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【专题】 求一次函数解析式的六种类型
本专题总结求一次函数解析式的六种类型：
1.定义型：依据一次函数的定义求解函数解析式；
2.两点型：已知直线上的两点坐标利用待定系数法求解函数解析式；
3.平移型：利用一次函数图象平移规律“两条直线互相平行，则一次项系数相同”“上加下减（常数项）、左加右减（自变量）”
4.面积型：在平面直角坐标系中，表示面积并求出特定点坐标代入求函数解析式；
5.图象型：根据图象中的信息，提取出点的坐标，待定系数法求解函数解析式；
6.实际应用型：联系具体的实际问题，列出函数表达式.
类型一 定义型
1．已知是一次函数．
(1)求的值；
(2)若，求对应的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一般形如（是常数，且）的函数是一次函数，根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案；
（2）首先判断该函数图像的增减性，然后结合题意即可获得答案；
【详解】（1）解：∵是一次函数，
∴且，
解得；
（2）由（1）可知，该一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，对应的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、一元一次方程的应用、绝对值的应用、一次函数的图像与性质等知识，理解一次函数的定义、熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．
2．已知函数是一次函数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可．
【详解】解：函数是一次函数，
，
解得：．
3．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键；
（1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
当时，
，
解得：，
与x的函数关系式为，
即；
（2）把代入得，
∴．
4．已知与x成正比例，与成正比例．当时，；当时，．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，解方程组，已知解析式求函数值，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，，再建立方程组，求出与即可；
（2）先求出当时的与，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵与x成正比例，与成正比例．
∴设，，
当时，；当时，，
∴，解得；
所以这两个函数的解析式分别为：，
（2）当时，，，
∴
．
类型二 两点型
5．如图，直线交x轴，y轴于，B两点，直线交x轴，y轴于C，两点，直线，相交于点．
(1)求直线，的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式是；直线的表达式是
(2)
【分析】本题考查的是坐标与图形，求解一次函数的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求解的坐标及的长，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）解：设直线的表达式是，根据题意，可得方程组：
，
②①，得，
∴．
把代入②，得，
∴直线的表达式是．
∵，
设直线的表达式是，
得，解得，
∴直线的表达式是．
（2）当时，则，
∴直线与x轴的交点C的坐标是．
∴，
设的面积为S，而，
则．
6．一次函数的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点．已知点在该图象上，连接．
(1)求函数的关系式；
(2)求的面积
(3)点 P 为 x 轴上一动点，若，求点 P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）把、代入到中进行求解即可；
（2）先求解A的坐标，再结合B的坐标，直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）设点P的坐标为，根据得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：把、代入到中得：，
∴，
∴函数的解析式为；
（2）把代入，
∴，即，
∵，
∴．
（3）设点P的坐标为，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的面积，求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．
类型三 平移型
7．如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D．
(1)求直线和直线的关系式；
(2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为：；直线的解析式为：
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）设直线的解析式为：，将两点代入即可求解；设直线的解析式为：，将点代入即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点作的平行线，则点M是直线与直线的交点，据此即可求解；
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵
∴设直线的解析式为：，
则,
解得：
∴直线的解析式为：，
（2）解：如图所示：过点作的平行线，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
则直线的解析式为：，
∵点M在直线上，且与的面积相等，
∴点M是直线与直线的交点
则，
解得：
∴
点关于点的对称点为：
综上所述：点M的坐标为或
8．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，将直线向右平移3个单位长度得到直线．
(1)求点，点的坐标，画出直线及直线；
(2)求直线的解析式；
(3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式．
【答案】(1)，，见解析
(2)
(3)将直线向下平移6个单位长度得到直线
【分析】（1）把代入，得点的横坐标，把代入，得点的纵坐标，然后标出点，点的坐标即可作出直线，根据题意即可作出直线；
（2）根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得直线的解析式；
（3）根据直线和直线的解析式特征，即可知道其中一种平移方式，此处答案不唯一，合理即可．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，
当时，，解得，
∴，，
经过，两点的直线即为直线，
然后将直线向右平移3个单位长度得到直线，
所以，且直线经过；
作出直线及直线的图象如图所示：
（2）解：因为直线向右平移3个单位长度得到直线，
所以直线，
即直线的解析式为；
（3）解：∵直线，直线，
∴直线向下平移6个单位长度得到直线（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是一次函数图象、一次函数的解析式以及一次函数的平移性质等知识内容，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，将图象向上平移2个单位后与轴交于点，与轴交于点，
(1)求的值；
(2)直接写出图象经过点和点的一次函数的解析式为___________；
(3)请求出的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)9
【分析】（1）把点坐标代入函数解析式中进行求解即可得到答案；
（2）根据平移的性质和（1）中的结论计算出平移后的函数解析式即可；
（3）根据（2）中求得的函数解析式，分别求出、两点的坐标，然后计算面积即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
∴，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：∵直线是由直线向上平移2个单位得到的，
∴直线的解析式为：，
故答案为：．
（3）解：∵、分别是直线与轴、轴的交点，
将代入，
解得；
将代入，
解得；
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，平移的性质以及三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
类型四 面积型
10．如图，过点的两条直线分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求的表达式；
(2)若的面积为4，求直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理；
（1）根据勾股定理求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据的面积为4，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，由勾股定理得：，
∴，
∴设的表达式为：，把代入，得：；
∴的表达式为：；
（2）∵的面积，
∴，
∵，
∴，
设的表达式为：，把代入，得：；
∴的表达式为：．
11．定义为一次函数的特征数．
(1)若特征数是的一次函数是正比例函数，求k的值；
(2)在平面直角坐标系中，有两点，，且的面积为4（O为原点），求图象经过A，B两点的一次函数的特征数．
【答案】(1)
(2)特征数为或
【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，求一次函数解析式；
（1）根据“正比例函数（k是常数，）”的定义，代入求值即可；
（2）由三角形的面积公式可得，解绝对值方程求得m的值后，再由A、B两点坐标待定系数法求得一次函数解析式即可；
【详解】（1）解：若一次函数是正比例函数，则，且，
解得；
（2）解：∵的面积为4，
∴，
，当时，当时，
∴，
当时，，代入得，
解得，
此时特征数为，
当时，，代入得，
解得，
此时特征数为，
综合以上，图象经过A，B两点的一次函数的特征数为或；
类型五 图象型
12．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当时，，解得
②在机器工作过程中
当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
13．为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数）
(1)求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式；
(2)若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？
【答案】(1)
(2)购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）分和两种情况，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出，可以求得自变量的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到最小值．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
将代入，得，解得.
当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
将，代入，得
，解得.
当时，与的函数关系式为．
综上所述，与的函数关系式为．
（2）设购进唱片的数量为张，则购进唱片的数量为张，根据题意，得
，解得，且为整数.
.
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
（元）.
购进唱片的数量为：（张），
答：购进唱片的数量为50张，唱片的数量为100张时，总购进费用最少．
类型六 实际应用型
14．商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
(1)求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
(2)该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每副A型球拍的价格为120元，每副B型球拍的价格为80元
(2)商场购进A型球拍110副，B型球拍50副利润最大，最大利润为4300元
【分析】（1）设每副“型球拍”的价格为元，则每副“型球拍”的价格为元，根据“用6000元购进“型拍”与用4000元购进“型球拍”的数量相同”列出方程，解方程即可；
（2）设商场购进“型球拍”副，则购进“型球拍”副，完全售出后所得利润为元，根据总利润两种球拍的利润之和列出函数解析式，然后根据函数的性质和的取值范围求出函数解析式．
【详解】（1）解：设每副“型球拍”的价格为元，则每副“型球拍”的价格为元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
此时，
答：每副“型球拍”的价格为120元，每副“型球拍”的价格为80元；
（2）设商场购进“型球拍” 副，则购进“型球拍” 副，完全售出后所得利润为元，
根据题意得：，
两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，
，
解得，
，
当时，最大，最大值为4300，
此时，
答：商场购进“型球拍”110副，“型球拍”50副利润最大，最大利润为4300元．
【点睛】本题主要考查一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
15．某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
(1)求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
(2)若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
(3)在（2）的条件下，设购买B型货车x辆(x≤26)，购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
【答案】(1)1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元
(2)至少可以购买20辆B型货车
(3)①y＝5x+600(x≤26)；②购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元
【分析】（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，根据题意可列出关于a，b的二元一次方程组，解之，即可得出答案；
（2）设购买B型货车m辆，根据题意可列出关于m的一元一次不等式，解出m即得出答案；
（3）①根据题意直接列出等式即可；②由一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元，
根据题意得：，
解得，
∴1辆A型货车价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元；
（2）设购买B型货车m辆，则购买A型货车(30-m)辆，
根据题意得：20(30-m)+15m≤500，
解得m≥20，
∴至少可以购买20辆B型货车；
（3）①根据题意得：y＝20(30-x)+15x＝-5x+600(x≤26)；
②在y＝-5x+600(x≤26)中，
∵-5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝26时，y取最小值，最小值为-5×26+600＝470(万元)，
此时30-x＝30-26＝4，
答：购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少470万元．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式和函数关系式．
16．为丰富学生体育活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价八折出售；
乙：一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款，超过其一定金额的部分享受打折优惠．
设需要购买体育用品的原价总额为元，实际付款为元，其函数图象如图所示．
当时，在甲、乙两个专卖店购买商品实际付款相同．
(1)当时，________．
(2)当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，求与之间的函数关系式，并直接写出打几折出售．
(3)当在甲、乙两个专卖店一次购买商品的原价总额相同，而实际付款相差20元时，直接写出的值．
【答案】(1)480
(2)，打七折出售
(3)100，400，800
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据“甲专卖店所有商品按原价八折出售”计算即可；
（2）根据“乙专卖店一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款”，求出当时对应该图象上的值，利用待定系数法求出与之间的函数关系式，根据的系数可直接写出打几折出售；
（3）分别求出甲、乙两个专卖店与之间的函数关系式，根据实际付款的差值列绝对值方程并求解即可．
【详解】（1）解：当时，．
故答案为：480．
（2）解：根据题意，当时，对应乙图象上．
当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，设与之间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，与之间的函数关系式为，打七折出售．
（3）根据题意，在乙专卖店一次购买商品没有打折优惠时，，
在乙专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为；
根据题意，在甲专卖店购买商品时，与之间的函数关系式为．
当时，，解得；
当时，，解得或．
的值为100、400或800．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题】 求一次函数解析式的六种类型
本专题总结求一次函数解析式的六种类型：
1.定义型：依据一次函数的定义求解函数解析式；
2.两点型：已知直线上的两点坐标利用待定系数法求解函数解析式；
3.平移型：利用一次函数图象平移规律“两条直线互相平行，则一次项系数相同”“上加下减（常数项）、左加右减（自变量）”
4.面积型：在平面直角坐标系中，表示面积并求出特定点坐标代入求函数解析式；
5.图象型：根据图象中的信息，提取出点的坐标，待定系数法求解函数解析式；
6.实际应用型：联系具体的实际问题，列出函数表达式.
类型一 定义型
1．已知是一次函数．
(1)求的值；
(2)若，求对应的取值范围．
2．已知函数是一次函数，求的值．
3．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．
4．已知与x成正比例，与成正比例．当时，；当时，．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)当时，求的值．
类型二 两点型
5．如图，直线交x轴，y轴于，B两点，直线交x轴，y轴于C，两点，直线，相交于点．
(1)求直线，的表达式；
(2)求的面积．
6．一次函数的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点．已知点在该图象上，连接．
(1)求函数的关系式；
(2)求的面积
(3)点 P 为 x 轴上一动点，若，求点 P的坐标．
类型三 平移型
7．如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D．
(1)求直线和直线的关系式；
(2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，将直线向右平移3个单位长度得到直线．
(1)求点，点的坐标，画出直线及直线；
(2)求直线的解析式；
(3)直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，将图象向上平移2个单位后与轴交于点，与轴交于点，
(1)求的值；
(2)直接写出图象经过点和点的一次函数的解析式为___________；
(3)请求出的面积．
类型四 面积型
10．如图，过点的两条直线分别交y轴于点B、C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知．
(1)求的表达式；
(2)若的面积为4，求直线的表达式．
11．定义为一次函数的特征数．
(1)若特征数是的一次函数是正比例函数，求k的值；
(2)在平面直角坐标系中，有两点，，且的面积为4（O为原点），求图象经过A，B两点的一次函数的特征数．
类型五 图象型
12．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
13．为响应地摊经济，小宁准备购进和两种唱片进行售卖，其中唱片单价为每张40元，唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数）
(1)求出唱片购进费用（元）与唱片购进数量（张）的函数关系式；
(2)若小宁打算购进两种唱片共150张，其中唱片的数量不少于40张，唱片数量不少于唱片数量的一半，设购进，两种唱片的总购进费用为元，则如何设计购进方案，才能使总购进费用元最少？
类型六 实际应用型
14．商家发现最近很多社区开展“全民健身全家健康”的活动，为了适应市场需求，服务场周围群众，商场需要从厂家购进两种不同型号和价格的“羽毛球拍”，已知用6000元购进“A型拍”与用4000元购进“B型球拍”的数量相同，且每副“B型球拍”比每副“A型球拍”的价格便宜40元．
(1)求这两种“羽毛球拍”每副的价格．
(2)该商场计划购进“A型球拍”的数量比“B型球拍”数量的2倍还多10副，且两种“羽毛球拍”的数量不超过160副，售价见店内海报（如图所示），该商场应如何安排进货才能使完全售出后利润最大？最大利润是多少？
15．某物流公司计划向货车生产厂家购买A，B两种类型的货车共30辆．已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元．
(1)求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元？
(2)若物流公司计划用500万元购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？
(3)在（2）的条件下，设购买B型货车x辆(x≤26)，购买A，B型货车的总费用为y万元．
①求y关于x的函数解析式；
②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A，B型货车的总费用最少？最少是多少万元？
16．为丰富学生体育活动的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个专卖店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价八折出售；
乙：一次购买商品总额不超过一定金额时按原价付款，超过其一定金额的部分享受打折优惠．
设需要购买体育用品的原价总额为元，实际付款为元，其函数图象如图所示．
当时，在甲、乙两个专卖店购买商品实际付款相同．
(1)当时，________．
(2)当在乙专卖店一次购买商品有打折优惠时，求与之间的函数关系式，并直接写出打几折出售．
(3)当在甲、乙两个专卖店一次购买商品的原价总额相同，而实际付款相差20元时，直接写出的值．
