1.1 特殊平行四边形 菱形（2） 研学案
主备：宋冰 副备： 王义福 审核：
备课时间：一周 上课时间：二周
第一环节：课前准备
活动内容：制作菱形
在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；
想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.
利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.
第二环节：温故知新
活动内容：通过练习复习上节课探究过的菱形的性质
第三环节：展示交流，引导探究.
活动内容：利用实物投影或者课件，请学 ( http: / / www.21cnjy.com )生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。
用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:
对角线垂直的平行四边形是棱形
四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路
菱形的尺规作图
利用长方形纸剪折菱形
第四环节：教师引导，独立证明
活动内容：组织学生以小组合作的方式独立 ( http: / / www.21cnjy.com )完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。
（一）对角线垂直的平行四边形是菱形
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
（二）四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证: 四边形ABCD是菱形
证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
第五环节：实际应用，练习巩固
活动内容：小组合作完成教材中的两个习题
1.教材P7随堂练习
画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.
2.教材P8 知识技能1
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.
求证: 四边形AECF是菱形
第六环节：课堂小结1
一分钟记忆：“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”
第七环节：作业布置
1.教材P8 知识技能2
此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明.
2. 教材P8 数学理解3
教学反思：1．菱形的性质与判定（一）
教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节 ( http: / / www.21cnjy.com )：课前准备；第二环节：设置情境 ，提出课题；第三环节：猜想 、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 课前准备
1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
第二环节设置情境 ，提出课题
【教学内容】
学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与 ABCD相比较，还有不同点吗？
学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。
教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
第三环节 猜想 、探究与证明
【教学内容】
1、想一想
①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。
教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论 ( http: / / www.21cnjy.com )中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
2、做一做
教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。
教师活动：教师巡视并参与学 ( http: / / www.21cnjy.com )生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。
师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。
3、证明菱形性质
教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
教师活动：展示题目
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。
②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。
学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB = CD， AD= BC （菱形的对边相等）.
又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD ∴AO⊥BD
即AC⊥BD
教师活动：展示学生的证明 ( http: / / www.21cnjy.com )过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。
第四环节 性质应用与巩固
【教学内容】
教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。
教师活动：展示题目
1、例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。
②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△ ( http: / / www.21cnjy.com )AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD = ×6 =3（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60 ( http: / / www.21cnjy.com )°
∴△ABD是等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，得OA2+OB2=AB2
2、随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
已知AB=5cm，AO=4cm 求 BD的长.
师生共析：从图中可以知道AC与BD互 ( http: / / www.21cnjy.com )相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，BD为OB 的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值了。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2
∴
∵ 四边形ABCD是菱形
∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）
所以，BD的长是6cm.
第五环节 课堂小结
【教学内容】
本节课我们探讨了菱形的定义、性质 ，我们来共同总结一下：
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
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2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
【教学目的】
教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。
第六环节 布置作业:
课本习题1.1 知识技能 1、2、3 数学理解 4
图1-1
图1-2
∴
∴1.1 特殊平行四边形 菱形（3） 研学案
主备：宋冰 副备： 王义福 审核：
备课时间：一周 上课时间：二周
第一环节：知识回顾
内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？
1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：
(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
2. 如图2所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
第二环节：知识应用
1.典型例题：
例3 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE=BD×10=5（cm）
∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）S菱形ABCD= S△ABD+ S△CBD
=2×S△ABD=2××BD×AE
= BD×AE=10×12=120(cm2).
2.变式训练：如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：
(1)菱形的边长；
(2)求菱形一条边上的高。
3.方法启迪：
同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？
目的：学生完成典型例题后及时总结经验是帮 ( http: / / www.21cnjy.com )助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。
4.知者加速与补读帮困：
知者加速1：已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm2.
通过补读帮困让学习有困难的这部分同学能够在数学课上尽可能地掌握知识，以树立学习数学的信心。
第三环节：拓展提高1
1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
第四环节：效果检测
1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则
∠ABC= °，AC= cm.
2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是 cm2．
3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4. 已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，
求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
知者加速2：已知：如图10，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
第五环节：课堂小结
一分钟记忆：菱形的判定
教学设计反思：
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图8
图7
图9
图10
