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（人教版）七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.2 一元一次不等式
◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【概念解析】
（1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0.
（2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
（3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式．
◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【注意】
（1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
（2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤：
（1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系.
（2）设未知数：可直接设，也可间接设.
（3）列出不等式.
（4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 .
（5）写出答案.
题型突破·典例精析
【例题1】（2024春 西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可
【解答】解：∵一元一次不等式是含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式，
∴只有A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的定义，关键是不等式定义的熟练掌握．
解题技巧提炼 判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此不等式为一元一次不等式.
【变式1-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4＞1 B．3x﹣24＜4
C．2 D．4x﹣3＜2y﹣7x
【分析】根据一元一次不等式的定义求解．
【解答】解：A中没有未知数，故A不符合题意；
B中含有一个未知数，次数为1，是整式方程，故B符合题意；
C中的未知数在分母，不是整式方程，故C不符合题意；
D中含有两个未知数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春 高新区校级期中）下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ）
①x＞0，②2x＜﹣2+x，③x﹣y＞﹣3，④4x＝﹣1，⑤，⑥x2＞2．
A．①②③ B．①② C．②④⑤ D．①②⑥
【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可．
【解答】解：①x＞0是一元一次不等式；
②2x＜﹣2+x是一元一次不等式；
③x﹣y＞﹣3中含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④4x＝﹣1是等式，不是一元一次不等式；
⑤中不是整式，因此不是一元一次不等式；
⑥x2＞2中未知数的指数是2，不是1，所以不是一元一次不等式；
综上分析可知，一元一次不等式有①②，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1-3】（2023春 宝山区期末）下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：（1）﹣x≥5，是一元一次不等式；
（2）y﹣3x＜0，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3），是一元一次不等式；
（4）x2+x≠3，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式共2个，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．
【变式1-3】（2022春 五华区校级期中）若（3﹣m）x|m|﹣2﹣8＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．2
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：根据题意得：3﹣m≠0且|m|﹣2＝1，
解得：m＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解本题的关键．
【变式1-4】（2022秋 天元区校级期末）若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义可得|k|＝1且k﹣1≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，
∴|k|＝1且k﹣1≠0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
【变式1-5】（2022秋 萨尔图区校级月考）当k＝ 时，不等式（k﹣2）2＞0是关于x的一元一次不等式．
【分析】根据一元一次不等式的定义可得k2﹣3＝1且k﹣2≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
k2﹣3＝1且k﹣2≠0，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
【例题2】（2023春 景泰县校级期中）解下列不等式：
（1）2（x﹣1）≥x﹣5； （2）．
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．
【解答】解：（1）2x﹣2≥x﹣5，
2x﹣x≥﹣5+2，
解得：x≥﹣3；
（2）1﹣3x＞2﹣4x，
﹣3x+4x＞2﹣1，
x＞1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．
解题技巧提炼 1、解一元一次不等式的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数.
【变式2-1】（2024 无为市二模）把不等式2x﹣2＜4的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【解答】解：将不等式移项得：2x＜4+2，
合并同类项得：2x＜6，
系数化为1得：x＜3
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
【变式2-2】（2024 谯城区二模）不等式x+11＞5﹣2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照移项、合并同类项、系数化1解不等式，并把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：x+11＞5﹣2x，
移项得，x+2x＞5﹣11，
合并同类项得，3x＞﹣6，
系数化1得，x＞﹣2，
把解集在数轴上表示出来：
．
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
【变式2-3】（2024春 浑南区期中）解不等式：
（1）5x﹣2＞3（x+1）；
（2）．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算即可解答．
【解答】解：（1）5x﹣2＞3（x+1），
5x﹣2＞3x+3，
5x﹣3x＞2+3，
2x＞5，
x＞2.5；
（2），
2x﹣3（x﹣1）≥6，
2x﹣3x+3≥6，
2x﹣3x≥6﹣3，
﹣x≥3，
x≤﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式2-4】（2023春 南关区校级期中）解下列不等式：
（1）3（x+1）＜x﹣1； （2）3．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）去括号，得：3x+3＜x﹣1，
移项，得：3x﹣x＜﹣1﹣3，
合并同类项，得：2x＜﹣4，
系数化为1，得：x＜﹣2；
（2）去分母，得：4（1﹣x）＜36﹣3（x+2），
去括号，得：4﹣4x＜36﹣3x﹣6，
移项，得：﹣4x+3x＜36﹣6﹣4，
合并同类项，得：﹣x＜26，
系数化为1，得：x＞﹣26．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式2-5】（2023春 龙文区校级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）4x﹣2＞（3x﹣1）； （2）．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）去括号得，4x﹣2＞3x﹣1，
移项得，4x﹣3x＞﹣1+2，
合并同类项得，x＞1，
在数轴上表示为：
（2）去分母得，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
去括号得，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
移项得，4x﹣15x≥6+2+3，
合并同类项得，﹣11x≥11，
x的系数化为1得，x≤﹣1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
【变式2-6】（2024 邗江区一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：3（x﹣1）＞1+x 第一步
3x﹣3＞1+x 第二步
3x+x＞1+3 第三步
4x＞4 第四步
x＞1 第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【分析】分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
【解答】解：3（x﹣1）＞1+x 第一步，
3x﹣3＞1+x 第二步，
3x﹣x＞1+3 第三步，
2x＞4 第四步，
x＞2 第五步；
①：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号；
任务二：该不等式的正确解集是x＞2．
故答案为：乘法分配律；三；移项没有变号．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解题词关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【例题3】（2023春 定远县校级月考）不等式4x≤10+x的所有正整数解的和为 ．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数，求它们的和即可．
【解答】解：不等式移项得：4x﹣x≤10，
合并得：3x≤10，
系数化为1得：x，
∴不等式的所有正整数解为1，2，3，
则不等式的所有正整数解的和是1+2+3＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
解题技巧提炼 求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
【变式3-1】（2024春 泌阳县期中）不等式3（x﹣2）≤2x﹣3的非负整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】先求出一元一次不等式的解集，进而求得非负整数解即可求解．
【解答】解：去括号，得3x﹣6≤2x﹣3，
移项、合并同类项，得x≤3，
∴该不等式的解集为x≤3，
则该不等式的非负整数解为0，1，2，3，共4个，
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式以及求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键．
【变式3-2】（2024 雁塔区校级模拟）求不等式的正整数解．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：，
1﹣3x≥﹣14+2x，
﹣3x﹣2x≥﹣14﹣1，
﹣5x≥﹣15，
x≤3，
则不等式的正整数解解为1、2、3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式3-3】（2024 雁塔区校级模拟）解不等式：，并写出它的最大整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：，
3x+1﹣2＞4x，
3x﹣4x＞2﹣1，
﹣x＞1，
x＜﹣1，
故不等式：最大的整数解为﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
【变式3-4】（2023 秦都区校级二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
【解答】解：，
去分母，得：9x+8﹣2x≥﹣6，
移项及合并同类项，得：7x≥﹣14，
系数化为1，得：x≥﹣2，
∴该不等式的最小整数解是﹣2．
【点评】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【变式3-5】（2024 瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2得出答案即可．
【解答】解：x﹣m≥0，
x≥m，
∵关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，
∴m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能根据不等式的解集求出m的范围是解此题的关键．
【变式3-6】（2023春 淄博期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣1
【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围．
【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，
根据题意得：3＜2﹣m≤4，
解得：﹣2≤m＜﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
【例题4】（2023春 琼山区校级月考）已知y1＝x+2，y2＝3x﹣4，解答下列问题：
（1）当x取何值时，y1＝y2？
（2）x取何值时，y1不小于y2？
【分析】（1）根据y1＝x+2，y2＝3x﹣4，若y1＝y2，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据y1不小于y2，列出关于x的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由题意得x+2＝3x﹣4．
∴x＝3．
（2）由题意得：x+2≥3x﹣4，
∴x≤3．
【点评】本题考查解一元一次方程以及一元一次不等式，关键根据y1和y2的关系，可列出关于x的方程和不等式求解．
解题技巧提炼 列不等式解决代数问题时，要先分析题意，列出不等式，求出不等式的解，再取符合要求的解.
【变式4-1】当代数式2x+1的值小于代数式的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】由代数式2x+1的值小于代数式的值列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
【解答】解：根据题意，得2x+1，
去分母，得2（2x+1）＜x﹣4，
去括号，得4x+2＜x﹣4，
移项、合并同类项，得3x＜﹣6，
系数化为1，得x＜﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【变式4-2】（2022 河北二模）m的3倍与m+1的差不大于13，则m的值可能为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
【分析】根据文字表述得到题中存在的关系为：3m﹣（1）≤13，解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得3m﹣（1）≤13，
解得m≤4，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
【变式4-3】（2022春 东方校级期中）当代数式2x+1的值小于代数式的值时，下列数值中在x的取值范围内的是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用已知条件列出不等式，解出x的范围可知答案．
【解答】解：依题意得，，
两边同时乘以2，得：4x+2＜x﹣4，
移项合并得：3x＜﹣6，
系数化为1得：x＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．
【变式4-4】要使式子1的值不小于式子的值，则x的取值范围是（ ）
A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29
【分析】先根据题意列出不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：根据题意，得1，
去分母，得3（x﹣9）+6≥2（x+1）﹣6，
去括号，得3x﹣27+6≥2x+2﹣6，
移项，得3x﹣2x≥2﹣6+27﹣6，
合并同类项，得x≥17，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式4-5】若代数式1的值不大于代数式1的值，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣4 B．x＜﹣4 C．x≥﹣4 D．x＞﹣4
【分析】先根据题意列出不等式，再求解即可．
【解答】解：根据题意，得，
11，
去分母，得，
x﹣9+3≤2x+1﹣3，
移项、合并同类项，得，
﹣x≤4，
系数化为1，得，
x≥﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是列不等式，然后依据不等式的基本性质求解．
【例题5】（2022秋 沙坪坝区校级期末）不等式ax+b＞0的解集为，则关于x的不等式bx＜a的解集为 ．
【分析】由条件可求得a＝﹣2，b＝1，再代入求解即可．
【解答】解：ax+b＞0，
得ax＞﹣b，
∵不等式ax+b＞0的解集为，
∴a＜0，
∴x，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴bx＜a的解集为：x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解答的关键是对解一元一次不等式的方法的掌握．
解题技巧提炼 解含字母常数的不等式，其解题步骤与解不含字母常数的不等式的步骤基本一致，只是在最后一步系数化为1时需将含字母的系数分正数、0、负数这三类进行讨论.
【变式5-1】（2022春 赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知不等式的解集确定出m与n的关系式，代入所求不等式计算即可求出解集．
【解答】解：关于x的不等式mx﹣n＞0，
移项得：mx＞n，
由已知解集为x，得到m＜0，
即x，
∴，即m＝5n（m≠0，n≠0），
代入不等式（m+n）x＞n﹣m得：
6nx＞﹣4n（n＜0），
整理得：6x＜﹣4，
解得：x．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【变式5-2】（2023 二道区校级一模）若关于x的不等式ax＞b的解集是x，则关于x的不等式（a﹣2b）x+a≥0的解集是 ．
【分析】由关于x的不等式ax＞b的解集是x知a＜0，且，即ba，据此将不等式（a﹣2b）x+a≥0变形为ax+a≥0，再移项、系数化为1即可．
【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集是x，
∴a＜0，且，即ba，
则不等式（a﹣2b）x+a≥0可变形为ax+a≥0，
移项，得：ax≥﹣a，
系数化为1，得：x≤﹣5，
故答案为：x≤﹣5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式5-3】（2023 安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 ．
【分析】先将已知不等式进行变形，根据已知不等式的解集得出3a﹣b＜0且5，求出a＜0，ba，即可求出不等式的解集．
【解答】解：（3a﹣b）x+a﹣4b＞0，
（3a﹣b）x＞﹣a+4b，
∵关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，
∴3a﹣b＜0且5，
27a﹣9b＜0且9b＝16a，
解得：a＜0，ba，
∴ax﹣b＞0的解集为x，
故答案为：x．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据已知求出3a﹣b＜0且5是解此题的关键．
【变式5-4】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为，则关于x的不等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为 ；
【分析】先根据不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为x求出a和b的关系，即b的取值情况，再代入不等式（3b﹣5a）x＜17a+b可得出解集．
【解答】解：（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0，（2a﹣b）x＞a+5b，
∵不等式的解集为x，
∴可得2a﹣b＜0，，
∴可求得a＝2b，b＜0，
不等式（3b﹣5a）x＜17a+b可化为：﹣7bx＜35b，
解得x＜﹣5．
故填x＜﹣5．
【点评】本题考查不等式的解集，此题出的比较新颖，有一定难度，求出a和b的关系是解决本题的关键．
【变式5-5】（2024春 管城区月考）已知a，b为有理数，不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集．
【分析】根据已知条件得出a、b之间的关系式，代入后面不等式求解．
【解答】解：∵不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，
∴2a﹣b＜0且，
∴ab，
将ab代入2a﹣b＜0得，2b﹣b＜0，
即b＜0，
故b＜0，
∴关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0可化为
bxb．
∵b＜0，
∴b＞0，
∴x．
【点评】此题考查关于字母系数的一元一次不等式的解法，解关于x的不等式是本题的一个难点．
【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
【分析】先去括号、移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并得17x＜﹣17，则x＜﹣1，然后根据x＜﹣1去绝对值得到|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），再去括号合并即可．
【解答】解：去括号得15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，
移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，
合并得17x＜﹣17，
系数化为1得x＜﹣1，
|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x）
＝﹣3x﹣1﹣1+3x
＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质，先去分母、移项、合并同类项，再把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．也考查了绝对值．
解题技巧提炼 解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.
【变式6-1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（ ）
A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1
【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得．
【解答】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x，
∴a﹣1＜0，
解得a＜1，
则原式＝1﹣a﹣（2﹣a）
＝1﹣a﹣2+a
＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x|
【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再根据x的取值范围去掉绝对值符号把代数式化简即可．
【解答】解：解不等式5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，
去括号得，5x+5﹣3x＞4x+6+4，
移项得，5x﹣3x﹣4x＞6+4﹣5，
合并同类项得，﹣2x＞5，
系数化为1得，x．
故|2x﹣1|﹣|1+2x|＝1﹣2x+1+2x＝2．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是求出x的取值范围，再根据取绝对值符号的法则去掉绝对值符号．
【变式6-3】已知6（x+1）﹣4x＞3（5x+2）+5，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
【分析】解不等式求出x的范围，这样就可以确定3x+1与1﹣3x的符号，从而化简式子时能正确去掉绝对值符号，把式子进行化简．
【解答】解：不等式去括号得：6x+6﹣4x＞15x+6+5，
移项合并同类项得：﹣13x＞5，
则x，
当x时，3x+13+1，
即3x+10．
1﹣3x＞（）×（﹣3）+1，
即1﹣3x0，
所以|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣3x﹣1﹣1+3x＝﹣2．
【点评】解不等式依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为1这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
【变式6-4】（2023 罗湖区校级模拟）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝ ；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 ．
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；
（2）零点值x＝﹣2和x＝4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣2、﹣2≤x＜4和x≥4．分该三种情况找出|x+2|+|x﹣4||的值即可；
（3）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【解答】解：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝2﹣x，
故答案为：2﹣x；
（2）分以下3种情况：
①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2；
②当﹣2≤x＜4时，原式＝x+2﹣（x﹣4）＝6；
③当x≥4时，原式＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；
综上讨论，原式；
（3）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，
当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，
当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，
则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
【例题7】已知关于x的方程x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]（x+a）的解小2，求a的值．
【分析】分别求得关于x的方程x﹣1、2[x﹣2（4﹣2a）]（x+a）的解，然后根据题意列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
【解答】解：∵x﹣1，
∴x＝6a﹣6；
∵2[x﹣2（4﹣2a）]（x+a），
∴x5a；
∵方程x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]（x+a）的解小2，
∴6a﹣6+25a，
解得：a．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
解题技巧提炼 本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.
【变式7-1】（2023春 德城区校级月考）关于x，y的方程组的解，满足x﹣y＜4，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5
【分析】将2个方程相加得出x﹣y＝k﹣1，根据不等式的解集的情况，得出k﹣1＜4，进而即可求解．
【解答】解：
由①+②得：4x﹣4y＝4k﹣4
∴x﹣y＝k﹣1，
∵x﹣y＜4，
∴k﹣1＜4
解得：k＜5，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出x﹣y的表达式是解答此题的关键．
【变式7-2】（2023春 桐城市期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a≤﹣3
【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，代入不等式计算即可求出a的范围．
【解答】解：，
①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，
解得：y＝﹣a，
把y＝﹣a代入②得：x（﹣a）＝a，
整理得：xa+1＝a，
解得：xa，
∵x≥y，
∴aa，即a，
解得：a．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
【变式7-3】（2024春 沙坪坝区校级期中）已知满足不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5的最小整数是关于x的方程的解，求a的值．
【分析】先求出不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5的解集，即可得到该不等式的最小整数解，然后将这个最小整数解代入关于x的方程，求出a的值即可．
【解答】解：由不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5可得：x＞﹣3，
∴不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5的最小整数是﹣2，
∵不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5的最小整数是关于x的方程的解，
∴1，
解得a＝3，
即a的值是3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和解一元一次方程的方法．
【变式7-4】（2023秋 南乐县月考）已知（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；
（2）若上述方程的解比方程6x﹣3k＝2x的解大于1，求k的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义求出a的值，求出一元一次方程的解即可；
（2）由上述方程的解确定出6x﹣3k＝2x的解，代入计算即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴|a|﹣2＝0，即a＝±2，
又∵a+2≠0，
∴a＝2，
方程为﹣4x+8＝0，
解得x＝2；
（2）由题意得：6x﹣3k＝2x的解为x＝1，
把x＝1代入方程得：6﹣3k＝2，
解得：k．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-5】（2024春 香坊区校级期中）关于x，y的二元一次方程组（m为常数），若该方程组的解x，y满足2x﹣y≤1，求m的取值范围．
【分析】由加减消元法可得2x﹣y＝﹣2m﹣1，再解不等式可得答案．
【解答】解：
由①﹣②得：2x﹣y＝﹣2m﹣1，
由2x﹣y≤1得：﹣2m﹣1≤1，
解得：m≥﹣1．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式7-6】（2024春 安溪县期中）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若x﹣y＝1，求k的值；
（2）若x+y＞5，求k的取值范围．
【分析】（1）利用整体的思想可得：3x﹣3y＝2k+7，从而可得x﹣y，进而可得1，然后进行计算即可解答；
（2）利用整体的思想可得：x+y＝2k+3，从而可得2k+3＞5，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
①+②得：3x﹣3y＝2k+7，
∴x﹣y，
∵x﹣y＝1，
∴1，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2），
①﹣②得：x+y＝2k+3，
∵x+y＞5，
∴2k+3＞5，
解得：k＞1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【例题8】（2024 寻乌县一模）对于实数a、b，定义关于“ ”的一种运算：a b＝2a+b．例如1 3＝2×1+3＝5．
（1）求4 （﹣3）的值；
（2）若3 （﹣2m）＞2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据a b＝2a+b，可以计算出所求式子的值；
（2）根据a b＝2a+b，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
4 （﹣3）
＝2×4+（﹣3）
＝8+（﹣3）
＝5；
（2）∵3 （﹣2m）＞2，
∴2×3+（﹣2m）＞2，
解得m＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
解题技巧提炼 首先根据新定义运算列出一元一次不等式，然后解一元一次不等式即可解答.
【变式8-1】（2024春 海口期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有a b＝a（a﹣b）+1，如：2 5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4 x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解不等式可得．
【解答】解：根据题意，原不等式转化为：4（4﹣x）+1≥2，
去括号，得：16﹣4x+1≥2，
移项、合并同类项，得：﹣4x≥﹣15，
系数化为1，得：，
正整数解有3个，为1，2，3．
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式8-2】（2024春 碑林区校级期中）定义运算min{a，b}；当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3，根据该定义运算完成下列问题：
（1）min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
（2）若min{3x﹣1，﹣x+3}＝3x﹣1，求x的取值范围．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义得到3x﹣1≤﹣x+3，然后解不等式即可．
【解答】解：（1）min{﹣3，2}＝﹣3，
当x≤2时，min{x，2}＝x；
故答案为：﹣3，x；
（2）根据题意得3x﹣1≤﹣x+3，
解得x≤1，
即x的取值范围为x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．也考查了新定义和有理数的大小比较．
【变式8-3】（2023 馆陶县模拟）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b＝ab2+ab+a，例如：2※5＝2×52+2×5+2＝62．
（1）求5※（﹣2）．
（2）若※2＞14，求m的取值范围．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的范围．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝5×（﹣2）2+5×（﹣2）+5
＝20﹣10+5
＝15；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简得：
（m）×22+2（m）+m14，
整理得：7m＞14+7，
解得：m2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式8-4】（2024春 朝阳区校级期中）阅读下面的材料：对于有理数a，b，我们定义符号max{a，b}：当a＜b时，max{a，b}＝b；当a≥b时，max{a，b}＝a．例如：max{﹣4，2}＝2，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，3}＝ ；
（2）若max{x﹣1，7}＝x﹣1，则x的取值范围是 ；
（3）当max{2x﹣3，x+2}时，求x的值．
【分析】（1）根据新定义可得答案；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解之即可；
（3）根据新定义列出方程，解之即可．
【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，
故答案为：3；
（2）∵max{x﹣1，7}＝x﹣1，
∴x﹣1≥7，
解得x≥8，
故答案为：x≥8；
（3）当2x﹣3≥x+2时，2x﹣3，解得x＝﹣9；
当2x﹣3＜x+2时，x+2，解得x．
故x的值为﹣9或．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式8-5】（2024春 榕城区期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式0的解集．
（2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
（3）若关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，求n的取值范围．
【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可；
（2）根据题意解出x，依据解集与（1）中的不等式解集相同可得m值即可；
（3）根据题意解出x，再根据条件列出1，解出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得式2x﹣1×（3﹣x）＞0，
解不等式得：x＞1；
（2）∵0，即3m﹣4x＜0，
∴x，
∵解集与（1）中的不等式解集相同，
∴，
∴m；
（3）∵0，即n﹣2x＜0，
∴x，
∵关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，
∴1，
∴n≥2．
【点评】本题考查了解一次不等式，熟练掌握不等式的解法是关键．
【例题9】（2024春 中原区校级期中）七年级的小明要从郑州外国语中学到烈士陵园参加扫墓活动，两地相距3.6千米．已知他步行的平均速度为70米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过40分钟的时间内到达烈士陵园，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+70（40﹣x）≥3.6 B．70x+210（40﹣x）≤3600
C．210x+70（40﹣x）≥3600 D．70x+210（40﹣x）≤3.6
【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
【解答】解：根据题意列不等式为：210x+70（40﹣x）≥3600．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键．
解题技巧提炼 此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知条件抽象出不等关系是关键，然后根据不等关系列出不等式.
【变式9-1】（2023春 楚雄州期中）植树节期间，某校组织八年级学生共162人参加植树活动，男生平均每人植树5棵，女生平均每人植树3棵．为了保证本次植树的数量不少于666棵，则至少需要多少名男生参加植树活动？设参加植树活动的男生人数为x人，则下列不等式正确的是（ ）
A．3x+5（162﹣x）≥666 B．5x+3（162﹣x）＞666
C．5x+3（162﹣x）≥666 D．5x+3（162﹣x）≤666
【分析】由男、女生人数间的关系，可得出参加植树活动的女生人数为（162﹣x）人，根据本次植树的数量不少于666棵，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：∵该校组织八年级学生共162人参加植树活动，且参加植树活动的男生人数为x人，
∴参加植树活动的女生人数为（162﹣x）人．
根据题意得：5x+3（162﹣x）≥666．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式9-2】（2023春 花山区校级期中）如图1所示的是4颗大小相同的玻璃球．将玻璃球全部放入一个容积为500cm3，且装有400cm3水的烧杯中（如图2），此时水不可能溢出，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．400+4x＜500 B．400+4x≤500 C．400+4x＞500 D．400+4x≥500
【分析】水的体积+4个玻璃球的体积≤500cm3．
【解答】解：水的体积为400cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，
根据题意得到：400+4x≤500．
故选：B．
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
【变式9-3】（2024春 罗湖区期中）深圳读书月，是由深圳市委市政府举办的一项大型群众读书文化活动，以“阅读 进步 和谐”为总主题，着力于提升市民素质．2023年11月15日，第二十四届深圳读书月“年度十大好书”发布，小智同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天读x页才能按计划完成，则根据题意可列不等式为（ ）
A．（14﹣4）x≥488 B．（14+4）x≥488
C．4×27+（14﹣4）x≥488 D．4×27+（14+4）x≥488
【分析】根据计划用14天之内读完，前4天读的页数为4×27页，后10天读的页数为（14﹣4）x页，然后根据“前4天读的页数+后10天读的页数≥全书总页数（488页）”列出不等式即可．
【解答】解：∵前4天每天只读27页，
∴前4天共读4×27页，
又∵计划用14天之内读完，从第5天起平均每天读x页，
∴后10天共读（14﹣40）x页，
依题意得：4×27+（14﹣4）x≥488．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，准确地找出不等量关系“前4天读的页数+后10天读的页数≥全书总页数（488页）”是解决问题的关键．
【变式9-4】（2024春 西安期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.96元，电费比油费少0.8元．汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？若设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（ ）
A．0.16x+0.96（100﹣x）≤40
B．0.96x+0.16（100﹣x）≤40
C．1.76x+0.96（100﹣x）≤40
D．0.96x+1.76（100﹣x）≤40
【分析】设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则用油行驶（100﹣x）千米，根据用油和用电的总费用不超过40元，可得（0.96﹣0.8）x+0.96（100﹣x）≤40，即可得到答案．
【解答】解：设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则用油行驶（100﹣x）千米，
∵用油和用电的总费用不超过40元，
∴（0.96﹣0.8）x+0.96（100﹣x）≤40，
即0.16x+0.96（100﹣x）≤40，
故选：A．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元一次不等式，解题的关键是找到不等关系列出不等式．
【变式9-5】（2023 二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用利润率，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【例题10】（2022春 甘州区校级期末）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并购买一些乒乓球拍做奖品．已知每个乒乓球1.5元，每个乒乓球拍22元．如果购买金额不超过200元，且购买的球拍数量要尽可能多，那么小张同学应该购买多少个球拍？
【分析】设小张同学应该购买x个球拍，利用总价＝单价×数量，结合购买金额不超过200元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：设小张同学应该购买x个球拍，
依题意得1.5×20+22x≤200，
解得：x≤7．
∵x是整数，
∴x的最大值为7．
答：小张同学应该购买7个球拍．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
解题技巧提炼 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．
【变式10-1】（2023 禅城区一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【分析】根据题意可得，关系式为：5×答对的题数﹣1×其余题数≥85，进而得出答案．
【解答】解：设小明答对了x道题．
则：5x﹣1×（20﹣x）≥85，
解得：x≥17.5，
∴小明至少答对了18道题．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到相应的不等关系是解决问题的关键，
【变式10-2】（2024春 瑶海区校级期中）阳阳在易物儿童超市购买一款心爱的玩具，玩具成本为60元，定价为90元，当天是儿童节，超市打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5%．则该玩具最多可以打（ ）
A．八五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【分析】设该玩具打x折销售，利用利润＝售价﹣成本价，结合利润率不能低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设该玩具打x折销售，
根据题意得：9060≥60×5%，
解得：x≥7，
∴x的最小值为7，即该玩具最多可以打七折．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式10-3】（2024春 龙华区期中）“迎五一 赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过50元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得：3×15+2（x﹣15）≤50，
解得：x，
又∵x为整数，
∴x的最大值为17，
∴该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式10-4】（2022春 石景山区期末）某运输公司要将30吨蔬菜从仓储中心运往北京．现有A，B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每辆可装3吨，B型车每辆可装2吨．现公司已确定调用5辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把30吨蔬菜一次性运完，至少需要调用B型车多少辆．
【分析】设需要调用x辆B型车，根据要把30吨蔬菜一次性运完，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设需要调用x辆B型车，
根据题意，得 3×5+2x≥30，
解得：，
∵x为正整数，
∴x的最小值为8，
答：至少需要调用B型车8辆．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式10-5】（2023春 顺义区期中）为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多3元，若购买2块橡皮和3本笔记本共需19元．
（1）橡皮和笔记本的单价各是多少元？
（2）班级需要购买橡皮和笔记本共30件作奖品，购买的总费用不超过90元，班级最多能购买多少本笔记本？
【分析】（1）设橡皮的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“笔记本的单价比橡皮的单价多3元，购买2块橡皮和3本笔记本共需19元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m本笔记本，则购买（30﹣m）块橡皮，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过90元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设橡皮的单价是x元，笔记本的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：橡皮的单价是2元，笔记本的单价是5元；
（2）设购买m本笔记本，则购买（30﹣m）块橡皮，
根据题意得：2（30﹣m）+5m≤90，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：班级最多能购买10本笔记本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式10-6】（2023春 市北区期中）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．根据信息，解答下列问题．
信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为400克； 3．脂肪所占的百分比为5%； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍.
（1）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（2）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
【分析】（1）设这份快餐所含蛋白质的质量为x克，则含矿物质的质量为x克，根据快餐的总质量为400克，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设这份快餐所含蛋白质的质量为y克，则含矿物质的质量为y克，含碳水化合物的质量为（400×85%﹣y）克，根据快餐的总质量为400克，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再将其代入（400×85%﹣y）中即可求出结论．
【解答】解：（1）设这份快餐所含蛋白质的质量为x克，则含矿物质的质量为x克，
400×5%＝20（克），
依题意得：x+20x+400×40%＝400，
解得：x＝176．
答：这份快餐所含蛋白质的质量为176克．
（2）设这份快餐所含蛋白质的质量为y克，则含矿物质的质量为y克，含碳水化合物的质量为（400×85%﹣y）克，
依题意得：400×85%+20y＝400，
解得：y＝160，
∴400×85%﹣y＝340﹣160＝180（克）．
答：其中所含碳水化合物的质量为180克．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式10-7】（2022 林州市二模）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，
他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
（1）请求出A、B两款饰品的进价分别是多少？
（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案？
【分析】（1）根据购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，以及（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可，注意购买的饰品都是整数个；
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得，
答：A款饰品的进价为15元/个，B款饰品的进价为20元/个；
（2）设购进A款饰品a个，则购进B款饰品（100﹣a）个，
由题意可得：15a+20（100﹣a）≤1700，
解得a≥60，
又∵A款饰品最多62个，
∴60≤a≤62，
∵a为整数，
∴a＝60，61，62，
∴共有三种购买方案，
方案一：购进A款饰品60个，购进B款饰品40个；
方案二：购进A款饰品61个，购进B款饰品39个；
方案三：购进A款饰品62个，购进B款饰品38个；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
【变式10-8】（2024 东昌府区模拟）市青少年活动基地需要补充一批损坏的遥控智能机器人，这批遥控智能机器人分为A型和B型．若购入1个A型遥控智能机器人和3个B型遥控智能机器人需要840元；若购入2个A型遥控智能机器人和1个B型遥控智能机器人需要680元．
（1）求每个A型遥控智能机器人和每个B型遥控智能机器人各需多少元；
（2）如果该青少年活动基地计划购入两种遥控智能机器人20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型遥控智能机器人多少个？
【分析】（1）设每个A型遥控智能机器人x元，每个B型遥控智能机器人y元，根据“购入1个A型遥控智能机器人和3个B型遥控智能机器人需要840元；购入2个A型遥控智能机器人和1个B型遥控智能机器人需要680元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个B型遥控智能机器人，则购进（20﹣m）个A型遥控智能机器人，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个A型遥控智能机器人x元，每个B型遥控智能机器人y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A型遥控智能机器人240元，每个B型遥控智能机器人200元；
（2）设购进m个B型遥控智能机器人，则购进（20﹣m）个A型遥控智能机器人，
根据题意得：240（20﹣m）+200m≤4400，
解得：m≥10，
∴m的最小值为10．
答：至少购进B型遥控智能机器人10个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．中小学教育资源及组卷应用平台
（人教版）七年级下册数学《第九章 不等式与不等式组》
9.2 一元一次不等式
◆一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【概念解析】
（1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0.
（2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
（3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
◆1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式．
◆2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
【注意】
（1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
（2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
◆1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
◆2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
◆3、列一元一次不等式解实际问题的步骤：
（1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系.
（2）设未知数：可直接设，也可间接设.
（3）列出不等式.
（4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 .
（5）写出答案.
题型突破·典例精析
题型一 一元一次不等式的识别
【例题1】（2024春 西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y
解题技巧提炼 判断一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简整理后再判断，如果化简后不等号两边都是整式且含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0，那么此不等式为一元一次不等式.
【变式1-1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4＞1 B．3x﹣24＜4
C．2 D．4x﹣3＜2y﹣7x
【变式1-2】（2023春 高新区校级期中）下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ）
①x＞0，②2x＜﹣2+x，③x﹣y＞﹣3，④4x＝﹣1，⑤，⑥x2＞2．
A．①②③ B．①② C．②④⑤ D．①②⑥
【变式1-3】（2023春 宝山区期末）下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）；（4）x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【变式1-3】（2022春 五华区校级期中）若（3﹣m）x|m|﹣2﹣8＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．2
【变式1-4】（2022秋 天元区校级期末）若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
【变式1-5】（2022秋 萨尔图区校级月考）当k＝ 时，不等式（k﹣2）2＞0是关于x的一元一次不等式．
题型二 解一元一次不等式
【例题2】（2023春 景泰县校级期中）解下列不等式：
（1）2（x﹣1）≥x﹣5； （2）．
解题技巧提炼 1、解一元一次不等式的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 2、解一元一次不等式时有两步可能会改变不等号的方向；一是去分母；二是系数化为1，为了使不等式简化，可以在“去分母”这一步里，两边同乘一个正数.
【变式2-1】（2024 无为市二模）把不等式2x﹣2＜4的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2024 谯城区二模）不等式x+11＞5﹣2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2024春 浑南区期中）解不等式：
（1）5x﹣2＞3（x+1）；
（2）．
【变式2-4】（2023春 南关区校级期中）解下列不等式：
（1）3（x+1）＜x﹣1； （2）3．
【变式2-5】（2023春 龙文区校级期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）4x﹣2＞（3x﹣1）； （2）．
【变式2-6】（2024 邗江区一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：3（x﹣1）＞1+x 第一步
3x﹣3＞1+x 第二步
3x+x＞1+3 第三步
4x＞4 第四步
x＞1 第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
题型三 求一元一次不等式的特殊解
【例题3】（2023春 定远县校级月考）不等式4x≤10+x的所有正整数解的和为 ．
解题技巧提炼 求一元一次不等式的特殊解分两步来解答：一是求解一元一次不等式，得出解集；二是根据问题的条件，在求出的范围内确定满足条件的解.
【变式3-1】（2024春 泌阳县期中）不等式3（x﹣2）≤2x﹣3的非负整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3-2】（2024 雁塔区校级模拟）求不等式的正整数解．
【变式3-3】（2024 雁塔区校级模拟）解不等式：，并写出它的最大整数解．
【变式3-4】（2023 秦都区校级二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
【变式3-5】（2024 瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2
【变式3-6】（2023春 淄博期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2＜m≤﹣1
题型四 列一元一次不等式解决代数问题
【例题4】（2023春 琼山区校级月考）已知y1＝x+2，y2＝3x﹣4，解答下列问题：
（1）当x取何值时，y1＝y2？
（2）x取何值时，y1不小于y2？
解题技巧提炼 列不等式解决代数问题时，要先分析题意，列出不等式，求出不等式的解，再取符合要求的解.
【变式4-1】当代数式2x+1的值小于代数式的值时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【变式4-2】（2022 河北二模）m的3倍与m+1的差不大于13，则m的值可能为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
【变式4-3】（2022春 东方校级期中）当代数式2x+1的值小于代数式的值时，下列数值中在x的取值范围内的是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【变式4-4】要使式子1的值不小于式子的值，则x的取值范围是（ ）
A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29
【变式4-5】若代数式1的值不大于代数式1的值，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣4 B．x＜﹣4 C．x≥﹣4 D．x＞﹣4
题型五 求含字母常数的一元一次不等式的解集
【例题5】（2022秋 沙坪坝区校级期末）不等式ax+b＞0的解集为，则关于x的不等式bx＜a的解集为 ．
解题技巧提炼 解含字母常数的不等式，其解题步骤与解不含字母常数的不等式的步骤基本一致，只是在最后一步系数化为1时需将含字母的系数分正数、0、负数这三类进行讨论.
【变式5-1】（2022春 赛罕区校级月考）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023 二道区校级一模）若关于x的不等式ax＞b的解集是x，则关于x的不等式（a﹣2b）x+a≥0的解集是 ．
【变式5-3】（2023 安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 ．
【变式5-4】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为，则关于x的不等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为 ；
【变式5-5】（2024春 管城区月考）已知a，b为有理数，不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集．
题型六 不等式与绝对值的综合应用
【例题6】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
解题技巧提炼 解绝对值问题的关键是确定绝对值符号内的式子的正负，再去绝对值进行化简，而绝对值内式子的符号需通过解不等式确定未知数的取值范围后，再判断.
【变式6-1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（ ）
A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1
【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x|
【变式6-3】已知6（x+1）﹣4x＞3（5x+2）+5，化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|．
【变式6-4】（2023 罗湖区校级模拟）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝ ；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 ．
题型七 一元一次不等式与方程（组）的综合应用
【例题7】已知关于x的方程x﹣1的解比关于x的方程2[x﹣2（4﹣2a）]（x+a）的解小2，求a的值．
解题技巧提炼 本题运用了消元法和常量法，解答这类题，一般先将某个字母视为常数，求出方程组的解，再建立不等式，求出相应字母的取值范围.
【变式7-1】（2023春 德城区校级月考）关于x，y的方程组的解，满足x﹣y＜4，则k的取值范围是（ ）
A．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5
【变式7-2】（2023春 桐城市期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a B．a C．a D．a≤﹣3
【变式7-3】（2024春 沙坪坝区校级期中）已知满足不等式3（x﹣2）+4＜4（x﹣1）+5的最小整数是关于x的方程的解，求a的值．
【变式7-4】（2023秋 南乐县月考）已知（|a|﹣2）x2﹣（a+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；
（2）若上述方程的解比方程6x﹣3k＝2x的解大于1，求k的值．
【变式7-5】（2024春 香坊区校级期中）关于x，y的二元一次方程组（m为常数），若该方程组的解x，y满足2x﹣y≤1，求m的取值范围．
【变式7-6】（2024春 安溪县期中）已知关于x，y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若x﹣y＝1，求k的值；
（2）若x+y＞5，求k的取值范围．
题型八 一元一次不等式与新定义问题
【例题8】（2024 寻乌县一模）对于实数a、b，定义关于“ ”的一种运算：a b＝2a+b．例如1 3＝2×1+3＝5．
（1）求4 （﹣3）的值；
（2）若3 （﹣2m）＞2，求m的取值范围．
解题技巧提炼 首先根据新定义运算列出一元一次不等式，然后解一元一次不等式即可解答.
【变式8-1】（2024春 海口期中）定义新运算：对于任意实数a，b都有a b＝a（a﹣b）+1，如：2 5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4 x≥2的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-2】（2024春 碑林区校级期中）定义运算min{a，b}；当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3，根据该定义运算完成下列问题：
（1）min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
（2）若min{3x﹣1，﹣x+3}＝3x﹣1，求x的取值范围．
【变式8-3】（2023 馆陶县模拟）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b＝ab2+ab+a，例如：2※5＝2×52+2×5+2＝62．
（1）求5※（﹣2）．
（2）若※2＞14，求m的取值范围．
【变式8-4】（2024春 朝阳区校级期中）阅读下面的材料：对于有理数a，b，我们定义符号max{a，b}：当a＜b时，max{a，b}＝b；当a≥b时，max{a，b}＝a．例如：max{﹣4，2}＝2，max{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，3}＝ ；
（2）若max{x﹣1，7}＝x﹣1，则x的取值范围是 ；
（3）当max{2x﹣3，x+2}时，求x的值．
【变式8-5】（2024春 榕城区期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式0的解集．
（2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
（3）若关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，求n的取值范围．
题型九 根据实际问题列不等式
【例题9】（2024春 中原区校级期中）七年级的小明要从郑州外国语中学到烈士陵园参加扫墓活动，两地相距3.6千米．已知他步行的平均速度为70米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过40分钟的时间内到达烈士陵园，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+70（40﹣x）≥3.6 B．70x+210（40﹣x）≤3600
C．210x+70（40﹣x）≥3600 D．70x+210（40﹣x）≤3.6
解题技巧提炼 此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知条件抽象出不等关系是关键，然后根据不等关系列出不等式.
【变式9-1】（2023春 楚雄州期中）植树节期间，某校组织八年级学生共162人参加植树活动，男生平均每人植树5棵，女生平均每人植树3棵．为了保证本次植树的数量不少于666棵，则至少需要多少名男生参加植树活动？设参加植树活动的男生人数为x人，则下列不等式正确的是（ ）
A．3x+5（162﹣x）≥666 B．5x+3（162﹣x）＞666
C．5x+3（162﹣x）≥666 D．5x+3（162﹣x）≤666
【变式9-2】（2023春 花山区校级期中）如图1所示的是4颗大小相同的玻璃球．将玻璃球全部放入一个容积为500cm3，且装有400cm3水的烧杯中（如图2），此时水不可能溢出，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．400+4x＜500 B．400+4x≤500 C．400+4x＞500 D．400+4x≥500
【变式9-3】（2024春 罗湖区期中）深圳读书月，是由深圳市委市政府举办的一项大型群众读书文化活动，以“阅读 进步 和谐”为总主题，着力于提升市民素质．2023年11月15日，第二十四届深圳读书月“年度十大好书”发布，小智同学对《中文打字机：一个世纪的汉字突围史》这本书很感兴趣，他从图书馆借来这本共488页的书，计划在14天之内读完，如果前4天每天只读27页，若从第5天起平均每天读x页才能按计划完成，则根据题意可列不等式为（ ）
A．（14﹣4）x≥488 B．（14+4）x≥488
C．4×27+（14﹣4）x≥488 D．4×27+（14+4）x≥488
【变式9-4】（2024春 西安期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.96元，电费比油费少0.8元．汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？若设汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（ ）
A．0.16x+0.96（100﹣x）≤40
B．0.96x+0.16（100﹣x）≤40
C．1.76x+0.96（100﹣x）≤40
D．0.96x+1.76（100﹣x）≤40
【变式9-5】（2023 二道区校级模拟）某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
题型十 列不等式解决实际问题
【例题10】（2022春 甘州区校级期末）为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并购买一些乒乓球拍做奖品．已知每个乒乓球1.5元，每个乒乓球拍22元．如果购买金额不超过200元，且购买的球拍数量要尽可能多，那么小张同学应该购买多少个球拍？
解题技巧提炼 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解．
【变式10-1】（2023 禅城区一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【变式10-2】（2024春 瑶海区校级期中）阳阳在易物儿童超市购买一款心爱的玩具，玩具成本为60元，定价为90元，当天是儿童节，超市打折优惠卖给小朋友，但利润率不能低于5%．则该玩具最多可以打（ ）
A．八五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【变式10-3】（2024春 龙华区期中）“迎五一 赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【变式10-4】（2022春 石景山区期末）某运输公司要将30吨蔬菜从仓储中心运往北京．现有A，B两种型号的车辆可供调用，已知A型车每辆可装3吨，B型车每辆可装2吨．现公司已确定调用5辆A型车，在每辆车不超载的前提下，要把30吨蔬菜一次性运完，至少需要调用B型车多少辆．
【变式10-5】（2023春 顺义区期中）为推进顺义区创建文明城区，某班开展“我爱顺义”主题知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的同学，班级准备从文具店一次性购买若干橡皮和笔记本（橡皮的单价相同，笔记本的单价相同）作为奖品．笔记本的单价比橡皮的单价多3元，若购买2块橡皮和3本笔记本共需19元．
（1）橡皮和笔记本的单价各是多少元？
（2）班级需要购买橡皮和笔记本共30件作奖品，购买的总费用不超过90元，班级最多能购买多少本笔记本？
【变式10-6】（2023春 市北区期中）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．根据信息，解答下列问题．
信息 1．快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物； 2．快餐总质量为400克； 3．脂肪所占的百分比为5%； 4．所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍.
（1）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（2）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
【变式10-7】（2022 林州市二模）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，
他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
（1）请求出A、B两款饰品的进价分别是多少？
（2）小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案？
【变式10-8】（2024 东昌府区模拟）市青少年活动基地需要补充一批损坏的遥控智能机器人，这批遥控智能机器人分为A型和B型．若购入1个A型遥控智能机器人和3个B型遥控智能机器人需要840元；若购入2个A型遥控智能机器人和1个B型遥控智能机器人需要680元．
（1）求每个A型遥控智能机器人和每个B型遥控智能机器人各需多少元；
（2）如果该青少年活动基地计划购入两种遥控智能机器人20个，总费用不超过4400元，那么至少购进B型遥控智能机器人多少个？
