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5.3 简单的轴对称图形
分层练习
一、单选题
1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线其实就是角的平分线
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的三条高至少有一条在三角形内
D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
【答案】C
【分析】
根据三角形的中线，角平分线，高，的相关知识，依次判断，即可求解，
本题考查了，三角形的中线，角平分线，高，解题的关键是：熟练掌握相关性质，定义．
【详解】解：、三角形的角平分线是线段，角平分线是射线，该选项错误，不符合题意，
、直角三角形有三条高，该选项错误，不符合题意，
、三角形的三条高至少有一条在三角形内,该选项正确，符合题意，
、三角形的角平分线、中线在三角形的内部，高不一定在三角形内部，该选项错误，不符合题意，
故选：．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．中线 B．既是中线，又是角平分线
C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，角平分线的定义．根据翻折的性质和图形，可以判断出与的关系．
【详解】
解：由已知可得，，
则是的角平分线．
故选：D．
3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，分别为的高，角平分线，中线，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了三角形的的高、角平分线和中线，解题关键是掌握三角形的的高、角平分线和中线的定义，根据三角形的中线的定义，可得点F是的中点，即可判断选项A、C，根据角平分线的定义，可得平分，即可判断选项B，再根据三角形高的定义，判断选项D即可．
【详解】解：∵，，分别为的高，角平分线，中线，
∴，，，，
即，
故错误的是选项B，
故选：B．
4．（2023·广西河池·一模）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴的周长，
∵，
∴的周长为2，
故选：A．
5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】
解：如图，在上截取，连接，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为20，
，
，
，
．
故选：B．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ．
【答案】/94度
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．
由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段为折痕，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解：是的垂直平分线，且，
，，
又的周长为38，
的周长，
故答案为：28．
8．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：
第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：作直线．
上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）．
【答案】
【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解．
【详解】解：由题意，
∵，
∴．
故答案为：
9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
【答案】24
【分析】
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积．
【详解】
解：过作于，
，，
，
，
的面积．
故答案为：24．
10．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中：①；②；③．正确的有 请填写序号．
【答案】①②③
【分析】①根据等底同高得出面积相等；②根据等角的余角相等求出，③根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出．
【详解】解：是中线，
；
①正确；
，
，
是高，
，
，
是角平分线，
，
，
，
②正确；
，，
，
是角平分线，
，
．
③正确；
综上所述：①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角是解题关键．
一、填空题
1．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交点于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，
∴，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线
的面积等于的面积
故正确；
，是的高
，
是的角平分线
∴
又
故正确；
故正确；
故错误；
故答案为：①②③．
3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键．
设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值．
【详解】解：设，，则，，，，
∵平分，
∴，
如图，作，则，
∴，
，
，，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
二、解答题
4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积．
【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F，
分别平分，，
，
同理，
的周长是21，
，
．
5．（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
【详解】（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）延长到，使，连接．先说明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；
（2）根据（1）的结论可得，，即可得出，即可得证．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接．
，，
．
，．
．
．
又，
．
．
．
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．
(1)若，求证：平分；
(2)若的面积为2，的面积为8，求的面积；
(3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的逆运用，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）通过边的等量代换，得，，结合平行线的性质，即可作答．
（2）由平行线的性质，得，由线段的中点，得，证明，得，通过面积的关系，得，即可作答．
（3）由全等三角形的性质，得，结合“三线合一”证明为等腰三角形，因为平行线的性质，得，证明得，再结合线段的和差关系，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E为的中点，
∴
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∴平分；
（2）解：如图，延长，交直线于点H
∵
∴
∵E为的中点，
∴
在△BEF和△DEH中
∴，
∴
∴
∵EF=EH
；
（3）解：，证明如下：
如图，延长，交直线于点P，连接
由（2）可知，
∴
∵
∴，
即
∴为等腰三角形，
又∵直线，直线
∴
在和中
∴
∴
∴
即．中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 简单的轴对称图形
分层练习
一、单选题
1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线其实就是角的平分线
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的三条高至少有一条在三角形内
D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．中线 B．既是中线，又是角平分线
C．高线 D．角平分线
3．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，分别为的高，角平分线，中线，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西河池·一模）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ．
7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ．
8．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：
第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：作直线．
上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）．
9．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ．
10．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中：①；②；③．正确的有 请填写序号．
一、填空题
1．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ．
2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 .
3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则 ．
二、解答题
4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积．
5．（2023·浙江杭州·二模）如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
6．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．
(1)若，求证：平分；
(2)若的面积为2，的面积为8，求的面积；
(3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明．
