2023-2024学年高一数学下学期立体几何专题特训（人教A版2019必修第二册）（含解析）

（人教A版2019必修第二册）
2023-2024学年高一数学下学期立体几何专题特训
姓名：___________班级：___________
1．如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，证明：.
2．直角梯形中，，，平面，.
（1）求证：；
（2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值.
3．如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
4．如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，．
（1）证明：；
（2）证明：平面平面.
5．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
6．如图，在中，底面．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：平面．
7．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
（1）求证：平面PAC；
（2）求证：．
8．如图所示，已知平面，，点E和F分别为和的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
9．如图，在直三棱柱中，，D是棱的中点，是棱上的一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
10．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求与所成的角．
11．如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高．
（1）求圆柱的体积；
（2）求点A到平面的距离．
12．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为，底面半径为2．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设为该圆锥的底面半径，且，为的中点，求二面角的正切值
13．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
（1）求证：平面；
（2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
14．如图，在正方体中．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
15．在正方体中，E为棱的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.求证：
（1）平面；
（2）.
16．已知正四棱柱中，.
（1）求正四棱柱的表面积；
（2）求证：平面平面．
17．如图，已知正四棱柱，
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
18．如图，在长方体中，，，点P为棱的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
19．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
（1）证明: BE⊥平面EB C
（2）若AA =2，AB=1，求四棱锥的体积.
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（人教A版2019必修第二册）
2023-2024学年高一数学下学期立体几何专题特训
【参考答案】
1．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）连接与相交于,连接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,所以平面，

（2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面，
所以平面，平面,故 ，
又四边形为直角梯形，故,
是平面内的两相交直线，所以平面，
平面，故.

2．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）在梯形中，
由，，，得，
所以，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面
又平面，
所以.
（2）由（1）知，
所以，解得，
又因为平面且平面，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
故是在平面上的投影，
所以即为直线与平面所成的角的平面角，
在中，解得，
所以，所以
所以直线与平面所成角大小为
3．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）在直三棱柱中，平面，
平面，
又平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）由（1）可知平面，
又平面，
由题意可知，，，
，
设点到平面的距离为，
由可得，，
即，解得.
所以点到平面的距离为.
4．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）
连接，
，，是的中点，
，，
又平面，平面，，
平面，
又平面，
．
（2）
，，分别是，，的中点，
，，
又平面，平面，
平面，
同理可证平面，
又，平面，平面，
平面平面．
5．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
（2）因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
6．答案：（1）10；（2）证明见解析
解析：（1）因为，
所以，所以，
故，
又因为底面，，
所以.
（2）由（1）知，
又底面，底面，
所以，
又，平面，
所以平面.
7．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）证明：∵在四棱锥中，平面平面ABCD，
∴，
∵平面PAC，
∴平面PAC．
（2）∵，
平面，平面，
故平面，
又过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，即平面平面，
∴，
∴.
8．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）连接，在中，
∵点E和F分别是和的中点，，
又平面且平面，
平面；

（2）为中点，，
平面，平面，
平面，，
又平面且，
平面.
9．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）连接交于点，连接，如图所示，

在三棱柱中，，
所以，，
所以∽，所以，
又是棱的中点， ，所以，
又是棱上的一点，且，所以，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）在中，，是棱的中点，所以.
在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以.
10．答案：（1）；（2）
解析：（1）由题意可得，，，
所以在中，，
所以底面半径，
所以圆柱的侧面积．
（2）由题意可得，
又因为是圆柱的一条母线，可得底面，
因为底面，
所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又平面，
所以，所以与所成的角为．
11．答案：（1）；（2）
解析：（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高，
圆柱体积为：；
（2）设点到平面的距离为，
在等腰中，由，则，
为直径，，
在中，，
则，
由底面，底面,所以，
又，平面，所以平面，
平面，
故，
， ，
由等体积法，得，
解得：．
即点到平面的距离为．
12．答案：（1）；（2）
解析：（1）由题意知，平面，平面，
所以 ，所以圆锥的母线，
所以圆锥的侧面积；
（2）如图，连接，为的中点，，则，
又为等腰三角形，，所以，
所以为二面角所成角.
在等腰直角中，，所以，
在中，，得，
所以.
13．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为 ，所以平面平面；
（2）如图所示，
过作圆柱的母线，连接，
因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，
因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为为上底面的直径，所以，而平面 ，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又因为在底面射影为，所以，，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
14．答案：（1）证明见详解；（2）
解析：（1）正方体中，
,
故四边形是平行四边形，
则,
又平面，平面，
故平面.
（2）设正方体棱长为，作于,连接,
由正方体的性质知，,
所以,为二面角的平面角，
且,
所以,
故，
即二面角的大小
15．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）
如图，连结，在正方体中，
因为，为棱的中点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，不在平面内，
所以平面.
（2）在正方体中，
由面，面，所以，又，
面，面，，所以面，
又由面，所以.
16．答案：（1）；（2）证明见解析
解析：（1）正四棱柱的表面积为.
（2）为正方形，故，
正四棱柱，故平面，平面，
故，
，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
17．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析
解析：（1）因为正四棱柱，所以平面，
且四边形为正方形，所以，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面.
（2）因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面.
18．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）
设和交于点，连接，
为长方体，
∴点为中点，
∵点为中点，
∴，
∵平面，平面，
∴∥平面.
（2）为长方体，
∴平面，则直线与平面所成角为，
，，
所以直线与平面所成角的正切值为.
19．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）
证明：由长方体的性质可知，平面
因为平面，
所以
∴⊥平面 .
（2）取棱的中点F，连接EF、
则
由（1）知，由题设可知，

∵在长方体 中，平面
∴点E到平面的距离
∴四棱锥的体积
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