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因式分解的十字相乘法（分层练习，六大题型）
考查题型一、判断十字相乘分解的对错
1．以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型二、首项系数为1型十字相乘
5．将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
6．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
8．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
9．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
11．代数式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
12．计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
13．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）
14．分解因式 ．
15．因式分解： ．
16．因式分解： ．
17．因式分解： ．
18．因式分解： ．
考查题型三、首项系数非1型十字相乘
19．在实数范围内分解因式： ．
20．多项式分解因式得 ．
21．分解因式： ．
22．分解因式：= ．
23．分解因式： ．
24．分解因式：5x2＋17x﹣12= ．
考查题型四、提公因式法或公式法与十字相乘法综合
25分解因式： ．
26．把多项式因式分解，结果为 ．
27．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
28．分解因式： ．
29．分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
30．因式分解：＝ ．
31．因式分解： ．
32．因式分解： ．
考查题型五、运用十字相乘求参数值
33．分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是( )
A．7 B．2 C． D．
34．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
35．如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
36．若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
37．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
考查题型六、十字相乘的中档文字题
38．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
39．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
40．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
41．阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：（1）；（2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)；
(2)；
(3)．
42．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
单选题
1．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
3．若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
4．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
二、填空题
5．已知多项式，，则A、B的公因式是 ．
6．因式分解= ．
7．分解因式：= ．
8．因式分解：= ．
三、解答题
9.(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
10．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
11．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
12．由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
13．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解的十字相乘法（分层练习，六大题型）
考查题型一、判断十字相乘分解的对错
1．以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，．
【详解】解：；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．
故选：B．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解．
【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意；
B．，故本选项错误，不符合题意；
C．，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不能进行因式分解，不符合题意；
B、，原因式分解错误，不符合题意；
C、，原因式分解错误，不符合题意；
D、，因式分解正确，符合题意；
故选D．
4．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
考查题型二、首项系数为1型十字相乘
5．将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】二次项系数看成，常数项看成，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：
故选：C．
6．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故选B．
7．把多项式分解因式，其结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】因为 6×9＝ 54， 6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：x2+3x 54＝（x 6）（x＋9）；
故选：B．
8．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（ ）
A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）
C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）
【答案】A
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，故选：A．
9．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可．
【详解】，故选：B．
10．将多项式分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：．
故选：．
11．代数式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解．
【详解】解：
故选：B．
12．计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故选B．
13．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（ ）
A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）
【答案】D
【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．
【详解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故选：D．
14．分解因式 ．
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．因式分解： ．
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．因式分解： ．
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】解：因为，且是的一次项的系数，
所以，
故答案为：．
17．因式分解： ．
【答案】
【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．
【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，
，
故答案为：．
18．因式分解： ．
【答案】
【分析】利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
考查题型三、首项系数非1型十字相乘
19．在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】利用十字相乘法求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
20．多项式分解因式得 ．
【答案】
【详解】，
故答案为：．
21．分解因式： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
22．分解因式：= ．
【详解】解：利用十字相乘法将因式分解，
得．
23．分解因式： ．
【答案】
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
24．分解因式：5x2＋17x﹣12= ．
【详解】利用十字交乘法将5x2+17x-12因式分解，
可得：5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）．
考查题型四、提公因式法或公式法与十字相乘法综合
25分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
26．把多项式因式分解，结果为 ．
【答案】
【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
【详解】解：＝＝．
故答案为：．
27．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
28．分解因式： ．
【答案】/2x（x+1）（2x-1）
【分析】先提公因式法再用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：．
29．分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）．
【详解】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
详解：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）．
30．因式分解：＝ ．
【答案】
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
31．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
32．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
考查题型五、运用十字相乘求参数值
33．分解因式：，其中□表示一个常数，则□的值是( )
A．7 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：，∴表示，故选：C．
34．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案．
【详解】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为 常数项为
故选：A．
35．如果多项式可分解为，则m，n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，∴，∴，
∴，故选：D．
36．若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，
可得，，解得：，，故答案为：D．
37．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．11
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：，，据此可得，，问题随之得解．
【详解】解：多项式可分解为，，，
，，．故选：C．
考查题型六、十字相乘的中档文字题
38．观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
【详解】解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
故答案为：x+p；x+q；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
故答案为：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；
（1）
=（x-3）（x-4）；
（2）
=（y2+y+9）（y2+y-2）
=（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
39．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴；
故答案为：．
40．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：
．
．
例如：．
求：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：根据题意，
，
∴，
（2）根据题意，
∴．
41．阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例如：（1）；（2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底．
42．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【详解】（1）解：＋7x 18＝＋（ 2＋9）x＋（ 2）×9＝（x 2）（x＋9）
故答案为：（x 2）（x＋9）．
（2）解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）解： 6x+8＝0，（x 2）（x-4）＝0，（x 2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查了因式分解 十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
单选题
1．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．
【详解】A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．
【详解】解：∵甲看错了a的值，∴b是正确的，∵=，∴b=-6，
∵乙看错了b的值，∴a是正确的，∵=，∴a=-1，
∴=，故选：B．
3．若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【答案】A
【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案．
【详解】解：二次三项式可分解成即，
，解得：，，则，故选：A．
4．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，所以a-c=4-（-3）=7，故选：B．
二、填空题
5．已知多项式，，则A、B的公因式是 ．
【答案】/
【分析】把A、B进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，，
所以A、B的公因式是．故答案为：．
6．因式分解= ．
【答案】
【分析】把看作一个整体，根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
7．分解因式：．
【答案】
【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：
．
8．因式分解：．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简，再利用十字相乘进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
三、解答题
9.(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
10．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
11．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
12．由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
13．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
