江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性测试数学试题（解析版）

张家港市沙洲中学2023-2024学年第二学期3月阶段性测试
高二 数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（ ）
A． B． C．24 D．12
2．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
3．已知定义域为R的函数（为的导函数），则（ ）
A． B．0 C． D．1
4．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种
A．120 B．260 C．340 D．420
6．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的偶函数满足，当时，，若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）
9．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11．函数（其中，为自然常数），则上述结论正确的是（ ）
A．，使得直线为曲线的一条切线
B．，函数有且仅有一个零点
C．当时，在区间上单调递减
D．当时，，使得直线与曲线没有交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，则正整数= .
13．已知,若存在 ,, 使得成立,则实数的取值范围是 .
14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．用这七个数字，完成下面三个小题．
(1)用以上七个数字能组成多少个三位数偶数（允许有重复数字）？
(2)用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？
(3)已知椭圆方程，其中，则满足焦距不小于的不同椭圆方程有多少个？
16．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若在处取得极值，试求的零点个数.
17．已知．
(1)若在恒成立，求a的范围；
(2)若有两个极值点s，t，求的取值范围．
18．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）证明：对任意恒成立；
（3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
19．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
1．B
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.
故选：B
2．C
【分析】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，
则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．
故选：C.
3．C
【分析】先求出，即可得到，直接求出.
【详解】因为，所以，所以，解得：，所以，所以.
故选：C
4．D
【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果.
【详解】由，得到，
由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
5．D
【详解】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，
则共有
故选
6．A
【分析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知函数是上的单调递减函数，
且当时，，
据此可得：，即 恒成立，
令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，则，
据此可得：实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．
7．C
【分析】由题知函数为周期函数，周期为，再结合题意得与有3个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：因为定义在上的偶函数满足
所以，即函数为周期函数，周期为，
因为当时，，
所以，作出其图像如图，
因为函数在上恰有三个零点，
所以与有3个交点，
当时，
由图，设直线是在原点时的切线，此时与有2个交点，
当直线过点时，直线与有2个交点，此时直线的斜率为
因为当时，，，即直线斜率为，
所以，要使与有3个交点，则，
当时，由对称性可知，也满足题意；
所以，实数的取值范围是
故选：C
8．C
【详解】令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得 ，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．
9．ACD
【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.
【详解】对于A，，故选项A错误；
对于B，，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误，
所以导数运算错误的是：，
故选：.
10．BC
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
11．ACD
【分析】选项A，利用导数的几何意义，即可求出在处的切线方程为，从而判断出选项A的正误；选项B，取，利用零点的定义，即可判断出选项B的正误；选项C，根据选项的条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项D，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，所以，
当时，，且，
所以在处的切线方程为，故选项A正确，
对于选项B，当时，，此时有无数多个零点，所以选项B错误，
对于选项C，因为，又，由，得到或，
即当，的减区间为，，所以选项C正确，
对于选项D，由选项C知，当时，的减区间为，，
又由，得到，即的增区间为，
当时，，且时，恒成立，
所以当时，直线与曲线没有交点，
当时，因为，
由，得到或，由，得到，
即的增区间为，，减区间为，
当时，，且时，恒成立，
所以当时，直线与曲线没有交点，故选项D正确，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：
（1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：；
（2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
12．
【分析】根据条件，利用排列数的计算公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，且，
整理得到，解得，
故答案为：.
13．
【详解】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出的最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.
试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值 . 函数 的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即 .
考点：存在性量词与不等式的有解问题．
【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.
14．##
【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】对于小问1，采用间接法计算，末尾为偶数字的三位数，减去首位为的三位偶数；对于小问2，采用直接计算，分末尾为或两种情况讨论计算相加；对于小问3，讨论当椭圆焦点在轴上时，由焦距不小于，得到，结合，找到满足条件的共有个，同理讨论当焦点在轴上的情况.
【详解】（1）七个数字中，偶数字为，奇数字为，
允许有重复数字的，首位数字是的三位偶数为
所以允许有重复数字的三位偶数为.
（2）无重复数字的能被5整除的四位数,末尾数字只能为或,
当末尾数字为时,有个，
当末尾数字为时,有个，
所以无重复数字的能被5整除的四位数为个.
（3）由椭圆方程，其中，知，
当时，由，得整理得，
所以或，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
所以满足条件的椭圆有个
同理，当，满足条件的椭圆也有个，
综上，焦距不小于的不同椭圆方程有个.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对求导得到，利用导数与函数单调性间的关系，分，和三种情况讨论，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，可得及函数的单调区间，通过计算得，，，即可求出结果.
【详解】（1）易知的定义域为，
因为，所以，
又恒成立，当时，由，得到或，由，得到，
当时，恒成立，当且仅当取等号，
当时，由，得到或，由，得到，
综上所述，当时，的增区间为，，减区间为；
当时，的增区间为；
当时，的增区间为，，减区间为.
（2）由（1）知，所以，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，，当时，，且时，，
其图象如图所示，
所以有2个零点，即零点个数为2.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意转化为恒成立，令，求得，再令，利用导数求得，得到在单调递减，即可求解；
（2）根据题意，转化为是的两不等正根，即是的两不等正根，结合二次函数的性质，求得，进而求得的取值范围．
【详解】（1）解：由函数，因为在上恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得，
所以在单调递减，所以，
所以恒成立，所以在单调递减，所以，
所以，所以实数的取值范围为.
（2）解：因为有两个极值点，
可得是的两不等正根，
即是的两不等正根，则满足，解得，
则
，
所以的取值范围为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
18．（1）；（2）见解析；（3）函数不存在“中值伴侣切线”.
【分析】（1）由函数得到分段函数，分别对每一段研究最值得到整个函数的最小值；
（2）要证明对任意恒成立；，只要构造函数证明整式不等式恒成立即可；
（3）假设函数存在“中值伴侣切线”，根据给定的新的定义得到函数，结合第（2）问的结论求解．
【详解】解：（1）时，，
令得得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
时，对恒成立.
所以在单调递增，故.
（2）由，
令，则，
因为,显然，所以在上单调递增,
显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．
（3）当时，，，
假设函数存在“中值伴侣切线”.
设是曲线上的不同两点，且，
则，. 故直线AB的斜率：
曲线在点处的切线斜率：
=
依题意得
化简可得 ，
即.
设 ()，上式化为,由（2）知时，恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立. 所以函数不存在“中值伴侣切线” .
19．(1)；
(2)，证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据麦克劳林公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）令，则，，，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故.
（2）结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
（3）由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.