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第十九章 一次函数培优测试卷（A卷）
时间：90分钟 满分：120分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）对于y关于x的函数（k是常数，），下列结论中正确结论的序号是（ ）
①其图象是一条直线；
②其图象必经过点；
③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是；
④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
9．（本题3分）已知一次函数的图象与平行，且过点，则该一次函数与坐标轴围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）嘉嘉和琪琪从地出发，骑自行车沿同一条路行驶到地，嘉嘉先出发行驶后琪琪出发，他们离出发地的距离和行驶时间之间的关系图像如下图所示，根据图中的信息，有下列说法：
①他们都行驶了；②琪琪全程共用了；
③琪琪出发后，琪琪和嘉嘉相遇；④嘉嘉在途中停留了．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②③④
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．（本题3分）点在直线上，则代数式的值是 ．
13．（本题3分）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
14．（本题3分）如图，直线和直线相交于，则二元一次方程组的解为 ．
15．（本题3分）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的函数图象，则该植物在 厘米时暂停生长．
16．（本题3分）已知平面直角坐标中有直线．
（1）该直线恒过一定点，则该点的坐标是 ；
（2）若平面直角坐标系中有三点，，，该直线将分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
17．（本题3分）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为 ．
18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A的坐标为.直线被正方形的边所截得的线段是，将这条直线向上平移后被正方形的边所截得的线段是，当时，直线向上平移了 个单位数.
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当时，求y的值；
(3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系．
20．（本题8分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400
油箱剩余油量 50 42 34 26 18
(1)自变量是______．因变量是______．
(2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱剩余油量为______．
(3)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的关系式______．
(4)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从地前往地，到达地时油箱剩余油量为，求两地之间的距离．
21．（本题8分）已知一次函数，完成下列问题：
(1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
(2)根据函数图象回答：
①不等式的解集是__________.
②当x__________时，．
③当时，相应x的取值范围是__________.
22．（本题10分）已知如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，连接，；
(1)求直线l的解析式；
(2)求的面积．
23．（本题10分）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点.
(1)求点的坐标；
(2)点是直线上一点，求当时，点的坐标；
(3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围.
24．（本题12分）夏季来临，金都百货准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用20000元购进甲种空调的数量与用15000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价；
(2)若甲种空调每台售价2600元，乙种空调每台售价1900元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过37500元购进空调，且甲种空调至少购进10台，请问：甲乙两种空调各购进多少台时，所获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
25．（本题12分）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B地的路程分别为（km），（km），甲车行驶的时间为x（h），与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
(1)甲、乙两车相遇点B 的坐标为 ；
(2)求乙车与甲车相遇后与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当两车相距40km时，直接写出x的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 一次函数培优测试卷（B卷）
时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（本题3分）如图是函数的图象，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
5．（本题3分）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ）
①； ② ； ③； ④当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）将的正方形网络如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
8．（本题3分）对于实数,，定义符号,其意义为:当时,:当时,,例如,若关于的函数,则该函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
12．（本题3分）若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
13．（本题3分）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ．
14．（本题3分）规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第 象限．
15．（本题3分）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发 h后，两人相遇．
16．（本题3分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为不为0的常数）与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，则的值是 ．
17．（本题3分）如图，直线与y轴，x轴分别交于A、B两点，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．
18．（本题3分）一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，；
③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题10分）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)不解关于的方程组，直接写出方程组的解．
20．（本题10分）在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比函数的图像向上平移5个单位，得到一次函数：．
(1)求一次函数的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，求A点的坐标．
(3)点是该直线上一点，点C在x轴上，当的面积为时，请直接写出C点的坐标．
21．（本题10分）甲骑摩托车，乙骑自行车从A地出发沿同一路线匀速骑行至B地，设乙行驶的时间为x（），甲、乙两人之间的距离y（）关于时间x（）的函数关系，如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙的速度为 ，两地相距 ；
(2)求图中线段的解析式；
(3)甲出发多少小时，甲、乙二人途中相距，直接写出答案．
22．（本题12分）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴正半轴交于点，的面积为16；直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的长；
(3)若直线上有一点，满足，请直接写出点的坐标．
24．（本题12分）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 一次函数培优测试卷（A卷）
时间：90分钟 满分：120分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，
本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（本题3分）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的增减性．由随的增大而减小知，，求解即可．
【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小
．
故选：A．
3．（本题3分）若为常数且，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的相关性质是解题的关键．
根据一次函数图象的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∴一次函数的图象在第一、二，四象限．
故选：B．
4．（本题3分）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
5．（本题3分）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式．设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为，然后根据题意，代入求解即可．
【详解】解：设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为，
由题意得，解得，
所以该一次函数解析式为．
故选：D．
6．（本题3分）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键．先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可．
【详解】解：把点代入到中得：，
∴，
∴，
∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处，
∴关于x的不等式的解集是，
故选D．
7．（本题3分）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∵过点和，
∴，
解得，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
8．（本题3分）对于y关于x的函数（k是常数，），下列结论中正确结论的序号是（ ）
①其图象是一条直线；
②其图象必经过点；
③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是；
④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论．
【详解】解：∵（k是常数，），
∴y是关于x的一次函数，其图象是一条直线，故①正确；
当时，，
∴其图象必经过点；故②正确；
当其图象经过第二、三、四象限时，，解得：，故③正确；
若y随x的增大而增大，则：，
∴，
则其图象与y轴的交点必定在正半轴上，故④正确；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键．
9．（本题3分）已知一次函数的图象与平行，且过点，则该一次函数与坐标轴围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与平行，可设这个一次函数的解析式为，代入点，求出的值，再求出该一次函数与两坐标轴的交点坐标，进一步即可得到该一次函数与坐标轴围成图形的面积．
【详解】解：一次函数的图象与平行，
可设这个一次函数的解析式为，
把点代入解析式，
得，
解得，
这个一次函数的解析式为，
当时，，
当时，，
该一次函数与坐标轴围成图形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了两直线的平行问题，待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
10．（本题3分）嘉嘉和琪琪从地出发，骑自行车沿同一条路行驶到地，嘉嘉先出发行驶后琪琪出发，他们离出发地的距离和行驶时间之间的关系图像如下图所示，根据图中的信息，有下列说法：
①他们都行驶了；②琪琪全程共用了；
③琪琪出发后，琪琪和嘉嘉相遇；④嘉嘉在途中停留了．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用，解题的关键在于掌握从图象中读取信息的数形结合能力．注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出不同位置函数的类型和所表示的意义，结合实际意义即可得到正确的结论．
【详解】解：①根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了，故原说法正确；
②根据图象可得：琪琪全程共用了，故原说法错误；
③根据图象可得：琪琪出发后，琪琪和嘉嘉相遇，故原说法错误；
④根据图象可得：表示嘉嘉的图象从时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了，故原说法正确．
综上所述，其中不正确的是②③，
故选：B．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为是解题的关键．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：．
12．（本题3分）点在直线上，则代数式的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
13．（本题3分）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
【答案】y＝x﹣
【分析】求出函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐标，再求出其对称的点的坐标，利用待定系数法1求得函数解析式即可．
【详解】y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，x＝﹣，
即函数和x轴的交点为（﹣，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣）和（1，0），
设反函数的解析式是y＝kx+b，
代入得：，
解得：k＝，b＝﹣，
即y＝x﹣，
故答案为y＝x﹣．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得对称点的坐标是解决问题的关键.
14．（本题3分）如图，直线和直线相交于，则二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解，首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【详解】解：直线经过点，
，
，
二元一次方程组的解为，
故答案为：．
15．（本题3分）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的函数图象，则该植物在 厘米时暂停生长．
【答案】16
【分析】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．设所在直线的解析式为，然后利用待定系数法求出解析式；把代入直线解析式进行计算即可得解．
【详解】解：设所在直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
所在直线的解析式为，
当时，，
该植物在16厘米时暂停生长，
故答案为：16．
16．（本题3分）已知平面直角坐标中有直线．
（1）该直线恒过一定点，则该点的坐标是 ；
（2）若平面直角坐标系中有三点，，，该直线将分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
【答案】
【分析】（1）将变形为，则可得出该点的坐标；
（2）直线将分成面积相等的两部分，分析出直线与x轴的交点，代入解析式即可得k的值．
【详解】解：（1）∵，
∴直线必经过定点，
∴直线恒过一点，则该点的坐标是，
故答案为：；
（2）∵，直线将分成面积相等的两部分，
∴直线过点B平分的面积，
∴直线为的边上的中线所在的直线，
∵，，
∴的中点坐标为：，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线过定点的计算、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
17．（本题3分）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为 ．
【答案】或4
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案即可．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
如图，当时，
∴，
∴，
如图，当时，
∴，
∴；
故答案为：4或．
18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A的坐标为.直线被正方形的边所截得的线段是，将这条直线向上平移后被正方形的边所截得的线段是，当时，直线向上平移了 个单位数.
【答案】4
【分析】根据题意，当，时，两直线被正方形的边所截得的线段长度相等，据此即可求得或的坐标，代入即可求得的值，由两直线与轴的交点即可求得平移的距离．
【详解】解：根据题意，当，时，两直线被正方形的边所截得的线段长度相等，
直线被正方形的边所截得的线段是，
，，
，，
，，
，
，
设平移后的直线解析式为，
把点的坐标代得，，
，
平移后的直线与轴的交点为，
，
直线向上平移了4个单位．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，能够明确题意是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当时，求y的值；
(3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质：
（1）设，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式进行求解即可；
（3）根据正比例函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设：，
∵时，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴当时，；
（3）∵，，
∴随的增大而增大，
∵点，都在该函数的图象上，且，
∴．
20．（本题8分）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400
油箱剩余油量 50 42 34 26 18
(1)自变量是______．因变量是______．
(2)该轿车油箱的容量为______L，行驶时，油箱剩余油量为______．
(3)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的关系式______．
(4)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从地前往地，到达地时油箱剩余油量为，求两地之间的距离．
【答案】(1)路程，剩余油量；
(2)；
(3)；
(4)两地之间的距离为．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出函数解析式，读懂表格数据所代表的含义，行驶路程为0时，即为油箱最大容积．
（1）根据函数的定义求解即可；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，即可求解；
（3）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与的关系式；
（4）把代入函数关系式求得相应的值即可．
【详解】（1）解：根据函数的定义，自变量是路程，因变量是剩余油量，
故答案为：路程，剩余油量．
（2）解：(1)由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为，
行驶，油箱剩余油量为：
故答案为：；
（3）解：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶， 油量减少，
据此可得与的关系式为：
故答案为：．
（4）解：令即
解得：
∴两地之间的距离为．
21．（本题8分）已知一次函数，完成下列问题：
(1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
(2)根据函数图象回答：
①不等式的解集是__________.
②当x__________时，．
③当时，相应x的取值范围是__________.
【答案】(1)见详解
(2)①②③．
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数解析式，可以求得该函数与轴和轴的交点坐标，然后即可画出该函数的图象；
（2）根据函数图象，熟练运用数形结合思想
①可以写出不等式的解集，
②当为何值时，，
③当取何值时，．
【详解】（1）解： ，
当时，，当时，，
即该函数图象过点，，
函数图象如图所示，
；
（2）解：①由图象可得，不等式的解集是．
故答案为：；
②由图象可得，当时，；
故答案为：；
③∵，随的增大而增大
∴，解得；
∴，解得
当时，相应的取值范围是，
故答案为：．
22．（本题10分）已知如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，连接，；
(1)求直线l的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，以及一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）把，，分别代入即可求解；
（2）求出直线l与坐标轴的交点即可求解；
【详解】（1）解：∵点A、B的坐标分别为，，
把，，分别代入得，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：由第（1）可得直线l与x轴交点坐标：，与y轴交点坐标为：，
∴．
23．（本题10分）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点.
(1)求点的坐标；
(2)点是直线上一点，求当时，点的坐标；
(3)若直线，当时，对的每一个值都有，直接写出的取值范围.
【答案】(1)点的坐标为
(2)或点
(3)
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的旋转是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
（2）先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可；
（3）利用数形结合，分和两种情况，利用直线旋转进行解题即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得.
.
解方程组，解得.
点的坐标为；
（2）直线与轴的交点，设点，.
当时，有或，解得或.
则点或点；
（3）解：由题可知直线是绕原点旋转的直线，
当时，直线自开始逆时针旋转，设与的交点为点N，当N的坐标为时，，
∴此时的取值范围为；
当时，直线自开始顺时针旋转到时，均满足题意，即，
∴此时的取值范围为；
综上所述的取值范围为．
24．（本题12分）夏季来临，金都百货准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用20000元购进甲种空调的数量与用15000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价；
(2)若甲种空调每台售价2600元，乙种空调每台售价1900元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若商场计划用不超过37500元购进空调，且甲种空调至少购进10台，请问：甲乙两种空调各购进多少台时，所获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1500元
(2)
(3)甲空调购进15台，乙空调购进5台时，所获得的利润最大，最大利润是11000元
【分析】本题考查了列分式方程解应用题，一元一次不等式组，以及利用一次函数的增减性求最值问题，正确的列出关系式是解题的关键．
（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据总利润=甲种空调所获利润+乙种空调所利润，列关系式即可；
（3）根据商场计划用不超过37500元购进空调，且甲种空调至少购进10台，列不等式求出x的范围，再根据一次函数的增减性求出y的最大值即可．
【详解】（1）设乙种空调每台进价为x元，则甲种空调每台进价为元，
由题意得： ，
解之得， ，
经检验是原分式方程的解，
∴（元），
答：甲种空调每台进价2000元，乙种空调每台进价1500元．
（2）由题意可得，所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是：
，
∴所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式是．
（3）由题意可得，，
解之得， ，
又∵，
∴，
∵，
∴所获利润y随甲种空调数量x的增大而增大，
∴当时， y取最大值，此时（元），
，
答：甲空调购进15台，乙空调购进5台时，所获得的利润最大，最大利润是11000元．
25．（本题12分）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲，乙两车与B地的路程分别为（km），（km），甲车行驶的时间为x（h），与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：
(1)甲、乙两车相遇点B 的坐标为 ；
(2)求乙车与甲车相遇后与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当两车相距40km时，直接写出x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）求出甲车的速度，进而求出甲车行驶200km所需的时间，即可得出点B 的坐标；
（2）设乙车与甲车相遇后，根据图象可知直线过，代入求解即可；
（3）分相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，甲车的速度为：，
当甲乙相遇时，甲车行驶了200km，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）设设乙车与甲车相遇后的解析式为，由图象可知直线过，
∴，解得：，
∴；
（3）(3)设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式，
图象过点，
∴，解得，
∴，
∴两车相遇前：，解得；
两车相遇后，，解得：；
综上所述：或．中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 一次函数培优测试卷（B卷）
时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此可得，解之即可．
【详解】解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
∴，
∴，
故选：C．
2．（本题3分）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】解：一次函数中，
，
随的增大而增大，
，
，
故选：A．
3．（本题3分）如图是函数的图象，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据的图象，得出，因为函数，得出，再与每个选项的图象情况作比较，即可作答．
【详解】解：∵的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∵，
∴经过第二、三、四象限，
故选：C．
4．（本题3分）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：C
5．（本题3分）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论中，正确的有（ ）
①； ② ； ③； ④当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴，故①选项不符合题意；
由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，
∴，故②选项不符合题意；
∵一次函数与的图象交于点P，且P的横坐标为1，
∴，故③选项符合题意；
由图象可知，当时，，故④选项不符合题意；
综上，正确的选项只有③，
故选：A．
6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．利用图象法求解即可．
【详解】解；∵直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，
∴，
∴，
∴直线，
令得，解得，
∴,
由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象上方，
∴的解集为．
故选：C
7．（本题3分）将的正方形网络如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】B
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线过点A及点C时k的值，再结合直线与正方形有两个公共点，即可求解．
【详解】解：当直线过点时，，
解得，
当直线过点时，，
解得，
∵直线与正方形有两个公共点，
∴k的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出直线过点A及点C时k的值是解题的关键．
8．（本题3分）对于实数,，定义符号,其意义为:当时,:当时,,例如,若关于的函数,则该函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定义分情况列出不等式：①当2x-1≥-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5；②当2x-1≤-x+5时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】解：由题意得：
①当2x-1≥-x+5,即x≥2时，y=min{2x-1，-x+5}=-x+5,
∴-1＜0，y随x的增大而减小，
∴当x≥2时，y取得最大值3；
②当2x-1＜-x+5,即x＜2时，y=min{2x-1，-x+5}=2x-1,
∴2＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＜2时，y＜3.
综上可知，函数的最大值为3.
故选：B.
【点睛】本题考查了新定义、一次函数的图像与性质问题，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解决函数的最值问题是解题的关键．
9．（本题3分）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】解：正方形中，过点作轴于点，
设直线所在的直线解析式为，
代入，得
，
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（本题3分）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得和的长是解题的关键．
连接交与点，根据菱形的性质得出直线，且，，即可求得直线的解析式为，进而求得的坐标，从而求得的坐标以及的长，把的坐标代入，求得的值，即可求得的坐标，根据勾股定理求得，根据，即可得到，然后根据菱形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接交于点，如图所示．
在中
令，得到，
，
令，得到，
，
，
，
，
四边形是菱形，
直线，
，
过点C作轴于点H，
，
，
设的表达式为，
将和代入得：
解得：
直线的解析式为，
四边形是菱形，
且平分，
Q为的中点，
，，
，，
，
把的坐标代入得，，解得，
直线为，
，
，
，，
，
，
，
菱形的面积为，
故选：D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查的函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，解得且，
故答案为：且．
12．（本题3分）若直线l与直线平行，且l过点，则直线l的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b即可解答．
【详解】∵直线l与直线平行，
∴设直线l的函数表达式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的函数表达式为．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ．
【答案】//
【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出点A的坐标，然后求出直线的解析式，再把P，Q代入两个函数得到的表达式，根据t的取值范围即可求出最大值．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，即点，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
故答案为：．
14．（本题3分）规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第 象限．
【答案】二
【分析】根据题意得出，，求出，求出为，即可得出答案．
【详解】解：∵“特征数”为的一次函数是正比例函数，
∴，
解得：，
∵y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
∵在第二象限，
∴在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
15．（本题3分）A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发 h后，两人相遇．
【答案】2.1
【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答．
【详解】解：乙的速度：
∵乙在途中休息了后按原速度继续前进
∴设时，乙的函数解析式为
把代入
得
∴
∴时，乙的函数解析式为
依题意，设甲的函数解析式
把代入
得
∴
∴甲的函数解析式
∵两人相遇
∴
∴
解得
则出发后，两人相遇
故答案为：
16．（本题3分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线（为不为0的常数）与轴正半轴，轴负半轴分别交于点，，则的值是 ．
【答案】
【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可．
【详解】解：，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．（本题3分）如图，直线与y轴，x轴分别交于A、B两点，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】求得两点坐标，再作点关于轴的对称点，则当三点共线时，的值最小，求得解析式，即可求解．
【详解】解：当时，，即
当时，，解得，即
∵C，D分别为线段，的中点，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，，如下图：
由对称的性质可得：
∴
当当三点共线时，的值最小，为
设直线的解析式为，
将两点代入可得：，解得
即直线的解析式为
将代入得，，解得
即点的坐标为
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
18．（本题3分）一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，；
③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
【答案】①②③
【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④．
【详解】解：依题得：，
解得：，，
时，，
，①正确；
当随着的值增大而增大时，，
即，，
②正确；
，
，
直线与轴相交于点，
即，
④错误；
当时，，
，
，
即，解得，
时，,
,
，
即，解得，
③正确．
综上，结论中一定正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题10分）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)不解关于的方程组，直接写出方程组的解．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，
（1）将点代入，求出，得到．把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积；
（3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
，，
，
把和代入一次函数，
得，
解得，
一次函数解析式是；
（2）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，得，解得，
点，
，
，
的面积；
（3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
方程的解为．
20．（本题10分）在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比函数的图像向上平移5个单位，得到一次函数：．
(1)求一次函数的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，求A点的坐标．
(3)点是该直线上一点，点C在x轴上，当的面积为时，请直接写出C点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求得正比例函数的解析式，利用上加下减的原则求得一次函数的解析式；
（2）令y=0，求得x的值，即可求得A的坐标；
（3）利用三角形面积求得AC，即可根据A的坐标求得C点的坐标．
【详解】（1）设正比函数解析式为，
把代入得，，
∴正比函数解析式为，
所以一次函数解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴；
（3）∵点B是该直线上的一点，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，即，
∴，
∵，
∴或．
【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得一次函数的解析式是解题的关键．
21．（本题10分）甲骑摩托车，乙骑自行车从A地出发沿同一路线匀速骑行至B地，设乙行驶的时间为x（），甲、乙两人之间的距离y（）关于时间x（）的函数关系，如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙的速度为 ，两地相距 ；
(2)求图中线段的解析式；
(3)甲出发多少小时，甲、乙二人途中相距，直接写出答案．
【答案】(1)10，25
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意结合图象以及路程、速度与时间的关系列式计算即可求解；
（2）根据追及问题求出甲的速度，的值，设图中线段的解析式为，再结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式即可；
（3）设图中线段的解析式为，结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式，再根据题意知甲、乙二人途中相距，根据这个条件建立等式求解，即可解题（注意要从甲出发的时间算起）．
【详解】（1）解：由图知，乙骑自行车先从A地出发后，甲骑摩托车才从A地出发，
乙的速度为（），
由图知，乙骑自行车先从A地出发后，行至B地，
两地相距（），
故答案为：10，25．
（2）解：由点时，甲追上乙，
甲的速度为（），
，
设图中线段的解析式为，
由图知，，，
，
解得，
图中线段的解析式为；
（3）解：设图中线段的解析式为，
由图知，，，
，
解得，
图中线段的解析式为，
甲、乙二人途中相距，
或，
解得或，
（），（），
甲出发或，甲、乙二人途中相距．
22．（本题12分）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【答案】(1)任意实数
(2)2
(3)见解析
(4)0
(5)x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可；
（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．
（5）根据函数图象解答即可．
【详解】（1）∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
（2）∵当x=-1时，y=|-1-1|=2，
∴b=2．
故答案为：2；
（3）如图，
（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：0．
（5）x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴正半轴交于点，的面积为16；直线与直线交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的长；
(3)若直线上有一点，满足，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积可求的值，即可求解；
（2）根据两直线交点的求法求得点的坐标；然后利用勾股定理求得的长度；
（3）分两种情况讨论，利用平行线的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解： 直线与轴交于点，与轴正半轴交于点，
点，点，
，，
的面积为16，
，
，
直线的解析式为：；
（2）解：由题意，得，
解得．
故．
则；
（3）解：由（1）知，则点，
当点在直线的上方时，
，
，
点的纵坐标为4，
点在直线上，
，
，
点，
当点在直线的下方时，延长交于，
，
，
，
，
，
点，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组可得：，
．
点，
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．（本题12分）【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
