浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·杭州期中）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：D.
【分析】先求出集合B，再根据交集运算即可得到结果.
2．（2024高二下·杭州期中）在等差数列中，，，则的值是（ ）
A．13 B．14 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解： 是等差数列，则
又，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的下标和性质，代值计算即可得到结果.
3．（2024高二下·杭州期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与夹角的余弦值为
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；
对于C：，，则，即，故C正确；
对于D：，，故D错误；
故答案为：C
【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项.
4．（2024高二下·深圳期中） 若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】求导，代入即可得结果.
5．（2024高二下·杭州期中）若点是角终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
，又由三角函数的定义得，
所以，又，解得.
故答案为：D.
【分析】由诱导公式六及三角函数的定义求解即可.
6．（2024高二下·杭州期中）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：
圆，圆心，半径，
，圆心，半径，
由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，
圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，
故的方程：，即，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
7．（2020高一上·张掖期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】由图知 的定义域为 ，排除A、D，
又因为当 时， ，不符合图象 ，所以排除C，
故答案为：B.
【分析】由图像知函数的定义域排除选项B，D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项。
8．（2024高二下·杭州期中）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段的中点，若，则点M到y轴的距离为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：
由题设易知，从而准线方程为.
设点点点坐标为，
由抛物线的定义知，，
所以有，所以到轴距离，故B正确；
故答案为：B
【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·杭州期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为1
B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．的虚部为
D．的共轭复数为
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
则的实部为1，虚部为-1， 共轭复数为 ；
则A、D正确，C错误；
在复平面内对应的点为，是位于第四象限，B正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，结合复数的概念以及复数的几何意义即可得到结果.
10．（2021高三上·海安开学考）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 表示事件甲，用 表示事件乙， ，则 ，所以甲与乙独立，C符合题意.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。
11．（2024高二下·杭州期中）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（ ）
A．轨道I的长轴长为
B．轨道Ⅱ的焦距为
C．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大
D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小
【答案】A,B
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：
设椭圆长轴，短轴，焦距，
对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确；
对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确；
对于C选项，由前面选项知，
若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误；
对于D选项，因为，
若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据椭圆中长轴两端点之间的距离，以及一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r以及椭圆的性质分析选项即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·杭州期中）已知向量，，，则 .
【答案】±2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
则，即，
所以.
故答案为：±2.
【分析】根据向量平行的坐标运算公式即可得到结果.
13．（2024高二下·杭州期中）已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为点在直线上，
则，
所以是以2为公差，以1为首项的等差数列，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意得到，利用通项公式推断出是以2为公差，以1为首项的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得到结果.
14．（2024高二下·杭州期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点P的轨迹与圆C：的公切线的条数为 .
【答案】2
【知识点】轨迹方程；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：
由题意设，
易知，即可得，
整理得点的轨迹方程为，
其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于，小于，
则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·杭州期中）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的大小，
（2）求的面积
【答案】（1）解：依题意，，，由正弦定理得
选①，，则，三角形不存在，不符合题意.
选②，，则，，则为锐角，且.
且由得，，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，，由正弦定理得，
由于，，所以，则，则B为锐角，且.
由余弦定理得，即，
得，，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】
（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式求得正确答案.
16．（2024高二下·杭州期中）已知，在处取得极小值.
（1）求的解析式
（2）求在处的切线方程.
（3）若方程有且只有一个实数根，求k的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知，
因为在处取得极小值
则，
解得：，
经检验，满足题意，所以，，
所以
（2）解：由题意知，，所以，，所以切点坐标为，斜率，
所以切线方程为：，即.
（3）解：令，解得或，则x，，的关系如下表：
-2 2
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】
（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
17．（2024高二下·杭州期中）已知数列中，，点在直线上.
（1）求数列的通项公式及其前项的和.
（2）设，，证明：.
【答案】（1）解：因为点在直线上，所以，
又，故数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，
.
（2）证明：由题可知，记，
所以①
①，得②
①-②，得，
故，又，故，即证
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】
（1）根据等比数列的通项公式结合前项和公式，即可求得结果；
（2）利用错位相减法求得的前项和，再证明即可.
18．（2024·广州模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取中点，连接，因为为中点，为中点，
所以，又因为，所以，则四边形为平行四边形
，因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为，所以，
过作于点，则
，所以，
平面，因为平面，所以平面平面.
（3）解：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量，则，解得，
设与平面所成角为，则.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判定证明即可；
（2）过作于点，利用三角形全等结合线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（3）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
19．（2024高二下·杭州期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，若以圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆E的方程
（2）点P是直线：上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N.
①求证直线恒过定点，并求出此定点.
②求面积的最小值.
【答案】（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，
若椭圆E经过A，B两点，可得，可得，
设，且，，则，
因为，可得，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）解：①由（1）知，椭圆的焦点，
设，，，
则切线的方程为，即，点在直线上，
所以，即，
因为，，所以，
因为，所以，
代入上式，可得
所以，同理，
所以直线恒过定点.
②由（1）知直线恒过定点，
令直线：，代入椭圆方程，
联立方程组，可得，
则，，且，
（i）当时，点到直线的距离为，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又由弦长公式，
可得
，
所以，
令，所以，
则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
所以；
（ii）当时，，综上可得，的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】
（1）根据题意，得到，再由，得到，求得的值，即可求解；
（2）①设，得到切线的方程，得到，得到，得到，同理，进而得到恒过定点.
②由（1），设直线，联立方程组得到，再分和时，两种情况讨论，结合换元法和函数的单调性，即可求解.
1 / 1浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·杭州期中）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·杭州期中）在等差数列中，，，则的值是（ ）
A．13 B．14 C．16 D．17
3．（2024高二下·杭州期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与夹角的余弦值为
C． D．
4．（2024高二下·深圳期中） 若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024高二下·杭州期中）若点是角终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
6．（2024高二下·杭州期中）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·张掖期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·杭州期中）已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段的中点，若，则点M到y轴的距离为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·杭州期中）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为1
B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．的虚部为
D．的共轭复数为
10．（2021高三上·海安开学考）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立
11．（2024高二下·杭州期中）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（ ）
A．轨道I的长轴长为
B．轨道Ⅱ的焦距为
C．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大
D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·杭州期中）已知向量，，，则 .
13．（2024高二下·杭州期中）已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和 .
14．（2024高二下·杭州期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点P的轨迹与圆C：的公切线的条数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·杭州期中）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求的大小，
（2）求的面积
16．（2024高二下·杭州期中）已知，在处取得极小值.
（1）求的解析式
（2）求在处的切线方程.
（3）若方程有且只有一个实数根，求k的取值范围.
17．（2024高二下·杭州期中）已知数列中，，点在直线上.
（1）求数列的通项公式及其前项的和.
（2）设，，证明：.
18．（2024·广州模拟）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
19．（2024高二下·杭州期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，若以圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆E的方程
（2）点P是直线：上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N.
①求证直线恒过定点，并求出此定点.
②求面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：D.
【分析】先求出集合B，再根据交集运算即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解： 是等差数列，则
又，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的下标和性质，代值计算即可得到结果.
3．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：
对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；
对于C：，，则，即，故C正确；
对于D：，，故D错误；
故答案为：C
【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项.
4．【答案】A
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】求导，代入即可得结果.
5．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
，又由三角函数的定义得，
所以，又，解得.
故答案为：D.
【分析】由诱导公式六及三角函数的定义求解即可.
6．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：
圆，圆心，半径，
，圆心，半径，
由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，
圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，
故的方程：，即，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
7．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值
【解析】【解答】由图知 的定义域为 ，排除A、D，
又因为当 时， ，不符合图象 ，所以排除C，
故答案为：B.
【分析】由图像知函数的定义域排除选项B，D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项。
8．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：
由题设易知，从而准线方程为.
设点点点坐标为，
由抛物线的定义知，，
所以有，所以到轴距离，故B正确；
故答案为：B
【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
则的实部为1，虚部为-1， 共轭复数为 ；
则A、D正确，C错误；
在复平面内对应的点为，是位于第四象限，B正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件，结合复数的概念以及复数的几何意义即可得到结果.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.
事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A不符合题意.
事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B符合题意.
事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 表示事件甲，用 表示事件乙， ，则 ，所以甲与乙独立，C符合题意.
由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的定义，从而找出正确的选项。
11．【答案】A,B
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：
设椭圆长轴，短轴，焦距，
对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确；
对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确；
对于C选项，由前面选项知，
若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误；
对于D选项，因为，
若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据椭圆中长轴两端点之间的距离，以及一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，分别结合圆的半径R和r以及椭圆的性质分析选项即可求解.
12．【答案】±2
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
则，即，
所以.
故答案为：±2.
【分析】根据向量平行的坐标运算公式即可得到结果.
13．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为点在直线上，
则，
所以是以2为公差，以1为首项的等差数列，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意得到，利用通项公式推断出是以2为公差，以1为首项的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得到结果.
14．【答案】2
【知识点】轨迹方程；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：
由题意设，
易知，即可得，
整理得点的轨迹方程为，
其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于，小于，
则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线.
15．【答案】（1）解：依题意，，，由正弦定理得
选①，，则，三角形不存在，不符合题意.
选②，，则，，则为锐角，且.
且由得，，
三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，，由正弦定理得，
由于，，所以，则，则B为锐角，且.
由余弦定理得，即，
得，，
所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】
（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式求得正确答案.
16．【答案】（1）解：由题意知，
因为在处取得极小值
则，
解得：，
经检验，满足题意，所以，，
所以
（2）解：由题意知，，所以，，所以切点坐标为，斜率，
所以切线方程为：，即.
（3）解：令，解得或，则x，，的关系如下表：
-2 2
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则，
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，
等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】
（1）求出，由题意可的，由此即可求出答案；
（2）分别求出，的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数与有且只有一个交点，求出函数的单调性与极值，即可求出的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为点在直线上，所以，
又，故数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，
.
（2）证明：由题可知，记，
所以①
①，得②
①-②，得，
故，又，故，即证
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列与函数的综合；数列与不等式的综合
【解析】【分析】
（1）根据等比数列的通项公式结合前项和公式，即可求得结果；
（2）利用错位相减法求得的前项和，再证明即可.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，因为为中点，为中点，
所以，又因为，所以，则四边形为平行四边形
，因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为，所以，
过作于点，则
，所以，
平面，因为平面，所以平面平面.
（3）解：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量，则，解得，
设与平面所成角为，则.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判定证明即可；
（2）过作于点，利用三角形全等结合线面垂直的判定、面面垂直的判定证明即可；
（3）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
19．【答案】（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，
若椭圆E经过A，B两点，可得，可得，
设，且，，则，
因为，可得，
所以，所以椭圆的方程为.
（2）解：①由（1）知，椭圆的焦点，
设，，，
则切线的方程为，即，点在直线上，
所以，即，
因为，，所以，
因为，所以，
代入上式，可得
所以，同理，
所以直线恒过定点.
②由（1）知直线恒过定点，
令直线：，代入椭圆方程，
联立方程组，可得，
则，，且，
（i）当时，点到直线的距离为，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又由弦长公式，
可得
，
所以，
令，所以，
则，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
所以；
（ii）当时，，综上可得，的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】
（1）根据题意，得到，再由，得到，求得的值，即可求解；
（2）①设，得到切线的方程，得到，得到，得到，同理，进而得到恒过定点.
②由（1），设直线，联立方程组得到，再分和时，两种情况讨论，结合换元法和函数的单调性，即可求解.
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