辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（解析版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 888.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-23 00:00:00 | ||
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文档简介
2023-2024下学期高二第二次月考数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分 出卷人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若数列的首项，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
4．已知等差数列的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，数列的前项和为，则（ ）
A．8096 B．8094 C．4048 D．4047
6．二项式展开式的常数项为（ ）
A． B．70 C． D．
7．已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ）
A．226 B．228 C．230 D．232
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
10．已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，则数列是等差数列
11．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，以线段为直径作圆为坐标原点，下列正确的判断有（ ）
A． B．为钝角三角形
C．点在圆外部 D．直线平分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知等比数列的前项和为，则 .
13．已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 .
14．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．已知等差数列的前项和为，有，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，证明：.
16．已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．
(1)求数列，的通项和；
(2)设，求数列的前n项和．
17．如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的大小.
18．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据数据回答：是否有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六 星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步 篮球 羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步 篮球 羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．
1．B
【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以该数列的周期为，
于是有，
故选：C
3．B
【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.
【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列
所以
所以，
解得.
故选：B.
4．A
【分析】利用等差数列的求和公式及性质可得答案.
【详解】因为均为等差数列，所以，
因为，所以.
故选：A
5．D
【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可.
【详解】由，
得,
,
,
又，
所以，
所以.
故选：D.
6．D
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
7．A
【分析】将数列分成偶数列和奇数列两列数列处理即可.
【详解】由题可知数列的奇数列是公差为2，首项为1的等差数列，此时，
数列的偶数列是1，交替出现的波动数列，此时，
所以.
故选：A.
8．B
【详解】试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．
9．ABD
【分析】由的方差公式可判断A； x增加1个单位时计算y值与原y值比较可判断B；由线性相关系数|r|的性质可判断C；根据正态曲线关于x=1对称即可判断D.
【详解】对于选项A，由，，则，所以，故正确；
对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；
对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；
对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题.
10．CD
【分析】利用等比数列求和公式可判定A，利用累加法求通项可判定B，利用构造法结合等差数列、等比数列的定义可判定C、D.
【详解】对于A，，由，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，则A错误；
对于B，时，则，
利用累加法可知，显然符合，则B错误；
对于C，时，则，
显然，所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，则C正确；
对于D，时，，
即是以为首项和公差的等差数列，则D正确.
故选：CD
11．ABD
【分析】对选项A，根据焦半径公式即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，D，根据抛物线的性质得到，，即可判断C错误，D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，由抛物线的焦半径公式可知，所以，
故A正确；
对于选项B，，
令直线的方程为，代入得，所以，
所以，所以是钝角三角形，故B正确；
对选项C，D，由可知，
又，所以，所以直线平分角，
同理可得平分角，所以，即，
所以圆经过点，故C错误，D正确．
故选：ABD
12．
【分析】由求出，检验首项即得参数值.
【详解】由，当时，；当时，，
因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意.
故答案为：.
13．3
【分析】由椭圆的定义，求的最小值可化为的最小值，根据三点共线即可求解.
【详解】由椭圆可知，
，
设椭圆的右焦点为，则，如图，
所以，
即当在的延长线上时，取得最小值.
故答案为：3
14．
【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.
【详解】由题意，可分为三种情况：
当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，
所以不同的分配方法有种不同的安排方法.
故答案为：.
15．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.
【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
有，
由，有，故有，由上知.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
16．(1)，
(2)
【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为是与2的等差中项，
所以，即，
则，
当时，，
从而，
则等比数列的公比，
故；
因为，点在一次函数的图象上，
所以，即等差数列的公差为2，
从而.
（2）由，
得：...①
...②
①-②得，
，
从而.
17．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接由题意可得平面，即可得，结合题目条件可得，由线面垂直的判定定理即可得平面；
（2）建立空间直角坐标系后得出各点坐标，分别计算出平面与平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.
【详解】（1）为的中点，连接，由题意得平面，
又平面，所以，
因为，所以，又平面，
所以平面；
（2）以的中点为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知各点坐标如下：
，由故，
，故，
因此，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，即，令，可取，
由，即，令，可取，
于是，
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角为.
18．(1)有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）根据题意，列出的列联表，求得卡方值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（3）根据题意，结合全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得的列联表，如下表所示：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
可得，
所以有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
（2）解：由表中的数据，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在与的人数分别为人和人，
根据题意，可得随机变量的可能取值为，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
（3）解：记小明在某一星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件，星期天选择跑步为事件，
则，，
所以,
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．(1)
(2)是，
(3)．
【分析】（1）由已知得，动点的轨迹为椭圆，待定系数法求方程即可；
（2）设两点的坐标，表示出的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求的面积.
（3）求出点的轨迹方程曲线，，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示，由直线与曲线有交点确定参数范围，求面积最大值.
【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，，
所以曲线的方程为
（2）设，，直线：；
，到直线的距离，
所以
另一方面，因为，是椭圆上的动点，
所以可设，，，
由，得，
为定值.
（3）设，，，
代入：得，所以曲线的方程为.
由知，同理，，
设，
①当直线有斜率时，设：，
代入椭圆的方程得：，
，，
将：代入椭圆的方程得：，
与椭圆有公共点，由得：，
令，则，
．
②当斜率不存在时，设：，代入椭圆的方程得：，
，
综合①②得面积的最大值为，
所以面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
考试时间：120分钟 总分：150分 出卷人：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若数列的首项，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
4．已知等差数列的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，数列的前项和为，则（ ）
A．8096 B．8094 C．4048 D．4047
6．二项式展开式的常数项为（ ）
A． B．70 C． D．
7．已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ）
A．226 B．228 C．230 D．232
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
10．已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，则数列是等差数列
11．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，以线段为直径作圆为坐标原点，下列正确的判断有（ ）
A． B．为钝角三角形
C．点在圆外部 D．直线平分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知等比数列的前项和为，则 .
13．已知点，且F是椭圆的左焦点，P是椭圆上任意一点，则的最小值是 .
14．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．已知等差数列的前项和为，有，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，证明：.
16．已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．
(1)求数列，的通项和；
(2)设，求数列的前n项和．
17．如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的大小.
18．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据数据回答：是否有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六 星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步 篮球 羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步 篮球 羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．
1．B
【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以该数列的周期为，
于是有，
故选：C
3．B
【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.
【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列
所以
所以，
解得.
故选：B.
4．A
【分析】利用等差数列的求和公式及性质可得答案.
【详解】因为均为等差数列，所以，
因为，所以.
故选：A
5．D
【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可.
【详解】由，
得,
,
,
又，
所以，
所以.
故选：D.
6．D
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
7．A
【分析】将数列分成偶数列和奇数列两列数列处理即可.
【详解】由题可知数列的奇数列是公差为2，首项为1的等差数列，此时，
数列的偶数列是1，交替出现的波动数列，此时，
所以.
故选：A.
8．B
【详解】试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．
9．ABD
【分析】由的方差公式可判断A； x增加1个单位时计算y值与原y值比较可判断B；由线性相关系数|r|的性质可判断C；根据正态曲线关于x=1对称即可判断D.
【详解】对于选项A，由，，则，所以，故正确；
对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；
对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；
对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题.
10．CD
【分析】利用等比数列求和公式可判定A，利用累加法求通项可判定B，利用构造法结合等差数列、等比数列的定义可判定C、D.
【详解】对于A，，由，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，则A错误；
对于B，时，则，
利用累加法可知，显然符合，则B错误；
对于C，时，则，
显然，所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，则C正确；
对于D，时，，
即是以为首项和公差的等差数列，则D正确.
故选：CD
11．ABD
【分析】对选项A，根据焦半径公式即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，D，根据抛物线的性质得到，，即可判断C错误，D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，由抛物线的焦半径公式可知，所以，
故A正确；
对于选项B，，
令直线的方程为，代入得，所以，
所以，所以是钝角三角形，故B正确；
对选项C，D，由可知，
又，所以，所以直线平分角，
同理可得平分角，所以，即，
所以圆经过点，故C错误，D正确．
故选：ABD
12．
【分析】由求出，检验首项即得参数值.
【详解】由，当时，；当时，，
因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意.
故答案为：.
13．3
【分析】由椭圆的定义，求的最小值可化为的最小值，根据三点共线即可求解.
【详解】由椭圆可知，
，
设椭圆的右焦点为，则，如图，
所以，
即当在的延长线上时，取得最小值.
故答案为：3
14．
【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.
【详解】由题意，可分为三种情况：
当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，
所以不同的分配方法有种不同的安排方法.
故答案为：.
15．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.
【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
有，
由，有，故有，由上知.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.
16．(1)，
(2)
【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）因为是与2的等差中项，
所以，即，
则，
当时，，
从而，
则等比数列的公比，
故；
因为，点在一次函数的图象上，
所以，即等差数列的公差为2，
从而.
（2）由，
得：...①
...②
①-②得，
，
从而.
17．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接由题意可得平面，即可得，结合题目条件可得，由线面垂直的判定定理即可得平面；
（2）建立空间直角坐标系后得出各点坐标，分别计算出平面与平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.
【详解】（1）为的中点，连接，由题意得平面，
又平面，所以，
因为，所以，又平面，
所以平面；
（2）以的中点为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示空间直角坐标系，
由题意知各点坐标如下：
，由故，
，故，
因此，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，即，令，可取，
由，即，令，可取，
于是，
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角为.
18．(1)有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）根据题意，列出的列联表，求得卡方值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（3）根据题意，结合全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得的列联表，如下表所示：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 125 95 220
体育锻炼频率高 75 105 180
合计 200 200 400
可得，
所以有的把握认为体育锻炼频率的高低与年龄有关.
（2）解：由表中的数据，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在与的人数分别为人和人，
根据题意，可得随机变量的可能取值为，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
（3）解：记小明在某一星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件，星期天选择跑步为事件，
则，，
所以,
所以小明星期天选择跑步的概率为.
19．(1)
(2)是，
(3)．
【分析】（1）由已知得，动点的轨迹为椭圆，待定系数法求方程即可；
（2）设两点的坐标，表示出的面积，利用椭圆的参数方程结合三角函数的运算，求的面积.
（3）求出点的轨迹方程曲线，，分类讨论设直线方程，利用韦达定理表示，由直线与曲线有交点确定参数范围，求面积最大值.
【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，
所以，，
由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，，
所以曲线的方程为
（2）设，，直线：；
，到直线的距离，
所以
另一方面，因为，是椭圆上的动点，
所以可设，，，
由，得，
为定值.
（3）设，，，
代入：得，所以曲线的方程为.
由知，同理，，
设，
①当直线有斜率时，设：，
代入椭圆的方程得：，
，，
将：代入椭圆的方程得：，
与椭圆有公共点，由得：，
令，则，
．
②当斜率不存在时，设：，代入椭圆的方程得：，
，
综合①②得面积的最大值为，
所以面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
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