ④ 2 2 2 2n 2n 1
③－④得
1
2 1
1

1 1 1 1 1 1 1 2 2n 1 T 1n 2 2 3 n 2n 1 = 2 2n 1 2 2 2 2 2 2n 1 2 n 11 1 2
2
= 3 2n 3 T =3 2n 3 则
2 2n 1 n 2n
T 2n 1因为 n 1 Tn n 1 0，所以数列 Tn 为递增数列 2
1 1
则当 n 1时，Tn 取最小值 ，所以 ． 17 分 2 2
19. 解析：
（1） f x 的定义域为 0, ；
当 a 1时， f x 3 1 1 1 x ln x x 2 ，则 f ' x ln x ；
2 2x 2x2 2
2
令 g x ln x 1 1 g ' x x 12 ，则 3 ； 2x 2 x
故当 x 0,1 时， g ' x 0，所以 g x 单调递减；
当 x 1, 时， g ' x 0，所以 g x 单调递增．
于是 g x g 1 0 ，即 f ' x 0，
故 f x 的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间.- 4 分
1 3 1 3
（2）由题意知 f ' x a ln x 2 a ，令 h x a ln x a ， 2x 2 2x2 2
h ' x a 1 ax
2 1
则 3 3 ； x x x
3 1
由（1）可知若 a 1，则当 x 1时， f x x ln x x 2 f 1 0，
2 2x
若a 1，则当 x 1时，有
f x 3 1 3 1 ax ln x x 2 x ln x x 2 0，符合题意；
2 2x 2 2x
若 a 0，则当 x 1时， h ' x 0 ，于是 f ' x h x h 1 a 1 0，
f x 单调递减，则 f x f 1 0，与题意矛盾；
1
若 0 a 1，则当1 x 时， h ' x 0 ，于是 f ' x h x h 1 a 1 0，
a
f x 单调递减，此时 f x f 1 0，与题意矛盾；
综上所述：a 的取值范围是 1, ． 9 分
3 1
（3）当 a 1时，由（2）可知 f x x ln x x 2 0 x 1 ，
2 2x
ln x 3 1 2 1≥ x 1 x 1 k N*即 2 ，取 ，可得 2 2x x k
ln 1 1 2k 3
2 k 1 1 1 1

k 2 k 1 2 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2
1 1 1 1 1 1
k 1 2 k 1 k 2 k 1 2 k 1 k 2 ，
ln 1 1 1 1 1 1 即 k
．
k 1 2 k 1 k 2
令 k n ， n 1，…， 2n 1，累加可得
ln 2 1 1 1 1 1 1 n n 1 n 2 2n 2

n 1 2n 1

2 n 1 2n 1
1 1 1

2 2n 1 3 2 2n 4 4 n 2 ． 14
n
F x ln x x 1另一方面，考虑函数 ， x 1 ，
2 2x
x 1
2
则F ' x 0，
2x2
F x 在 1, 上单调递减，则F x F 1 0 ，
x 1
于是 ln x ， x 1 ．
2 2x
1 1 2k 1 k k 1 1 1 1
取 x 1 （ k N* ），可得 lnk
1 k 2k k 1 2k k 1 2 k k 1 ，

整理得 ln 1
1

1 1 1 1

k k 1 2
．
k k 1
令 k n ， n 1，…， 2n 1，
累加可得 ln 2
1 1 1 1 1 1 1

n 1 n 2 2n 2 n 2n
．
4n
1 1 1 1 1
综上所述，对于任意 n N* ， ln 2 4 n 2 n 1 n 2 2n 4n 成立． -17 分