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第五章 生活中的轴对称 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，如图所示图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形
3．（2024·江苏宿迁·一模）数学具有美，下列文字中，是轴对称图形的是（ ）
A．宿 B．迁 C．最 D．美
4．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川广元·一模）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在边上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，使点A落在直线上的点处，得折痕．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是( )
A．1.5 B．2.5 C． D．3
9．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
10．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ．
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高，其中判断正确的有 ．
13．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落边上的E点，折痕为．若的周长为，，，则 ．
14．（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．
15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点D，则下列结论：①；②；③若，，则；④当时，，其中正确的序号是 .
16．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其分别沿折叠后，点B落在点H处，点A落在上点N处，若，则的角度用含的代数式表示为 ．
17．如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ．
18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则的度数是 ．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（8分）（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴．
20．（4分）（23-24七年级下·全国·课后作业）图中的两个四边形关于某条直线对称，根据图形提供的条件求x、y．
21．（6分）（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如下图，在平面直角坐标系中，中三个顶点坐标分别为，，，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试完成下列问题：
(1)请直接写出的面积；
(2)与成轴对称，请在图1中画出与的对称轴；
(3)在图2中画两个格点三角形与全等，且有一条公共边请在格点中完成
22．（8分）（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长．
23．（8分）（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．
(1)若，请你求出图③中的度数；
(2)若，请你直接用含α的式子表示图③中的度数．
24．（10分）（23-24八年级上·广东广州·期中）已知：是的角平分线，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求AC的长．
25．（10分）（23-24八年级上·海南儋州·期中）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于E．求证：；
(3)若，，求的面积．
26．（12分）（2024·辽宁·一模）【问题情境】
在数学实践活动课中，高老师发给学生一张等腰三角形的纸片，，，老师要求同学们将该纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
【问题发现】
拼搏小组在边上取一点D，将纸片沿 折叠，点A的对应点为点E，如图1所示．
如图2，小芳发现，当点E落在边上时，．
如图3，小刚发现，当点D是 的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
【问题的提出与解决】
问题1：在中，，，点D是线段上任意一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点E落在边上时，求证：．
（2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长．
【拓展延伸】
小明受到探究过程的启发，将 改成锐角，尝试画图，并提出问题2，请你帮忙解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 生活中的轴对称 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，如图所示图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、B、C都是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D
2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）下列几何图形中不一定具备轴对称性的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正六边形
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解，熟练掌握其概念是解决此题的关键．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（2024·江苏宿迁·一模）数学具有美，下列文字中，是轴对称图形的是（ ）
A．宿 B．迁 C．最 D．美
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
4．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠的性质，邻补角的性质，关键是掌握折叠的性质．由折叠的性质得到，由邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
．
故选：A．
5．（2024·四川广元·一模）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在边上，连接，将对折，使点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，使点A落在直线上的点处，得折痕．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠性质，角度运算等．根据题意可得，，利用平角相加等于即可得到本题答案．
【详解】解：由题意知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．利用轴对称的性质对各选项进行判断即可．
【详解】
解：∵与关于直线对称，
∴，，，与不一定平行，
故A、B、C项一定正确，不符合题意，D项不一定正确，符合题意．
故选：D．
7．（22-23七年级下·重庆黔江·期中）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
说法正确的有③④，共2个，
故选：B．
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是( )
A．1.5 B．2.5 C． D．3
【答案】B
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CF=DF，由线段垂直平分线的性质得出CE=DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE=∠ACE=∠BDE=90°，设CE=DE=x，则BE=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：连接DE，如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴DF=CF，
∴CE=DE，BD=AB-AD=2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠ACE=90°，
∴∠BDE=90°，
设CE=DE=x，则BE=4-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2=BE2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5；
∴CE=1.5；
∴BE=4-1.5=2.5
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
9．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】
本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记
∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
10．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的角平分线，中线和高等知识，根据三角形的角平分线，中线和高的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的性质．
【详解】∵是中线，
∴，
∴，故正确；
∵是角平分线，
∴，
∵为高，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
根据已知条件不能推出，故错误；
∵为高，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，即，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是 ．
【答案】圆
【分析】本题考查轴对称图形的定义：一个图形沿着某条直线折叠后直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；写出每个图形的对称轴的数量即可得解.
【详解】线段有2条对称轴；
角有1条对称轴；
圆有无数条对称轴；
正方形有4条对称轴；
等边三角形有3条对称轴；
故答案为：圆.
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高，其中判断正确的有 ．
【答案】③④
【分析】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的概念，根据图形逐项分析判断，即可求解．
【详解】
①根据三角形的角平分线的概念，，则是的角平分线，故原说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，是的中点，则是的边上的中线，故原说法不正确；
③根据三角形的高的概念，交于点，则为的边上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，，交于点，则是的角平分线和高，故此说法正确．
故答案为③④．
13．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落边上的E点，折痕为．若的周长为，，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，
，，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：6．
14．（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，面积法，利用角平分线性质定理作辅助线是解答本题的关键．过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，再利用面积法列方程并求解，即得答案．
【详解】过点D作于F，
是角平分线，，，
，
，
解得．
故答案为：4．
15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点D，则下列结论：①；②；③若，，则；④当时，，其中正确的序号是 .
【答案】①②④
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．
由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；作，，根据角平分线的性质求得，利用三角形的面积公式即可判断②；根据作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③；得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定④．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
，故①正确；
作，，
∵平分，
∴，
∵，即；故②正确；
如图所示，作于H，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，故③错误；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
16．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其分别沿折叠后，点B落在点H处，点A落在上点N处，若，则的角度用含的代数式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，根据折叠前后对应角相等可得，进而求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：，
，
由折叠知，，
，
长方形中，，
．
故答案为：．
17．如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键．
如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可．
【详解】解：如图，在截取，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，的值最小，
如图，作于，则的最小值为，
∵，即，解得，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，，由三角形外角的定义及性质可得，，从而得到，推出，同理可得，推出，由此即可得到答案．
【详解】解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，根据题意进行计算得出是解此题的关键．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（8分）（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴．
【答案】图①②④⑤⑥是轴对称图形，见解析
【分析】本题考查了轴对称图形；
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴”，进行判断并画图即可．
【详解】解：图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称轴如图所示：
20．（4分）（23-24七年级下·全国·课后作业）图中的两个四边形关于某条直线对称，根据图形提供的条件求x、y．
【答案】
【分析】
此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．
首先根据四边形内角和为计算出的度数，再根据轴对称的性质即可求解．
【详解】解：，
两个四边形的内角和中仅与相等，仅与相等，
∴A与E，D与H是对称点．
又∵，
∴B与F是对称点，
∴C与G是对称点，
∴，
∴．
21．（6分）（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如下图，在平面直角坐标系中，中三个顶点坐标分别为，，，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试完成下列问题：
(1)请直接写出的面积；
(2)与成轴对称，请在图1中画出与的对称轴；
(3)在图2中画两个格点三角形与全等，且有一条公共边请在格点中完成
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用三角形的面积公式计算即可．
（2）由轴对称的性质画出对称轴即可．
（3）根据全等三角形的判定与性质按要求画图即可．
【详解】（1）的面积为．
（2）如图1，直线l即为所求．
（3）如图2，和即为所求．
22．（8分）（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长．
【答案】5
【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的定义，得，结合平行线的性质，得，进行角难度等量代换，得，再结合等角对等边，即可作答．
【详解】解：如图：
∵平分平分
∴
∵，
∴
∴
∴
则的周长
23．（8分）（23-24七年级下·全国·课后作业）图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．
(1)若，请你求出图③中的度数；
(2)若，请你直接用含α的式子表示图③中的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，折叠额性质：
（1）在图①中先由两直线平行，内错角线段得到，则由平角的定义可得，再在图②中求出，进而在图③中得到，则．
（2）仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：在图①中，∵，，
∴，
∴，
在图②中，，
在图③中，由折叠的性质得：，
∴，
（2）解：在图①中，
∵，，
∴，
∴，
在图②中，，
在图③中，由折叠的性质得：，
∴，
24．（10分）（23-24八年级上·广东广州·期中）已知：是的角平分线，且
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接．
①求证：；
②若，且，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)①证明见解析②6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.
（1）用证明，即得；
（2）①证明可得，再用证明，即得；②过作于，由，可得，，而，，即得，根据，可求．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②过作于，如图：
由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
25．（10分）（23-24八年级上·海南儋州·期中）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作．
(1)求证：；
(2)如图2，连接交于E．求证：；
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)30
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、垂直的定义以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由，的角平分线交于点G，，得，从而利用即可证明；
（2）先证明，从而证明，得，进而证明，即可得证；
（3）由，得，从而利用三角形的面积公式即可得解．
【详解】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
26．（12分）（2024·辽宁·一模）【问题情境】
在数学实践活动课中，高老师发给学生一张等腰三角形的纸片，，，老师要求同学们将该纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
【问题发现】
拼搏小组在边上取一点D，将纸片沿 折叠，点A的对应点为点E，如图1所示．
如图2，小芳发现，当点E落在边上时，．
如图3，小刚发现，当点D是 的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长．
【问题的提出与解决】
问题1：在中，，，点D是线段上任意一点，将沿翻折得到．
（1）如图2，当点E落在边上时，求证：．
（2）如图3，当点D是的中点时，连接，若，，求的长．
【拓展延伸】
小明受到探究过程的启发，将 改成锐角，尝试画图，并提出问题2，请你帮忙解答．
问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长．
【答案】问题1：
（1）证明见解析；
（2）
问题2：
【分析】问题1，
（1）由，得出结论；
（2）作于，作于，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得，从而，，进而在中求得，进一步得出结果；
问题2，
连接，作于，作，交的延长线于，可证得四边形是矩形，从而，，在中求得，进而求得，进而在中求得，从而得出，进而在中求得的值，进一步得出结果．
【详解】（1）问题1，
证明：将沿翻折得到，
，
，
①，
，
，
②，
由①、②的结果推得：；
（2）解：如图，
作于，作于，
，
由折叠得，
，，
点是的中点，
，
，
，
又,
，
，
，
，
，
，再结合,
，
，，
在中，由勾股定理得，
.
问题2，
解：如图2，
连接，作于，作，交的延长线于，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
在中，，
在中，
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
