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【专题】一次函数的常见应用题
一、一次函数与行程问题
1．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车先从A地沿这条公路匀速驶向C地，1小时后乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离（单位：），（单位：）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．其中正确的选项是（ ）
①甲车的行驶速度为；
②乙车的行驶速度为；
③求乙车出发小时，两车相遇；
④两车相遇时，甲车距离C地．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程及一次函数的应用，能从图像中获取有效信息是解题的关键．
根据“速度=路程÷时间”并结合图像分别求出甲、乙两车的速度即可判定①②；先根据行程问题中的相遇问题列出方程求得相遇时间，进而确定甲车与C地的距离，即可判定③④．
【详解】解：甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，即①②正确；
设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
，解得：．
∴乙车出发小时，两车相遇．故③错误；
∴此时甲车行驶时间为小时，
∴甲车距离C地的距离为：，即④正确；
综上，正确的有①②④．
故选：D．
2．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A．乙比甲提前出发 B．甲行驶的速度为
C．3h时，甲、乙两人相距 D．或时，乙比甲多行驶
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车走的路程和甲车走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D．
【详解】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；
甲的速度是，故B正确；
乙的速度是，
甲车行走的路程为，
乙车行走的路程为，
∴后甲、乙相距，故C错误；
乙车走了，
甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶，乙走了，
此时甲行走的路程为，
乙车比甲车多走了，故D正确．
故选：C．
3．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题关键，两人之间的距离时两人相遇，从图象得到A、B两地相距2800米，再从图像得到第二次相遇耗时为60分钟，即可求出第一次相遇的时间c，再根据第一个拐点出现时亮亮到达A地，可求出两人的速度，即可求得a，在时，两人相向而行，最后一段两人相对而行，即可求出b和d，即可得到答案．
【详解】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，
第二次相遇两人共走了米，
且二者速度不变，
∴（分）．
故C选项不符合题意；
∵时，出现拐点，
∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为（米/分），
两人的速度和为（米/分），
明明的速度为（米/分），
∴（米）；
故A选项不符合题意；
第三个拐点处应为明明到达B地，
此时所用时间为（分），
故D选项不符合题意；
此时（米），
故B选项符合题意；
故选：B．
4．学校提倡“低嘊环保，绿色出行”、小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发、沿同一条路匀速新进．如图所示、和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，下列结论：①小明和小亮两家相距；②小亮比小明早到0.1小时；③小明步行的速度为每小时，④小明和小克在距离学校处相遇，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．由图逐项判断，用待定系数法求出和的函数解析式，再令解方程求出相遇时间，再判断即可．
【详解】解：由图知：小明和小亮两家相距，小亮比小明早到小时，
故①，②正确；
小明步行的速度为每小时，故③正确，
设的函数解析式为，
则，
解得，
的函数解析式为；
设的函数解析式为，
则，
解得，
的函数解析式为；
令，即，
解得，
出发小时后两人相遇，此时小明和小克在距离学校处．
故④正确．
故答案为：D．
5．在一次玩具赛车展示表演中，王强操控的甲玩具赛车和李明操控的乙玩具赛车分别从相距的A，B两处同时出发，相向而行，相遇后，甲车继续以原速行驶到B处，乙车则立即以原速原路返回到B处，甲、乙两玩具赛车到A处的距离y（）与各自行驶时间x（）之间的关系如图所示．
(1) ， ；
(2)求乙玩具赛车距A处的距离y（）关于行驶时间x（）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲、乙两玩具赛车相距时，直接写出乙玩具赛车距A处的距离．
【答案】(1)6，240
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用及待定系数法求函数解析式，根据图象求分段函数的解析式是解题的关键．
（1）根据两车相遇后乙车立即以原速原路返回到地，相遇时间是，则是相遇时间的2倍，即可求出的值，根据甲车行驶到地所用的时间为，行驶的路程为，即可求得甲车的速度，根据相遇时甲车行驶了即可求得的值；
（2）根据乙车运动的图象，分和，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）由图象知求出甲车距地的路程关于的函数解析式，再根据甲、乙两玩具赛车相距，即可求解；
【详解】（1）解：∵两车相遇后乙车立即以原速原路返回到地，相遇时间是，
∴是相遇时间的2倍，
∴，
∵甲车行驶到地所用的时间为，行驶的路程为，
∴甲车的速度为：，
∵甲用3小时相遇再到地，
∴，
故答案为：6，240；
（2）当自变量的取值范围是时，
设关于的函数解析式为
因为图象过与，
所以，
解得，
所以乙车距地的路程关于的函数解析式为；
当自变量的取值范围是时，
设关于的函数解析式为，
因为图象过与，
所以，
解得，
∴乙车距地的路程关于的函数解析式为，
综上，关于的函数解析式为．
（3）设甲车距地的路程关于的函数解析式为，
因为图象过，
所以，
解得，
所以甲车距地的路程关于的函数解析式为；
当甲、乙两玩具赛车相距时，
可得或，
解得：或（舍），
当时，，
∴当甲、乙两玩具赛车相距时，乙车距地的路程为．
答：当甲、乙两玩具赛车相距时，乙车距地的路程为．
6．小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5 小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示．
(1)该电动汽车每小时的充电量为_______；
(2)求线段所表示的Q与t之间的函数表达式；
(3)在图②中，画出小美离家的距离与t的函数图象．
【答案】(1)100
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取正确的信息．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）求出汽车每小时耗电量和到达景点时汽车剩余电量，利用待定系数法法求出函数解析式即可；
（3）求出关键点的坐标，运用描点连线画出图象即可．
【详解】（1）（1）由题意可得，，
即该电动汽车每小时的充电量为100，
故答案为：100
（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．
∴汽车行驶时每小时耗电
，
∴到达景点时汽车剩余电量为：
设线段所表示的Q与t之间的函数表达式为,
则，
解得
∴线段所表示的Q与t之间的函数表达式为；
（3）根据题意，小美在景区游玩了（小时）
当时，小美游玩结束开始返回，
∴当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
画出图象如下：
7．杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示．
(1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式．
(2)求明明的跑步速度．
(3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值．
【答案】(1)；
(2)明明的跑步速度为；
(3)t的值为2.25或1.75或或．
【分析】（1）设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：，把代入可得k的值，即可求解；
（2）求得当时，，除以明明跑步的时间即可求得明明的跑步速度；
（3）求得明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式，爸爸和明明相距，两个函数值的差的绝对值=0.5，求解即可得到的两个值：明明未出发时，以及明明到达目的地后，都可能与爸爸相距求得另两个的值即可．
本题考查一次函数的应用，得到爸爸和明明离开出发点的路程与时间的函数表达式是解决本题的关键，易错点是要分情况探讨明明和爸爸相距0.5千米时爸爸所用时间的不同情况．
【详解】（1）解：设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：．
∵经过点，
∴．
解得：．
∴；
答：爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式为：；
（2）当时，．
∴明明的跑步速度＝．
答：明明的跑步速度为；
（3）设明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式为：．
∵经过点．
∴．
解得：．
∴．
∵爸爸和明明相距，
∴．
∴．
∴或．
解得：或．
明明还未出发时，和爸爸相距0.5千米．
．
解得：t＝．
明明到达目的地后，和爸爸相距0.5千米．
．
．
解得：t＝．
综上：t的值为2.25或1.75或或．
8．甲、乙两地相距300 km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度．
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离．
(3)货车出发多长时间后，两车相距60km？
【答案】(1)轿车的平均速度为60km/h，货车的平均速度为40km/h
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
(3)货车出发或后，两车相距．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可；
（3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，
轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，得，解得；
当时，设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，，解得．
货车出发或后，两车相距．
9．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
(1)图中t的值为 ；
(2)求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式；
(3)直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值．
【答案】(1)1．
(2)．
(3)或
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
（1）求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得；
（2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，把，代入可得；
（3）根据甲乙两人相距列方程求值即可．
【详解】（1）由图象可得，乙的速度为（千米时），
开始时，甲、乙两人骑行速度相同，
，
故答案为：1；
（2）设甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为，
把，代入得：
，
解得，
甲改变骑行速度后，关于的函数关系式为；
（3）乙的速度为15千米小时，
乙骑行过程中，关于的函数解析式为，
甲、乙两人相遇前后相距，
则，
解得或
所以当或时，甲乙两人相距．
故答案为：或
二、一次函数与销售最值问题
10．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元
【答案】B
【分析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，根据在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍可得：，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】解：设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，
根据题意得：，
解得：，
∵，，
∴随的增大而减小，
∴当时，W取最大值，最大值为（元），
答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出x的范围．
11．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（ ）
A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
【答案】B
【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润．
【详解】解：设与的一次函数关系式为，
由图可得，
解得，
所以与的一次函数关系式为，
把代入可得，
所以销售利润为（元）．
故选B．
【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
12．由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
(1)问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
(2)若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
【答案】(1)型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元
(2)购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元
【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，依题意列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意列出不等式和表示出利润，然后根据一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组、一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，
依题意得：，
，
随的增大而增大，
又，
，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元．
13．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？
【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元
(2)要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用．
（1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元，根据题意列方程并求解即可；
（2）设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为W元，写出W关于a的函数，根据该函数的增减性，确定当a取何值时W取最小值，求出最小值即可．
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元．根据题意，得
，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
（元），
∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元．
（2）解：设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副．根据题意，得：
，
解得，
设花费的资金总额为W元，则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∵且x为整数，
∴当时，W取最小值，，
∴要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元．
14．某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
(2)若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】(1)600元，1000元
(2)购买A种型号帐篷15顶，购买B种型号帐篷5顶，总费用最低，最低总费用为14000元
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用：
（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）解：设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷顶，
∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，
∴，解得，
根据题意得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，
此时，
∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．
15．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【答案】(1)甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元
(2)购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，
（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；
熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
16．2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元．
(1)求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？
(2)该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计800本，并且甲种图书不超过乙种图书的，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为多少元？
【答案】(1)甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元
(2)该批发商所获最大利润为1000元
【分析】（1）根据“若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元”列二元一次方程组，即可求解，
（2）根据“共计800本”设甲种本，乙种本，根据“两种图书提高售出”列式
，根据“甲种图书不超过乙种图书的”列式，即可求解，
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式．
【详解】（1）解：设甲种图书的进价为元，乙种图书的进价为元，
根据题意得：，解得：，
故答案为：甲种图书的进价为20元，乙种图书的进价为10元，
（2）解：设购进甲种图书的数量为本，则购进乙种图书的数量为本，
根据题意得：，
，解得：，
∴当时，利润最大，
（元），
故答案为：该批发商所获最大利润为1000元．
17．五一劳动节前夕，龙泉公园管理处购进两种类型的花卉盆景共盆，其中种类型的花并价格为每盆元，购买种类型的花卉盆景所需费用（单位：元）与购买数量（单位：盆）的函数关系图象如图所示．
(1)求与的函数关系式；
(2)若购买种类型花卉盆景所需的数量不超过盆，但不少于种类型花卉盆景的数量，试问如何购买能使购买费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)；
(2)购买种类型花卉盆景盆，种类型花卉盆景盆，费用最少，费用最少为元．
【分析】（）分两种情况，利用待定系数法解答即可求解；
（）设购买了种类型花卉盆景盆，则购买了种类型花卉盆景盆，列出不等式组求出的取值范围，设购买两种花卉盆景费用为元，求出与的一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确求出函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，设，
把代入得，，
∴，
∴；
当时，设，把、代入得，
，
解得，
∴；
综上，；
（2）解：设购买了种类型花卉盆景盆，则购买了种类型花卉盆景盆，
由题意可得，，
解得，
设购买两种花卉盆景费用为元，
则，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，的值最小，，
此时，，
∴购买种类型花卉盆景盆，种类型花卉盆景盆，费用最少，费用最少为元．
三、一次函数与方案问题
18．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
【答案】(1)；
(2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案；
当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案
【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式：
（1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解；
（2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为；
∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，
∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元．
可设关于x的函数解析式为，将代入，
得：，
解得：，
关于x的函数解析式为．
（2）由图知：
当送货量小于200件时，，则选择乙方案；
当送货量为200件时，，则两种方案都可以；
当送货量大于200件时，，则选择甲方案．
19．春风送暖，草木萌发，4月的中原大地，处处生机盎然．连日来，河南省各地紧紧抓住气温回升、墒情较好的有利时机，迅速掀起春季植树造林热潮，为中原大地增添片片新绿．某志愿者团队准备购买一批树苗，现有甲、乙两种树苗供选择，已知甲种树苗比乙种树苗每株贵3元，且用450元钱购买甲种树苗的数量与用360元钱购买乙种树苗的数量刚好相等．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格；
(2)该团队计划购买甲、乙两种树苗共240株，在甲树苗数量不低于乙树苗数量2倍的前提下，请你设计一种费用最低的购买方案，并说明最低费用是多少？
【答案】(1)甲种树苗每株的价格为15元，乙种树苗每株的价格为12元
(2)购买甲种树苗160株，乙种树苗80株费用最低，最低费用是3360元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；
（1）设甲种树苗每株的价格为x元，乙种树苗每株的价格为元，根据用450元钱购买甲种树苗的数量与用360元钱购买乙种树苗的数量刚好相等，列方程，解答即可；
（2）设甲种树苗购买m株，购买的总费用为W元，根据甲树苗数量不低于乙树苗数量2倍，列出一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设甲种树苗每株的价格为x元，乙种树苗每株的价格为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的根．
此时．
答：甲种树苗每株的价格为15元，乙种树苗每株的价格为12元．
（2）解：设甲种树苗购买m株，则乙种树苗购买株，购买的总费用为W元．根据题意，得，解得．
．
∵，
∴W随m的增大而增大．
∴时，（元）．此时．
答：购买甲种树苗160株，乙种树苗80株费用最低，最低费用是3360元．
20．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；
(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
【答案】(1)，
(2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算
【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
（1）根据两家公司的费用计算方法求解即可；
（2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算．
【详解】（1）解：根据题意，，
当时，，
∴，；
（2）解：时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算；
当时，
当时，，
解得，
此时选择甲乙公司一样合算；
当时，且，
解得，
此时选择乙公司合算；
当时，，
解得，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．
21．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
甲 45 1500
乙 33 1200
(1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
【答案】(1)
(2)共有种租车方案
(3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元
【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可；
（2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案；
（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．
【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，
；
（2）∵租车总费用不超过元，师生共有人,
，
解得 ，
∵为整数,
∴可取,
∴一共有种租车方案；
（3）在中，随的增大而增大, 又可取,
∴当时，取最小值，最小值为(元),
∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元．
22．红旗连锁超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品.甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表
甲 乙
进价（元/袋）
售价（元/袋） 20 13
(1)若用2000元购进甲种绿色袋装食品共200袋，用1600元购进乙种绿色袋装食品共200袋，求a和b的值
(2)要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价-进价）不少于4800元，且不超过4900元，问该超市有几种进货方案
(3)在（1）的条件下，该超市如果对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变.那么该超市要获得最大利润应如何进货
【答案】(1)a的值为10，b的值为8
(2)共有21种进货方案
(3)当时，应购进甲种绿色袋装食品180袋，购进乙种绿色袋装食品620袋
当时，（2）中所有方案获利都一样
当时，应购进甲种绿色袋装食品160袋，购进乙种绿色袋装食品640袋
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一元一次不等式组的应用等知识点，
(1)由已知和表格中数据即可得出a，b的值；
(2)由总利润（利润=售价-进价）不少于4800元，且不超过4900元列不等式，解不等式结合题意即可得解；
(3)列出，然后分类讨论，即可得解；
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【详解】（1）；，
∴a的值为10，b的值为8；
（2）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品袋，根据题意得：
，
解得：，
∵x是正整数，
∴该超市共有21种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，即此时应购进甲种绿色袋装食品180袋，购进乙种绿色袋装食品620袋；
②当时，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，W随x的增大而减小；
∴当时，W有最大值，此时应购进甲种绿色袋装食品160袋，购进乙种绿色袋装食品640袋．
23．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
(1)求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元
(2)买A型无人机34台时花费最少，最少花费56160元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数得性质和方程的知识解答；
（1）根据2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元，可列出相应的二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型无入机m台，花费W元，根据题意，先求出m的取值范围，再列出W关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x元、B型无人机的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：设A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元；
（2）设购买购买A型无人机m台，则购买B型无人机台，花费了W元
购买B型无人机不超过A型无人机的2倍，
，
解得：，
商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，
，
，
随m的增大而增大，
当m取最小整数34时，W有最小值，
元，
答：买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元．
24．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价万元，每件乙种农机具降价万元，在投入资金最少的情况下该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），求再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】(1)购买件甲种农机具需万元，购买件乙种农机具需万元；
(2)方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件，方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件，方案三：购买甲种农机具件，乙种农机具件；
(3)方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件，方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解，考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式，利用一次函数的性质解决最值问题．
（1）设购进1件甲种农机具 万元，购进1件种农机具 y 万元，根据购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据投入资金不少于万元又不超过12万元，列一元一次不等式组，求出的取值范围，取正整数，即可确定有哪几种购买方案；
（3）设需要的资金为万元，由题意得，结合（2）的方案即可得出结果．
【详解】（1）解：设购买件甲种农机具需万元，购买件乙种农机具需万元，根据题意，得
，
解得：，
答：购买件甲种农机具需万元，购买件乙种农机具需万元．
（2）解：根据题意，得：
，
解得：．
∵为整数，
∴可取，
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件；
方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件；
方案三：购买甲种农机具件，乙种农机具件．
（3）解：设总资金为万元，则：
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时， 最小，
（万元），
∴方案一需要的资金最少，最少资金是万元，
∴节省的资金有：
（万元），
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具件，乙种农机具件；
（万元），
方案二：购买甲种农机具件，乙种农机具件：
．
25．某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）
(1)当时，求套餐费用的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
【答案】(1)
(2)
(3)，；，；
【分析】（1）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的关于的关系图，列出套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过元时，套餐的费用划算，代入套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
（3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【详解】（1）解：由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
当时，套餐费用的函数表达式；
（2）由三种套餐对应的关于的关系图可知，
，
，
由图可知，当月基本费用超过元时，选择套餐合适，
，解得：，
当时，选择套餐较为划算；
（3）假设基本费用刚好是元，要是流量最多，要有一人选择套餐，并且超出基本费用的钱要购买套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，两人的基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
假设，小红爸爸选择套餐，妈妈选择套餐流量为，基本费用为元，超出的元在套餐中购买流量可以买的更多，即，
则费用为元，小红爸爸选择套餐，花费元，小红妈妈选择套餐流量为，花费元，总流量为；
小红爸爸选择套餐，消耗流量，小红妈妈选择套餐消耗流量，总流量为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形结合的思想．
26．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：
甲型机器人 乙型机器人
购买单价（万元/台） m n
每小时拣快递数量（件） 1200 1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；（2）公司有3种购买方案，分别是购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，购买甲型机器人4台，乙型机器人4台；该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元
【分析】（1）根据甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元和购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元，列出方程组，进行求解即可；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8 a）台，根据两种型号的机器人共8台，每小时分拣快递件数总和不少于8400件，列出不等式，求出a的取值范围，再利用一次函数找到费用最低值．
【详解】解：（1）根据题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元．
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人台，
根据题意得：，
解得：，因为，a为正整数，
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台，
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台，
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台，
设该公司的购买费用为w万元，则，
∵，
∴w随a的增大而增大，
当时，w最小，（万元），
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，分析题意，根据关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题】一次函数的常见应用题
一、一次函数与行程问题
1．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车先从A地沿这条公路匀速驶向C地，1小时后乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离（单位：），（单位：）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．其中正确的选项是（ ）
①甲车的行驶速度为；
②乙车的行驶速度为；
③求乙车出发小时，两车相遇；
④两车相遇时，甲车距离C地．
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
2．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A．乙比甲提前出发 B．甲行驶的速度为
C．3h时，甲、乙两人相距 D．或时，乙比甲多行驶
3．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．学校提倡“低嘊环保，绿色出行”、小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发、沿同一条路匀速新进．如图所示、和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，下列结论：①小明和小亮两家相距；②小亮比小明早到0.1小时；③小明步行的速度为每小时，④小明和小克在距离学校处相遇，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在一次玩具赛车展示表演中，王强操控的甲玩具赛车和李明操控的乙玩具赛车分别从相距的A，B两处同时出发，相向而行，相遇后，甲车继续以原速行驶到B处，乙车则立即以原速原路返回到B处，甲、乙两玩具赛车到A处的距离y（）与各自行驶时间x（）之间的关系如图所示．
(1) ， ；
(2)求乙玩具赛车距A处的距离y（）关于行驶时间x（）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲、乙两玩具赛车相距时，直接写出乙玩具赛车距A处的距离．
6．小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5 小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示．
(1)该电动汽车每小时的充电量为_______；
(2)求线段所表示的Q与t之间的函数表达式；
(3)在图②中，画出小美离家的距离与t的函数图象．
7．杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示．
(1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式．
(2)求明明的跑步速度．
(3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值．
8．甲、乙两地相距300 km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度．
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离．
(3)货车出发多长时间后，两车相距60km？
9．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发，骑行3千米时，乙才出发，开始时，甲、乙两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变．2.8小时后，甲到达B地，在整个骑行过程中，甲、乙两人骑行路程y（千米）与乙骑行时间x（小时）之间的关系如图所示．
(1)图中t的值为 ；
(2)求甲改变骑行速度后，y与x的函数关系式；
(3)直接写出在乙骑行过程中，甲、乙两人相距2千米时x的值．
二、一次函数与销售最值问题
10．某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A．42000元 B．46200元 C．52500元 D．63000元
11．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（ ）
A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
12．由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
(1)问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
(2)若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍．每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
13．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．
(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？
14．某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
(2)若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
15．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
16．2024年4月23日我们迎来第29个世界读书日，“世界读书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在“世界读书日”时，订购甲、乙两种具有纪念意义的书籍进行销售．若订购甲种图书80本，乙种图书100本共花费2600元，若订购甲种图书100本，乙种图书200本共花费4000元．
(1)求甲、乙两种图书的进价分别为多少元？
(2)该批发商准备在进价的基础上将甲、乙两种图书提高10％售出，若该批发商购进甲乙两种图书共计800本，并且甲种图书不超过乙种图书的，当甲、乙两种图书全部售完后，求该批发商所获最大利润为多少元？
17．五一劳动节前夕，龙泉公园管理处购进两种类型的花卉盆景共盆，其中种类型的花并价格为每盆元，购买种类型的花卉盆景所需费用（单位：元）与购买数量（单位：盆）的函数关系图象如图所示．
(1)求与的函数关系式；
(2)若购买种类型花卉盆景所需的数量不超过盆，但不少于种类型花卉盆景的数量，试问如何购买能使购买费用最少？并求出最少费用．
三、一次函数与方案问题
18．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元．
(1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围）
(2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？
19．春风送暖，草木萌发，4月的中原大地，处处生机盎然．连日来，河南省各地紧紧抓住气温回升、墒情较好的有利时机，迅速掀起春季植树造林热潮，为中原大地增添片片新绿．某志愿者团队准备购买一批树苗，现有甲、乙两种树苗供选择，已知甲种树苗比乙种树苗每株贵3元，且用450元钱购买甲种树苗的数量与用360元钱购买乙种树苗的数量刚好相等．
(1)求甲、乙两种树苗每株的价格；
(2)该团队计划购买甲、乙两种树苗共240株，在甲树苗数量不低于乙树苗数量2倍的前提下，请你设计一种费用最低的购买方案，并说明最低费用是多少？
20．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；
(2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
21．某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
甲 45 1500
乙 33 1200
(1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
(2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
22．红旗连锁超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品.甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表
甲 乙
进价（元/袋）
售价（元/袋） 20 13
(1)若用2000元购进甲种绿色袋装食品共200袋，用1600元购进乙种绿色袋装食品共200袋，求a和b的值
(2)要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价-进价）不少于4800元，且不超过4900元，问该超市有几种进货方案
(3)在（1）的条件下，该超市如果对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变.那么该超市要获得最大利润应如何进货
23．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
(1)求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价万元，每件乙种农机具降价万元，在投入资金最少的情况下该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），求再次购买农机具的方案有哪几种？
25．某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，表示每月上网流量（单位：），表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的关于的关系如图所示：
套餐 套餐 套餐
每月基本流量服务费（元）
包月流量（）
超出后每收费（元）
(1)当时，求套餐费用的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划人每月流量总费用控制在元以内（包括元），请为他们设计一种方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套餐 （填、、） 小红妈妈： 套餐 （填、、） 总流量
消耗流量
26．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元；两种机器人的单价与每小时分拣快递的数量如下表：
甲型机器人 乙型机器人
购买单价（万元/台） m n
每小时拣快递数量（件） 1200 1000
（1）求购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价m和n分别为多少万元/台？
（2）若该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，购买甲型机器人不超过4台，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8400件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？
