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第八章 长方体的再认识（单元测试）
(时间90分钟，满分100分+附加20分)
一、选择题（共5题，满分15分.）
1．用（ ）可以检验书桌上的台灯灯管是否平行于桌面．
A．铅垂线 B．合页型折纸 C．长方形纸片 D．两把三角尺
【答案】C
【分析】根据直线与平面是否平行的检验方法直接排除选项即可．
【详解】根据直线与平面垂直的方法有铅垂线、三角尺、合页型折纸，故A、B、D都不符合题意；所以C符合题意．
故选C．
2．下列结论正确的是（ ）
A．长方体中和一条棱平行的棱有4条 B．长方体中任意两条棱不相交就平行
C．长方体中和一个面垂直的棱有2条 D．长方体中相邻的两个面互相垂直
【答案】D
【分析】根据长方体棱、面之间的位置关系可直接排除选项．
【详解】A、长方体中和一条棱平行的棱有3条，故错误；
B、长方体中任意两条棱有相交、平行、异面三种位置关系，故错误；
C、长方体中和一个面垂直的棱有4条，故错误；
D、长方体中相邻的两个面互相垂直，故正确．
故选D．
3．下列四个图形中，能拼成正方体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】正方体的张开图共有四种情况：1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型、3-3型，判断各个图形是不是这些形状即可.
【详解】图①③④都属于1-4-1型，图②不属于这几种情况
∴图①③④能拼成正方体
故选C
4．一个长方体每个角都被割去（相邻两个角之间还有一段原来的棱），得到的几何体有________条棱．（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】C
【分析】计算出原长方体的棱数，再切去一个角后可增加3条棱，进而算出答案．
【详解】原长方体有12条棱，切去一个小角后增加3条棱，切去八个小角后增加24条棱，因此新几何体有36条棱； 故选C
5．下列说法中，正确的有（ ）
①相交于三个顶点的三条棱分别叫做长、宽、高；
②用24厘米长的铁丝围成一个正方体，它的边长是4厘米；
③一个长方体中，有四个面完全一样，那么另外两个面一定是正方形；
④长方体中，有可能有4个面的面积完全相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据长方体的相关概念逐一判断即可．
【详解】解：①相交于三个顶点的三条棱分别叫做长、宽、高；
应该为：相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高，此说法错误；
②用24厘米长的铁丝围成一个正方体，它的边长是4厘米；
因为正方形有12条相等的棱，所以这个正方形的棱长为厘米，此说法错误；
③一个长方体中，有四个面完全一样，那么另外两个面一定是正方形；此说法正确；
④长方体中，有可能有4个面的面积完全相等，此说法正确．
故选B．
二、填空题（共9题，每空2分，满分28分.）
6.长方体的每个面都是 形．
【答案】长方形
【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，每个面都是长方形，也有可能一组相对的面是正方形，正方形也属于长方形，可得答案.
【详解】根据长方体的特征，每个面都是长方形.
故答案：长方形
【点睛】本题考查了长方体的结构特征，每个面都是长方形.
7．如图，在长方体中，与平面BCGF垂直的平面有 个．
【答案】4
【详解】解：由已知图可知：
与平面BCGF垂直的面有：EFGH，DCGH，EFBA，ABCD，4个面．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了立体图形的认识，做题的关键是掌握在长方体中，相邻的两个面互相垂直．
8．如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，那么新的长方体的棱长的和是 厘米．
【答案】44
【详解】解：根据题意可得，所拼成的新的长方体的长为4厘米，宽为3厘米，高为4厘米，
因此它的棱长之和为：（厘米），
故答案为：44．
【点睛】本题考查认识立体图形，解题的关键是掌握长方体的形体特征是正确计算的前提，求出新长方体的长、宽、高也是解决问题的关键．
9．一个教室长8米，宽5米，高4米，要粉刷教室的顶面和四周墙壁，除去门窗面积21.5平方米，粉刷面积是 平方米，如果每平方米用油漆0.25千克，共要用油漆 千克．
【答案】 122.5 30.625
【分析】根据题意直接列式计算求解即可．
【详解】解：由题意得：
粉刷面积：（平方米），
共用油漆：（千克）．
故答案为122.5,30.625．
【点睛】本题主要考查长方体的表面积，关键是根据题意得到粉刷面积，然后列式求解即可．
10．如图所示，平面垂直于平面 ．
【答案】、
【分析】根据长方体面与面的位置关系判断即可；
【详解】根据图形判断，与平面垂直的平面有平面、平面；
故答案是平面、平面；
【点睛】本题主要考查了长方体面与面的位置关系，准确分析是解题的关键．
11．如果长方体的长、宽、高之和为，则它的棱长总和为 ．
【答案】48
【分析】根据长方体的棱长计算公式计算即可；
【详解】长方体的棱长和；
故答案是48．
【点睛】本题主要考查了长方体的棱长计算，准确计算是解题的关键．
12．如图，是教室相邻的三面墙（或地面），
1）与墙面ADFE垂直的墙角线是 ，
2）与墙角线AD垂直的墙面是 ，
3）与墙角线DF垂直的墙面是 ，
4）与地面ABCD垂直的墙角线是 ．
【答案】 棱CD 面DCGF 面ABCD 棱DF
【分析】根据题意，利用长方体中棱与平面的位置关系来判断题目中棱与面的垂直关系．
【详解】（1）与墙面ADFE垂直的墙角线是棱CD；
（2）与墙角线AD垂直的墙面是面DCGF；
（3）与墙角线DF垂直的墙面是面ABCD；
（4）与地面ABCD垂直的墙角线是棱DF．
故答案是：棱CD；面DCGF；面ABCD；棱DF．
【点睛】本题考查长方体中棱与面的垂直关系，需要注意题目中的墙面和墙角线的含义，不要写错棱和面．
13．平面与平面平行的表示方法：
【答案】平面∥平面
【分析】根据平面与平面平行的表示方法解答即可．
【详解】平面与平面平行的表示方法是：平面∥平面β．
故答案为：平面α//平面β．
【点睛】本题考查了长方体中平面与平面位置关系的认识．
14．这是一个 体，它的长是 cm，宽是 cm，高是 cm．棱长总和是 cm．
【答案】 长方 25 12 18 220
【分析】根据长方体的定义及特点即可求解．
【详解】这是一个长方体，它的长是25cm，宽是12cm，高是18cm．棱长总和是4×（25+12+18）=220cm．
故答案为：长方；25；12；18 ；220．
【点睛】此题主要考查长方体的特征，属于基础知识．
三、简答题（共10题，满分57分.）
15.（满分6分）一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米、高1.2米．用这个沙堆在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
【答案】25.12米
【分析】此题属于圆锥和长方体的体积的实际应用，解答时首先明确沙堆原来的形状是圆锥形，铺在长方形的路面上，体积不变，所以根据圆锥的体积公式求出沙的体积，用体积除以长方体的底面积问题就得到解决．
要求能铺多少米，首先根据圆锥的体积公式：求出沙堆的体积，把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但沙的体积没有变，因此，用沙的体积除以长方体的宽再除以高就是所铺的长度，由此列式解答．
【详解】解：2厘米米，
米，
答：能铺25.12米．
16.（满分6分）某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图．
(1)求长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
【答案】(1)，详见解析(2)，详见解析
【分析】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，
（1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案；
（2）根据长方体的表面积公式计算即可．
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）设长方体的高为，则长方形的宽为，根据题意可得：
，
解得：，
所以长方体的高为，宽为，长为，
长方体的体积为：；
（2）因为长方体的高为，宽为，长为，
所以装8件这种产品，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，8件这种产品可以用的包装纸箱，再考虑的面积最大，所以的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为规格，该产品的侧面积分别为：
，
，
纸箱的表面积为：．
17.（满分6分）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方体的截面，根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答．
【详解】解：由图可知，这个多面体的面数是7，即．
又因为正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形，
所以增加了3条棱，故棱数不变，即．
所以．
18.（满分6分）有一个长方体形状的玻璃缸，长3分米，宽2分米，高2分米，里面盛有水，水深1分米．在玻璃缸中放入一个小玻璃球，使其完全沉入水中，此时发现水上升到分米，玻璃球的体积是多少立方分米？
【答案】玻璃球体积是立方分米
【分析】本题考查长方体的面积，根据增长量即为后加入的体积求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
（立方分米），
答：玻璃球体积是立方分米．
19.（满分6分）把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块铸成一个圆锥体，圆锥体的底面直径是 厘米，求它的高．
【答案】3厘米
【分析】抓住熔铸前后的体积不变，是解决此类问题的关键．熔铸成圆锥体，体积没变，是长方体和正方体的体积之和，由此可以求出圆锥的体积为： （立方厘米），知道底面直径，可求出圆锥的底面积，然后利用圆锥的体积公式可以计算得出圆锥的高．
【详解】解：（立方厘米），
（厘米），
（厘米）．
答：高是3厘米．
20.（满分7分）一个长方体的棱长和是220厘米，长与宽的比是，宽与高的比是，这个长方体的体积是多少立方厘米？
【答案】5324立方厘米
【分析】本题主要考查了比的计算，解题的关键是根据长与宽的比是，宽与高的比是，得出长、宽、高之比为：，再根据棱长和是220厘米求出长、宽、高，最后求出体积即可．
【详解】解：∵长与宽的比是，宽与高的比是，
∴长、宽、高之比为：，
∵长方体的棱长和是220厘米，
∴长方体的长为（厘米），
宽为：（厘米），
宽为：（厘米），
∴长方体的体积为：（立方厘米）．
答：这个长方体的体积是5324立方厘米．
21.（满分10分）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；
(4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______．
【答案】(1)①③④(2)①；②；③(3)(4)
【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；
（2）①根据长方形面积公式即可得解；
②根据长方体的体积公式即可得解；
③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解；
（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案；
（4）根据边长最短的都剪，边长最长的不剪，据此可得答案．
【详解】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒，
故选：①③④；
（2）①长方体纸盒的底面面积为，
∴长方体纸盒的底面积为，
故答案为：；
②长方体纸盒的底面积为，
∴该长方体纸盒的体积为，
故答案为：；
（2）由（1）可知：无盖盒子的体积：，
有盖盒子的体积：，
∵，
∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍，
故答案为：；
（3）如图所示，
∴该长方体表面展开图的最大外围周长为，
故答案为：；
（4）
∴该长方体表面展开图的最小外围周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．
22.（满分10分）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形见解析
【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等；
（2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案；
（3）根据展开图判断即可．
【详解】解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即a＝b
故答案为：a＝b；
（2）如图④红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n比m正好多出大正方体的3条棱的长度，故小明的说法是不正确的；
（3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图⑤所示．
【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量．
附加题（每题10分，共20分）
1.用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b=__________，a=__________．
（2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
【答案】（1）1；3（2）9（3）7
【详解】试题分析：（1）由主视图可知，第2列小正方体个数都为1，所以b=1,，第三列小正方体个数为3，所以a=3；（2）正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4个，第2列正方体个数为：1+1=2个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；（3）第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列正方体个数确定为：3个，第1列正方体情况可能为：①d=1，e=1，f=2；②d=1，e=2，f=1；③d=2，e=1，f=1；④d=2，e=2，f=1；⑤d=2，e=1，f=2；⑥d=1，e=2，f=2；⑦d=2，e=2，f=2，共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多，左视图如图所示.
试题解析：
（1）b=1，a=3；
（2）1+1+2+1+1+3=9个；
（3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.
此时，左视图为：
点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数.
2.按要求完成下列问题：
(1)填空：如图①是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体．将小正方体A移走后，得到一个新几何体，分别从正面、左面、上面看新几何体和原几何体，其中从______面看到的形状图没有发生改变．
(2)如图②，请你借助虚线网格画出从上面看到的该几何体的形状图．
(3)如图③是由几个小正方体所搭成的几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，请你借助虚线网格画出从正面看该几何体的形状图．
(4)填空：如图④是由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数是______．
【答案】(1)左；(2)见解析；(3)见解析；(4)9．
【分析】（1）根据三视图的定义判断即可；
（2）根据俯视图的定义画出图形即可；
（3）根据左视图的定义画出图形即可；
（4）根据三视图的定义，利用俯视图写出小正方体的个数即可．
【详解】（1）从左面看新几何体和原几何体，看到的形状图没有发生改变．
故答案为：左；
（2）俯视图如图所示：
（3）主视图如图所示：
（4）如图，这个几何体的小正方体的个数为1+3+1+1+1+2＝9（个）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查作图﹣三视图，由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．中小学教育资源及组卷应用平台
第八章 长方体的再认识（单元测试）
(时间90分钟，满分100分+附加20分)
一、选择题（共5题，满分15分.）
1．用（ ）可以检验书桌上的台灯灯管是否平行于桌面．
A．铅垂线 B．合页型折纸 C．长方形纸片 D．两把三角尺
2．下列结论正确的是（ ）
A．长方体中和一条棱平行的棱有4条 B．长方体中任意两条棱不相交就平行
C．长方体中和一个面垂直的棱有2条 D．长方体中相邻的两个面互相垂直
3．下列四个图形中，能拼成正方体的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一个长方体每个角都被割去（相邻两个角之间还有一段原来的棱），得到的几何体有________条棱．（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
5．下列说法中，正确的有（ ）
①相交于三个顶点的三条棱分别叫做长、宽、高；
②用24厘米长的铁丝围成一个正方体，它的边长是4厘米；
③一个长方体中，有四个面完全一样，那么另外两个面一定是正方形；
④长方体中，有可能有4个面的面积完全相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共9题，每空2分，满分28分.）
6.长方体的每个面都是 形．
7．如图，在长方体中，与平面BCGF垂直的平面有 个．
8．如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，那么新的长方体的棱长的和是 厘米．
9．一个教室长8米，宽5米，高4米，要粉刷教室的顶面和四周墙壁，除去门窗面积21.5平方米，粉刷面积是 平方米，如果每平方米用油漆0.25千克，共要用油漆 千克．
10．如图所示，平面垂直于平面 ．
11．如果长方体的长、宽、高之和为，则它的棱长总和为 ．
12．如图，是教室相邻的三面墙（或地面），
1）与墙面ADFE垂直的墙角线是 ，
2）与墙角线AD垂直的墙面是 ，
3）与墙角线DF垂直的墙面是 ，
4）与地面ABCD垂直的墙角线是 ．
13．平面与平面平行的表示方法：
14．这是一个 体，它的长是 cm，宽是 cm，高是 cm．棱长总和是 cm．
三、简答题（共10题，满分57分.）
15.（满分6分）一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米、高1.2米．用这个沙堆在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
16.（满分6分）某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图．
(1)求长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装8件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
17.（满分6分）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值．
18.（满分6分）有一个长方体形状的玻璃缸，长3分米，宽2分米，高2分米，里面盛有水，水深1分米．在玻璃缸中放入一个小玻璃球，使其完全沉入水中，此时发现水上升到分米，玻璃球的体积是多少立方分米？
19.（满分6分）把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块铸成一个圆锥体，圆锥体的底面直径是 厘米，求它的高．
20.（满分7分）一个长方体的棱长和是220厘米，长与宽的比是，宽与高的比是，这个长方体的体积是多少立方厘米？
21.（满分10分）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）
(2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______；
②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______；
③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍；
(3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；
(4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______．
22.（满分10分）如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．
附加题（每题10分，共20分）
1.用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b=__________，a=__________．
（2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）．
2.按要求完成下列问题：
(1)填空：如图①是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体．将小正方体A移走后，得到一个新几何体，分别从正面、左面、上面看新几何体和原几何体，其中从______面看到的形状图没有发生改变．
(2)如图②，请你借助虚线网格画出从上面看到的该几何体的形状图．
(3)如图③是由几个小正方体所搭成的几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置小正方体的个数，请你借助虚线网格画出从正面看该几何体的形状图．
(4)填空：如图④是由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，则组成这个几何体的小正方体的个数是______．
