1.2.1 任意角的三角函数
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课件42张PPT。1.2.1 任意角的三角函数 你能回忆一下初中学过的锐角三角函数(正弦sinA,余弦cosA,正切tanA)的定义吗?正弦——锐角的对边与斜边的比
余弦——锐角的邻边与斜边的比
正切——锐角的对边与邻边的比P(ｘ，ｙ)?的终边 r?锐角三角函数定义思考:
在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? flash如何用直角坐标系内点的坐标表示锐角三角形的三角函数？ 在直角坐标系中，我们称以原点Ｏ为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（即：r=1）．r=1 当α为任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 （1） 叫做α的正弦,记作
sinα，即sinα= = y ； （2） 叫做α的余弦,记作
cosα，即cosα= = x ； （3） 叫做α的正切(tangent)，记作tanα， 即tanα= （x≠0）．正弦函数：同理：余弦函数：正切函数：上面三个函数统称三角函数任意角三角函数的定义:定义域：R定义域：R定义域： 正弦、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以上三种函数统称三角函数．关键：
求出α角终边与单位圆的交点。思考:如何求α角的三角函数值?例1：求 的正弦,余弦和正切值。例1：求 的正弦,余弦和正切值。yxO练习：课本15页1 例2：已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值．解：由已知可得：于是，MP(x,y)O 在平面直角坐标系中,设角 的终边上
任意一点P的坐标是(x,y),它到原点的距离
为r,
（r=|OP|= ）>0xyxMr4．已知角α的终边经过点P(x，－6)且则x的值为______．10练习：课本15页2全优84页限时规范训练【例1】 已知角α的终边经过点P(24a，－7a)(a∈R且a≠0)，求α的正弦值、余弦值和正切值．【解析】由已知得r＝|OP|＝＝25|a|，若a＞0，则r＝25a，于是sin α＝cos α＝tan α＝全优第7页典例剖析【例1】 已知角α的终边经过点P(24a，－7a)(a∈R且a≠0)，求α的正弦值、余弦值和正切值．【解析】由已知得r＝|OP|＝＝25|a|，若a＜0，则r＝－25a，于是sin α＝cos α＝tan α＝三角函数值的符号问题 根据刚才所学的知识，将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入下图中．(课本13页)-+---+-++-+10-1010-10在sin和cos的图像中，两个“+”号之间是1，两个“-”号之间是-1，一“+”一“-”之间是0.练习：课本15页3,4例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角， 反之也对．证明：当θ为第三象限角时，上式显然成立 因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于 第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合； 又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．下面我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角． 例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角． 因为①、②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．4．若三角形的两内角A，B满足sin A·cos B＜0，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定B全优第9页基础夯实6．已知tan α＞0且sin α＋cos α＞0，那么α的终边在第________象限．全优第9页能力提高一5．8cos 270°＋6sin 180°＋4tan 0°＋2sin 90°＝________.2【解析】原式＝8×0＋6×0＋4×0＋2×1＝2.全优第9页基础夯实3．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)且sin α＞0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．{a|－20，cos α≤0，解得－2思考:终边相同终边相同的角的集合点的坐标相同同一函数值相等 终边相同的角的同一三角函数值相等.
即有公式一 其中 作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值. 例4：确定下列三角函数值的符号.（1）cos250°；（3）tan（-672°）；（4）tan3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0（3）因为tan（-672°）=tan（48°-2×360°），而48°是第一象限角，所以tan（-672°）＞0（2）因为 是第四象限角，所以（4）因为tan3π=tan（π+2π）=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tan3π=0练习：课本15页5例5：求下列三角函数值:3．求下列各式的值：(1)sin(－1 410°)；【解析】(1)sin(－1 410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin 30°全优第8页变式训练思考：如图，设角α为第一象限角，
角α的正弦、余弦值能否分别用一条线段表示？思考：若角α为第三象限角，角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？flash|sinα|=|y|=|MP||cosα|=|x|=|OM| 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．类似的，如果我们可以用坐标轴的方向来规定线段OM、MP的方向，就可以使它们的取值与P点的坐标联系起来． 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x．其中x为P点的横坐标．这样，无论哪一种情况都有 当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、M为终点，规定：cosα=OM=xOM称之为余弦线 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y．其中y为P点的纵坐标．这样，无论哪一种情况都有 同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定：sinα =MP=yMP称之为正弦线 像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directed line segment）．注意：书写的时候要先写起点的字母，再写终点的字母，不能颠倒!思考：能用有向线段来表示正切吗？
（正切线）几何画板演示 2．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.(课本17页)MT 解：（3）如图，MP为正弦线， OM为余弦线， AT为正切线． 2．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并求出它们的正弦、余弦和正切的值.（4）如图，
MP为正弦线，
OM为余弦线，
AT为正切线．MT 作三角函数线的具体步骤如下：
1） 画单位圆，2） 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线。3） 有向线段OM是余弦线。4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有向线段AT就是正切线。
余弦——锐角的邻边与斜边的比
正切——锐角的对边与邻边的比P(ｘ，ｙ)?的终边 r?锐角三角函数定义思考:
在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? flash如何用直角坐标系内点的坐标表示锐角三角形的三角函数？ 在直角坐标系中，我们称以原点Ｏ为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（即：r=1）．r=1 当α为任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 （1） 叫做α的正弦,记作
sinα，即sinα= = y ； （2） 叫做α的余弦,记作
cosα，即cosα= = x ； （3） 叫做α的正切(tangent)，记作tanα， 即tanα= （x≠0）．正弦函数：同理：余弦函数：正切函数：上面三个函数统称三角函数任意角三角函数的定义:定义域：R定义域：R定义域： 正弦、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以上三种函数统称三角函数．关键：
求出α角终边与单位圆的交点。思考:如何求α角的三角函数值?例1：求 的正弦,余弦和正切值。例1：求 的正弦,余弦和正切值。yxO练习：课本15页1 例2：已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值．解：由已知可得：于是，MP(x,y)O 在平面直角坐标系中,设角 的终边上
任意一点P的坐标是(x,y),它到原点的距离
为r,
（r=|OP|= ）>0xyxMr4．已知角α的终边经过点P(x，－6)且则x的值为______．10练习：课本15页2全优84页限时规范训练【例1】 已知角α的终边经过点P(24a，－7a)(a∈R且a≠0)，求α的正弦值、余弦值和正切值．【解析】由已知得r＝|OP|＝＝25|a|，若a＞0，则r＝25a，于是sin α＝cos α＝tan α＝全优第7页典例剖析【例1】 已知角α的终边经过点P(24a，－7a)(a∈R且a≠0)，求α的正弦值、余弦值和正切值．【解析】由已知得r＝|OP|＝＝25|a|，若a＜0，则r＝－25a，于是sin α＝cos α＝tan α＝三角函数值的符号问题 根据刚才所学的知识，将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入下图中．(课本13页)-+---+-++-+10-1010-10在sin和cos的图像中，两个“+”号之间是1，两个“-”号之间是-1，一“+”一“-”之间是0.练习：课本15页3,4例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角， 反之也对．证明：当θ为第三象限角时，上式显然成立 因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于 第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合； 又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．下面我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角． 例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角． 因为①、②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．4．若三角形的两内角A，B满足sin A·cos B＜0，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定B全优第9页基础夯实6．已知tan α＞0且sin α＋cos α＞0，那么α的终边在第________象限．全优第9页能力提高一5．8cos 270°＋6sin 180°＋4tan 0°＋2sin 90°＝________.2【解析】原式＝8×0＋6×0＋4×0＋2×1＝2.全优第9页基础夯实3．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)且sin α＞0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．{a|－2
即有公式一 其中 作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值. 例4：确定下列三角函数值的符号.（1）cos250°；（3）tan（-672°）；（4）tan3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0（3）因为tan（-672°）=tan（48°-2×360°），而48°是第一象限角，所以tan（-672°）＞0（2）因为 是第四象限角，所以（4）因为tan3π=tan（π+2π）=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tan3π=0练习：课本15页5例5：求下列三角函数值:3．求下列各式的值：(1)sin(－1 410°)；【解析】(1)sin(－1 410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin 30°全优第8页变式训练思考：如图，设角α为第一象限角，
角α的正弦、余弦值能否分别用一条线段表示？思考：若角α为第三象限角，角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？flash|sinα|=|y|=|MP||cosα|=|x|=|OM| 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．类似的，如果我们可以用坐标轴的方向来规定线段OM、MP的方向，就可以使它们的取值与P点的坐标联系起来． 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x．其中x为P点的横坐标．这样，无论哪一种情况都有 当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、M为终点，规定：cosα=OM=xOM称之为余弦线 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y．其中y为P点的纵坐标．这样，无论哪一种情况都有 同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定：sinα =MP=yMP称之为正弦线 像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directed line segment）．注意：书写的时候要先写起点的字母，再写终点的字母，不能颠倒!思考：能用有向线段来表示正切吗？
（正切线）几何画板演示 2．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.(课本17页)MT 解：（3）如图，MP为正弦线， OM为余弦线， AT为正切线． 2．作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并求出它们的正弦、余弦和正切的值.（4）如图，
MP为正弦线，
OM为余弦线，
AT为正切线．MT 作三角函数线的具体步骤如下：
1） 画单位圆，2） 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线。3） 有向线段OM是余弦线。4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有向线段AT就是正切线。