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【专题】一次函数背景下的几何探究综合应用问题
本专题是在一次函数背景下探究：线段长度问题、几何图形面积问题、几何图形变换问题、线段和差的最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题。该专题属于中考题型，综合性较强，常需要借助全等三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决.
一、一次函数背景下的线段长度问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，两点；过点作直线与轴交于点，交直线于点，且点的横坐标为．
(1)直接写出点，点的坐标；
(2)求的面积；
(3)如图2，若点是线段上一动点，连接，过点作交直线于点，判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）分别求出时，的值；时，的值即可得；
（2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可得；
（3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：，当时，，
，
当时，，
；
（2）点的横坐标为，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
，
；
（3），理由如下：
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，．
(1)求所在直线的表达式．
(2)如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒．
①连接，，当的周长最短时，求点的坐标；
②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路径问题：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作点Q关于的对称点H，连接，则，则可推出当三点共线时，最小，即此时的周长最小，求出直线解析式为，进而求出点M的坐标即可；②分别求出直线经过点P，经过点Q时的运动时间即可得到答案．
【详解】（1）解：设所在直线的表达式为，
把，代入中得：，
∴，
∴所在直线的表达式为；
（2）解：①如图所示，作点Q关于的对称点H，连接，则，
∴，
∴的周长，
∵为定长，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
②当直线恰好经过点P时，同理可得直线解析式为，
在中，当时，，则此时点M的坐标为，
∴运动时间为，
同理可得当直线恰好经过点Q时，运动时间为2，
∴当直线与线段有交点时，．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接．
(1)求所在直线的表达式；
(2)从点处发射激光．
①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度；
②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得点Q的横坐标为3，然后将代入所在直线的表达式可求得点C的纵坐标即可；②先根据所在直线过C、B两点可求得一个临界点m，在根据当轴时，与交于点Q，即可取无限大，据此即可解答．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，则有：
，解得：，
∴设直线的函数解析式为．
（2）解：①如图：
∵点处发射激光，轴，与交于点Q，
∴点Q的横坐标为3，
将代入所在直线的表达式可得：,
∴,
∴线段的长度为．
②∵所在直线的表达式为，
∴，即
∵，，
∴当所在直线过时，，解得：，
由当轴时，与交于点Q，即可取无限大
∴m的取值范围．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，在轴负半轴有一点C，满足，作直线，点D是y轴正半轴上的一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点D作y轴的垂线，分别交直线，于点，，若，求点D的坐标；
(3)如图2，连接，将沿直线进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接，若为直角三角形，求的长度．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或或8．
【分析】（1）设直线的解析式为，用待定系数法即可得直线解析式；
（2）分类讨论：点D在线段上，点D在线段延长线上，把三个点的坐标表示出来列方程即可求解；
（3）点D在y轴正半轴上运动时，分三种情况： ，分别画出图形，结合图形，运用勾股定理、矩形、正方形的性质及判定求解即可．
【详解】（1）解：令，
，则，
令，即，
，则，，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：①点D在线段上时，如下图所示，
设，则，
，
，
，
，
的坐标为；
②点D在线段延长线上时，如下图所示：
设，则，
，
，
，
，
的坐标为；
综上所述，若，D的坐标为或；
（3）解：，，
，
设，则，
将沿直线进行翻折得到，
，，，
①当时，如图所示：
，此时点A、E、B三点在一条直线上，点E在直线上，
，，
在中，，
即，
解得；
②当时，如图所示：
作于点F，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，，
即，
解得；
③当时，如图所示：
，
四边形是正方形，
即，
；
综上所述，当为直角三角形，的长度为或或8．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形、正方形性质及判定、勾股定理、折叠等知识，解题的关键是用含参数的代数式变式相关点坐标和相关线段的长度，运用分类讨论、数形结合灵活解题．
5．如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足．
(1)试求k的值：
(2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标：
(3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或；
(3)存在，
【分析】（1）设，结合，可得，再利用正比例函数的性质可得答案；
（2）如图，当，由（1）得：，，此时，可得，，则，分三种情况：当时，过作于，如图，当时，如图，当时，过作交轴于，过作于，再进一步求解即可；
（3）如图，作关于的对称点，则， 即，连接，过作交于，则四边形为平行四边形，当三点共线时，，此时最短，此时四边形的周长最短，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点A在正比例函数位于第一象限的图象上，
∴设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，
∴，
解得：；
（2）如图，当，由（1）得：，，
∴此时，
∴，，则，
当时，过作于，
∴，
∴，
∴，
如图，当时，
而直线为，设，
∴，
∴，负值舍去
∴，
如图，当时，过作交轴于，过作于，
设，，而，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，即，
设直线为，
∴，解得：，
∵，
设为，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上：或或；
（3）存在，理由如下：
如图，作关于的对称点，则， 即，
连接，过作交于，
则四边形为平行四边形，
∴，，则，
当三点共线时，，此时最短，
此时四边形的周长最短，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，正比例函数的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，化为最简二次根式，清晰的分类讨论，作出合适的辅助线是解本题的关键．
二、一次函数背景下的图形面积问题
6．如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，根据三角形的面积推得点的横坐标为或是解题的关键．
（1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据待定系数法求直线的解析式，根据面积公式求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：．
（2）解：令时，，
∴，
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点，使的面积与的面积相等，理由如下：
如图：
设的解析式是，
根据题意，得：，
解得：；
则直线的解析式是：；
∵点，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴到轴的距离点的纵坐标，
∴点的横坐标为或；
当的横坐标为时，
在中，当时，，即的坐标是，
在中，当时，，则的坐标是，
则的坐标为或．
当的横坐标为时，
在中，当时，，则的坐标是，
综上所述：点的坐标为或或．
7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)动点M在线段和线段上运动，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)12
(3)存在，点M的坐标是或
【分析】（1）设直线AC的解析式是，利用待定系数法即可求解．
（2）根据即可求解．
（3）设直线的解析式是，利用待定系数法求出函数解析式，根据的面积是的面积的，可得，当点M在线段上时，当点M在线段上时，带入即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式是．
把点，代入，得 ，
解得：，
∴直线的解析式是．
（2）∵点，
∴，
∵点，
∴．
（3）存在．
设直线的解析式是，
把点代入，得．解得，
∴直线的解析式是，
∵的面积是的面积的，
∴．
∴．
当点M在线段上时，，
∴此时点M的坐标是；
当点M在线段上时，，
∴此时点M的坐标是．
综上所述，点M的坐标是或．
【点睛】本题考查了一次函数综合问题及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
8．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
(1)求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
(2)如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
【答案】(1)①；②9；③，
(2)
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式和三角形面积公式：
（1）①运用待定系数法求出直线的解析式即可；②联立方程组，求出点的坐标，运用三角形面积公式即可求出的面积；③分点P在x轴上和y轴上两种情况，根据列式求解即可；
（2）由中点坐标公式得出，得轴，，由三角形面积公式求出．
【详解】（1）解：①设的解析式为，
把,代入得，
，
解得，，
∴的解析式为；
②联立方程组，
解得，
∴，
∴；
③当点P在x轴上时，
设，则，
∵是等腰三角形底边，
∴则
∴，
解得，
∴；
当点P在y轴上时，如图，
设，则，
∵是等腰三角形底边，
∴则
∴，
解得，
∴；
综上，点P的坐标为或；
（2）解：∵,
∴，
∵，
∴轴，
∴，
∴．
三、一次函数背景下的图形变换问题
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴上一点，若线段沿直线折叠后，刚好落在x轴上处，则直线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，设，则，，设AC的解析式为，求解即可．
【详解】依题意：，连，设，则，，
设AC的解析式为，
，
，
．
故答案为：．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)P为直线上一点，，求点P的坐标；
(3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)点Q的坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：，
∵直线交坐标轴于点，，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为：；
（2）解：由题意可知：，，
在中，，
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
∴，
∵P在直线上，
∴设，
∵，
∴，
解得，或，
①当时，，
②当时，，
∴或；
（3）解：设，
∵点，，
∴，， ，
①当时，
则，
解得（舍去）或，
∴点Q的坐标为；
②当时，
则，即或18，
∴点Q的坐标为或；
③当时，
则，
解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
11．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求出点E的坐标和直线的函数解析式；
(3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解；
（2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式；
（3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，（负值舍去），
，；
（2）解：矩形中，
，
由折叠得，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
点E的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：存在，点P的坐标为或或或．
矩形中，，
，
，
当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图：
当为边，为对角线时，,
当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为，
当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为；
当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为；
当为对角线时，如所示，
设，则，
在中，，即，
解得，
可得点坐标为，即，
综上可知，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键．
12．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求三角形面积；
(3)求的函数表达式．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可；
（2）设点E的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据勾股定理得到点F的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式．
【详解】（1）证明：由折叠得，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵点B的坐标为，四边形为矩形，
∴，
设点E的坐标为，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴，
∴三角形面积；
（3）∵，，
∴
∴
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键．
四、一次函数背景下的线段和差最值问题
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像中的最短距离问题，正确作出图形找到相应的点是求解的关键．先作点M关于x的对称点，过点作轴于点，交轴与,此时距离最短，根据中点可求出、的坐标，先求出、坐标，再证得是的中位线，进而求出的值，可求出点坐标，即可求解．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴，，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，
作点M关于x的对称点，过点作轴于点，则，，
∵，
∴N，关于x轴对称，
∴,
则有，根据三角形三边关系有：
∴当时，取最小值，
此时三点共线，如图中的点，
∵为中点，且,
∴是的中位线，
∵
∴．
故答案为：．
14．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点B、A，两直线父于点．已知点，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______；
(2)关于的不等式组的解集为______；
(3)若点，
①求关于的不等式的解集是______；
②的面积为______；
③在轴上找一点，使得的周长最小，求点坐标．
【答案】(1)；；
(2)
(3)①；②；③
【分析】（1）由一次函数与x轴的交点坐标，结合函数图象可得答案；
（2）由两函数图象都在x轴上方时，自变量的取值范围是，从而可得不等式组的解集；
（3）①由的图象在的图象上方时，自变量的取值范围是，可得不等式的解集；②由，，，再直接利用面积公式进行计算即可；③如图，作关于y轴的对称点，连接交y轴于，则，此时周长最短，求解直线直线为，当时，，从而可得P的坐标．
【详解】（1）解：由与x轴的交点可得：
关于的方程的解是；
由与x轴的交点结合图象可得：
关于的不等式的解集是；
（2）由两函数图象都在x轴上方时，自变量的取值范围是，
关于的不等式组的解集为．
（3）①∵，
∴的图象在的图象上方时，自变量的取值范围是，
∴关于的不等式的解集是；
②∵，，，
∴；
③如图，作关于y轴的对称点，连接交y轴于，
∴，此时周长最短，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与方程，不等式，不等式组是联系，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，利用数形结合的方法解题的关键．
15．如图，已知直线与直线相交于点，分别交轴于点，，且．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图，为直线上一点，且横坐标为，若为轴上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)若为线段上一点，且，求的长．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为
(3)
【分析】
本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）先求出点坐标，进而得到点坐标，待定系数法求出的值即可；
（2）作点关于轴的对称点，得到，连接，直线与轴的交点即为点；
（3）设，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）
解：对于直线，
令，则，解得，
点的坐标为，
．
，
点的坐标为．
把代入中，
得，解得．
（2）
对于直线，
当时，，则点的坐标为．
如图1，作点关于轴的对称点，则：，
∴当三点共线时，的值最大，即为线段的长．
连接交轴于点，设直线的函数表达式为．
将，代入，
得解得
直线的函数表达式为，
当时，，
点的坐标为．
（3）
如图2，为线段上一点，且．
，，
，．
设，则．
在中，，
即，解得，
．
16．以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（）利用勾股定理求的长可得的坐标；
（）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得的坐标，利用待定系数法求直线的解析式；
（）根据轴对称的最短路径，作关于点的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，利用待定系数法求直线的解析式，令代入可得的坐标．
【详解】（1）由折叠得：，
∵，，
由勾股定理得：
∴；
（2），
设，则，，
中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在，作关于点的对称点，
连接交轴于，此时的周长最小，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴．
【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握折叠的性质是关键．
17．如图，已知直线：经过点，将直线向上平移4个单位得到直线，与交于点D．
(1)分别求直线与的解析式；
(2)点E是x轴上一点，当的周长最短时，求出点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点C坐标代入，求出b值可得的解析式，再根据平移的规律即可求出的解析式；
（2）求出两条直线的交点，找到点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则点E即为所求点，求出的解析式，求出与x轴的交点，即为点E的坐标．
【详解】（1）解：∵：经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
将直线向上平移4个单位得到的直线的解析式为：；
（2）联立，
解得：，即点，
∵关于x轴的对称点为．
连接交x轴于点E，则点E即为所求点，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
所以直线的解析式为：，
令，得， 即点E的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，与坐标轴的交点问题，最短路径，解题的关键是找到的周长最短时的点E位置．
五、一次函数背景下的特殊三角形存在性问题
18．如图，点的坐标为，直线分别交轴，轴于点，，是线段上一点，连结．现以为边，点为直角顶点构造等腰．若点恰好落在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是过点作轴于点，构造全等三角形．过点作轴于点，证明，然后设点，得到、、的长，然后由全等三角形的性质列出方程求解的取值，然后得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，则，
，
是以为边，点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，
设点，
则，
，
解得：或（舍去），
把代入得，，
点的坐标为，
故答案为：
19．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A．
(1)线段 ．
(2)点C为直线上一动点．
①若点C的坐标为，求直线的解析式．
②求线段的最短距离．
(3)N是y轴上的一点，当为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)5
(2)①；②；
(3)点N的坐标为或或或．
【分析】（1）根据一次函数解析式，求出、两点坐标，进而得到和得长，再利用勾股定理，即可求出的长；
（2）①利用待定系数法，即可得出直线的解析式；
②由垂线段最短可知，当时，线段的距离最短，设，利用三角形面积公式求解，即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利用等腰三角形的性质和坐标两点的距离公式分别求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：直线交x轴于点B，交y轴于点A，
令，则；令，则，解得：，
，，
，，
由勾股定理得：，
故答案为：5；
（2）解：①设直线的解析式为，
点C的坐标为，
，
，
即直线的解析式为；
②由垂线段最短可知，当时，线段的距离最短，
设，
，
，
解得：，
即线段的最短距离为；
（3）解：①当时，为等腰三角形时，
，
，
点N的坐标为；
②当时，为等腰三角形时，
设点N的坐标为，
，，
，，
解得：，
点N的坐标为；
③当时，为等腰三角形时，
，
当点在点下方时，，即点N的坐标为；
当点在点上方时，，即点N的坐标为；
综上可知，当为等腰三角形时，点N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，垂线段最短，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义和性质，坐标两点的距离公式等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
20．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
(1)填空： ，点A的坐标是（ ， ）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是 ；
②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标．
【答案】(1)；5，0
(2)见解析
(3)①12；②或
【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；
（2）求出A、D点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②当时，当时，再根据P、Q的位置分情况计算出结果即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
∴，
故答案为：，5，0；
（2）解：∵线段平行于x轴，
∴D点的纵坐标与C点一样，
又∵D点在直线上，
当时，，
即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：①作于H，如图所示：
∵H点在直线上，
∴设H点的坐标为，
∴，
由勾股定理，得，
即，
解得或8（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故答案为：12；
②当时，，
∵轴，
∴轴，
∴此时点P的横坐标为3，
∵点P在直线，
∴把代入得，
此时点P的坐标为，
，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
当时，
根据解析①可知，此时点P的坐标为，
∴，
∴，
∴，
设此时点Q的坐标为，
∴，
解得：，负值舍去，
此时点Q的坐标为：；
综上分析可知，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定，坐标与图形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的判定，是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线（，k为常数）与x轴交于点C，与y轴交于点D．直线与交于点E，已知．
(1)求直线的表达式；
(2)P为直线上一动点，作轴交直线于点Q，以为直角边作，满足且．若的周长为，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)存在，点N的横坐标为或
【分析】（1）根据题意求出D点坐标，得，则，可得点C的坐标，再用待定系数法求直线的表达式即可；
（2）设，则，由轴得轴，根据平行线的性质可得，则．根据的周长为，即可求解；
（3）分两种情况：①，，②，，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵（，k为常数）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
∴D点坐标为，
，
，
∴点C的坐标为，
，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵轴，，
轴，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
，
，
，
轴，．
，
．
设，则，
，
，
的周长为，
，解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵直线与直线交于点E．
∴，解得，
，
设，
①，，如图，过点E作轴于点F，过点N作轴于点G，
则，
，
，
，
，，，
，
，
，
解得：，
∴点N的横坐标为；
②，，如图，过点N作轴于点G，过点E作于点F，
则，
同理得，
，
，
解得：，
∴点N的横坐标为；
综上所述，点N的横坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的周长，全等三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形及运用分类讨论思想．
六、一次函数背景下特殊四边形存在性问题
22．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）先求出，联立求解即可．
（2）设，过点B作，先求出三角形的高，通过面积求出的长度，进一步求出坐标即可．
（3）分情况讨论，根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，，
∴，
∴，
解得，
∴．
（2）解：设，过点B作，
∵，
∴，
由题意可得：为等腰直角三角形，
，
，
解得（舍去），或
（3）解：根据题意设，
①当为两组对角线时，
，
解得
．
②当为两组对角线时，
，
解得
．
③当为两组对角线时，
，
解得
．
综上所述，N点的坐标或或
23．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点．
(1)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)点的坐标为；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得的坐标是解决本题的关键．
（1）首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形；
（2）过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标；
（3）分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标．
【详解】（1）证明：正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，
，，
，
，，
，
代入得，解得，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于，
，四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
设的坐标为，
，解得，
点的坐标为；
（3）解：当四边形是菱形时，如图，
的纵坐标是1.5，把代入，解得：，
则的坐标是，
点的坐标为；
当四边形是菱形时，如图，
，则设的横坐标是，则纵坐标是，
则，
解得：或0（舍去）．
则的坐标是，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
24．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为，点D是线段上一动点，点D的横坐标为m．
(1)直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
(2)如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点D的坐标；
(3)如图2，过点D作直线的平行线l，在直线l上是否存在一点E，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】(1)，，直线的解析式：
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数的图象与坐标轴交于，两点求解，两点的坐标，从而求解；
（2）过点作轴的垂线，根据的面积等于的面积列方程求解即可；
（3）根据四边形是菱形，，的坐标为，得出即可解答．
【详解】（1）一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，
，，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
∴，
解得，
直线的解析式：；
（2）过点作轴的垂线，垂足为，
点在线段上，横坐标为，
纵坐标为，则，
，，
，
解得，，
点的坐标为，
（3）存在一点，使四边形是菱形，
四边形是菱形，，的坐标为
，
，
设，其中，
，
解得：，（不合题意舍去），
即点，
四边形是菱形，
点的坐标为，即．
【点睛】该题主要考查了一次函数的解析式求法，一次函数的性质与图象以及一次函数与三角形面积求解，菱形的性质等知识点，解题的关键是能够画出菱形的图象，将题目转化为全等三角形线段关系求解．
25．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】()首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形；
()过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标；
()分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论：当四边形 是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；当 四边形是菱形，，在直角边上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标；
本题考查了一次函数的几何应用，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确根据菱形的性质求得的坐标是解题的关键.
【详解】（1）证明：如图，
∵正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，，
∴,
把代入得，，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于，
∵，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：当四边形是菱形时，如图，
∵的纵坐标是，把代入得，，
解得，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
当四边形是菱形时，如图，
∵，设的横坐标是，则纵坐标是，
则，
解得或(舍去)，
∴，
∴的坐标是，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
26．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，，，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
（1）先说明，由折叠可得，进而得出，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出，即，进而得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）①当为对角线时，于互相平分，即的中点也是的中点，再求出的中点坐标，设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a.为对角线时，先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b.为对角线时，的中点，也是的中点，得出的中点在直线上，先求出的中点坐标，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴解得：，
∴，
∵点E在上，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为对角线时，于互相平分，
∴的中点也是的中点，
由（2）知，，
∵，
∴的中点坐标为，
设，，
∴，，
∴，，
∴，；
②当为边时，
a.为对角线时，，
由（2）知，直线的解析式为，
∵点
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，
根据待定系数法可得：直线的解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
②为对角线时，的中点，也是的中点，
∴的中点在直线上，
设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴的中点坐标为，
设，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴满足条件的点，，．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题】一次函数背景下的几何探究综合应用问题
本专题是在一次函数背景下探究：线段长度问题、几何图形面积问题、几何图形变换问题、线段和差的最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题。该专题属于中考题型，综合性较强，常需要借助全等三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识解决.
一、一次函数背景下的线段长度问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，两点；过点作直线与轴交于点，交直线于点，且点的横坐标为．
(1)直接写出点，点的坐标；
(2)求的面积；
(3)如图2，若点是线段上一动点，连接，过点作交直线于点，判断线段与的数量关系，并说明理由．
2．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，．
(1)求所在直线的表达式．
(2)如图，点，，点从点沿以每秒2个单位长度的速度运动到点，设运动时间为秒．
①连接，，当的周长最短时，求点的坐标；
②当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接．
(1)求所在直线的表达式；
(2)从点处发射激光．
①当激光轴时，与交于点Q，求线段的长度；
②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时m的取值范围．
4．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，在轴负半轴有一点C，满足，作直线，点D是y轴正半轴上的一个动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)过点D作y轴的垂线，分别交直线，于点，，若，求点D的坐标；
(3)如图2，连接，将沿直线进行翻折，翻折后点O的对应点为点E，连接，若为直角三角形，求的长度．
5．如图1，已知矩形的顶点A在正比例函数位于第一象限的图象上，顶点D在正比例函数位于第一象限的图象上，点B、C在x轴的正半轴上，且满足．
(1)试求k的值：
(2)当时，点P是函数位于第一象限图象上的一个动点，若为等腰三角形，求点P的坐标：
(3)如图2，当时，点E、F为边上的两个动点，且，试问：是否存在点E使四边形的周长最小？若存在，试求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
二、一次函数背景下的图形面积问题
6．如图在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)动点M在线段和线段上运动，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
(1)求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
(2)如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
三、一次函数背景下的图形变换问题
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴上一点，若线段沿直线折叠后，刚好落在x轴上处，则直线的解析式为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)P为直线上一点，，求点P的坐标；
(3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
11．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求出点E的坐标和直线的函数解析式；
(3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求三角形面积；
(3)求的函数表达式．
四、一次函数背景下的线段和差最值问题
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ．
14．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点B、A，两直线父于点．已知点，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______；
(2)关于的不等式组的解集为______；
(3)若点，
①求关于的不等式的解集是______；
②的面积为______；
③在轴上找一点，使得的周长最小，求点坐标．
15．如图，已知直线与直线相交于点，分别交轴于点，，且．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图，为直线上一点，且横坐标为，若为轴上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)若为线段上一点，且，求的长．
16．以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知直线：经过点，将直线向上平移4个单位得到直线，与交于点D．
(1)分别求直线与的解析式；
(2)点E是x轴上一点，当的周长最短时，求出点E的坐标．
五、一次函数背景下的特殊三角形存在性问题
18．如图，点的坐标为，直线分别交轴，轴于点，，是线段上一点，连结．现以为边，点为直角顶点构造等腰．若点恰好落在轴上，则点的坐标为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A．
(1)线段 ．
(2)点C为直线上一动点．
①若点C的坐标为，求直线的解析式．
②求线段的最短距离．
(3)N是y轴上的一点，当为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
20．如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
(1)填空： ，点A的坐标是（ ， ）；
(2)求证：四边形是平行四边形；
(3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是 ；
②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线（，k为常数）与x轴交于点C，与y轴交于点D．直线与交于点E，已知．
(1)求直线的表达式；
(2)P为直线上一动点，作轴交直线于点Q，以为直角边作，满足且．若的周长为，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，点N为直线上一动点，是否存在是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
六、一次函数背景下特殊四边形存在性问题
22．如图，平面直角坐标系中，已知直线与直线 ，将直线沿y轴正方向平移4个单位得直线，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交直线于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，点P为线段上的动点，点Q为直线上的动点，当 时， 求出此时P点的坐标；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，直线上有一动点M， x轴上有一动点N，当以P、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时N点的坐标．
23．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点．
(1)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
24．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为，点D是线段上一动点，点D的横坐标为m．
(1)直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
(2)如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点D的坐标；
(3)如图2，过点D作直线的平行线l，在直线l上是否存在一点E，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，说明理由．
25．如图，正方形的顶点分别在的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点，并且满足，点是线段上的一个动点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)作交于，当面积为时，求点的坐标；
(3)设点是轴上方平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
26．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
