1.2 矩形的性质与判定（1） 研学案
主备：宋冰 副备： 王义福 审核：
备课时间：一周 上课时间：二周
第一环节：创设情景，导入新课
活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？
2、探究矩形的定义。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形
变：角的大小
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
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第二环节：分组讨论，探究新知
活动内容：1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
在同学回答的基础上进行归纳：
性质类别 边 角 对角线 对称性
矩形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
第三环节：层层递进，推理论证
活动内容：提问：怎样证明你的猜想？
（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）
订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
第四环节：乘胜追击，完善性质
活动内容：问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
①矩形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
②矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等；
从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
第五环节：建构新知，发展问题
活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角 ( http: / / www.21cnjy.com )都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？
（2）教师板书推论及推理语言：
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
（3）练一练
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
第六环节：合作交流，解决问题
活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OD。
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)= 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD=2AB=2×2.5=5.
一分钟记忆
（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
（2）矩形的性质
（3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。
2.自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C.有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两 ( http: / / www.21cnjy.com )条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。
教学反思：1.2 矩形的性质与判定（3） 研学案
主备：宋冰 副备： 王义福 审核：
备课时间：一周 上课时间：二周
第一环节 复习导入
1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO= ,AC= cm，_______。
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。
第二环 讲授新课1
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
解∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO=BD（矩形的对角线相等且互相平分）.
∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）.
∵ED=3BE，
∴BE=OE.
又∵ AE⊥BD，
∴AB=AO.
∴AB=AO=BO.
即 △ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
∴AE=AD=×6=3.
例4 如图1-15，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
=（∠BAC=∠CAM）
=×180°
=90°.
在△ABC中，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90° .
∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
第三环节 巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
练习：已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
第四环节 课堂小结:
一分钟记忆：矩形与平行四边形的关系
第五环节 布置作业
对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求，作业（一）要求不高，要求学生独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求作业（二）
（一）习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4
（二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别
是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
教学反思1.2 矩形的性质与判定（2） 研学案
主备：宋冰 副备： 王义福 审核：
备课时间：一周 上课时间：二周
第一环节：创设情境，提出问题
活动内容：课前准备小木板和橡皮筋，制 ( http: / / www.21cnjy.com )作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉
活动内容：根据上面的实践活动提出以下两个问题：
随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化
当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想
学生在小组中完成这个活动的过程中，会引 ( http: / / www.21cnjy.com )发对于这两个问题的讨论，请学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之间进行交流。
对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第一个判定定理进行证明：
教师板书本题证明过程。
定理 两条对角线相等的平行四边形是矩形。
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
第三环节：再创情境，猜想实践
活动内容：
教师给出PPT中的情境二：李芳 ( http: / / www.21cnjy.com )同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？
学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。
定理 三个角是直角的四边形是矩形。
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
第四环节：实际应用，范例教学；
活动内容：
教师实际问题：
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？
请说明如何操作，并说明这样做的原因。
2. 教师给出书中例二，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.
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教师板书本例题
第五环节：反馈练习，注重参与
活动内容：1
1．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
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2. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
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第六环节：课堂小节，
一分钟记忆：定理 两条对角线相等的平行四边形是矩形。
教学反思
