山东省枣庄市第三中学2023-2024学年高二下学期4月质量检测考试数学试题（解析版）

枣庄三中2023~2024学年度高二年级4月份质量检测考试
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名 考号 班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.
第I卷（共58分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，有且只有一个选项符合题目要求.
1．已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
2．下列结论中正确的是（　 ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
4．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A． B． C． D．
5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
7．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．所有可能的方法有种
B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
10．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A．的值域为
B．时，恒有极值点
C．恒有零点
D．对于恒成立
第II卷（共92分）
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上）
12．函数在区间上的值域为 .
13．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
四 解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
(1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a；
(2)当a＝1时，求函数的极值.
16．设函数过点.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)求函数在上的最大值和最小值
17．已知函数在时有极值0．
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
18．设函数.
(1)时，求的最小值；
(2)若在恒成立，求的取值范围.
19．已知.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.
1．C
【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.
【详解】分两类情况讨论：
第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；
第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），
由分类加法计数原理，所以所求个数为．
故选：C
2．B
【分析】运用求导法则求函数的导数．
【详解】A：是常数，所以，不正确；
B：，正确；
C：，不正确；
D：，不正确.
故选：B
3．C
【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果.
【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，
将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法，
根据乘法原理，共有种不同的排法.
故选：C
4．D
【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）
∴f′（x）|x=4= e2，
∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），
令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），
令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.
故选D．
5．C
【解析】利用导数求函数的极值点，再比较选项.
【详解】，当，；
当或时，．
故的极大值点与极小值点分别为，，
则，，所以．
故选：C
6．C
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选：C
7．C
【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
8．B
【分析】由题意可得对于恰有两个不等式的实根，等价于方程
对于恰有两个不等式的实根，令，可转化为与两个函数图象在有两个不同的交点，对求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.
【详解】若函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则对于恰有两个不等式的实根，
即对于恰有两个不等式的实根，
可得对于恰有两个不等式的实根，
令，
则与两个函数图象在有两个不同的交点，
，
由可得，由可得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以图象如图所示：
当时，，
当时，，
若与两个函数图象在有两个不同的交点，
由图知，
所以实数的取值范围是，
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9．BC
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
10．BD
【分析】根据题意可知性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.
对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；
对于B选项，函数为偶函数，，
令，可得或，如下图所示：
由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；
对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，
两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和，
则，所以，
取，，则，，
两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，
所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.
故选：BD.
【点睛】本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．BCD
【分析】令,则，求导数分析单调性即可求得；B选项由A选项即可判断B选项；C选项由)，根据方程有零点转化为两个方程的根的问题来判断；D选项，转化为，即可判断D选项；
【详解】对于：令，则，
当单调递增；
当单调递减.
，的值域不为，故A不正确；
对于：由选项可知，当时，是的极值点，故B正确；
对于C：有零点，即有根，
当时，与函数图象恒有交点，
当时，由选项A知；
且在上单增，在上单减，
当时，函数图象在第三象限与有交点，
当时，函数图象在第四象限与有交点，
与函数图象恒有交点，故C正确；
对于D：若，则，
(，令，，所以，故当时等号成立)，
当，则，故D正确.
故选：BCD.
12．
【分析】求出导函数，根据导函数的正负得出原函数的单调性即可求值域.
【详解】由题：，
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
，，
所以当时， 的最大值为，
最小值为，
函数在区间上的值域为.
故答案为：
【点睛】此题考查求函数值域，根据函数的导函数讨论单调性，得出函数的最大值和最小值，进而求出值域.
13．30
【分析】先分类排，再排，根据分步和分类计数原理得到结果.
【详解】当时，，，或，，共2种情况，
当时，，，或，，共2种情况，
当时，，，共1种情况，
所以的排列方法有5种方法，再排，有种方法，
所以不同的排列方法种数为种.
故答案为：30
【点睛】本题考查分步和分类计数原理，对于复杂一些的应用习题，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决问题，属于中档题型.
14．0或1
【分析】直线与的切点为，与的切点，因直线公切线，故可得两个切点横坐标满足的方程组，解这个方程组可得切点的横坐标的值，从而求出．
【详解】直线与的切点为，与的切点．
故且，消去得到，
故或，故或，故切线为或，所以或者．填或．
【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题，应根据两个函数在切点出的斜率相等且两个切点的连线的斜率就是其中一个切点处切线的斜率来构建关于切点横坐标的方程组．
15．(1)
(2)极小值1，无极大值
【分析】（1）根据导数的几何意义，，求；
（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.
【详解】（1），
由导数的几何意义可知，，即，得.
（2）当时，，
，，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
16．(1)单调递增区间为，；单调递减区间为；极大值为，极小值为
(2)，
【分析】（1）由已知求出，代入得出，求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，根据函数的单调性，即可得出函数的极值；
（2）根据（1）的结论得出函数在上的单调区间，求出函数的极值以及区间端点值，即可得出函数的最值.
【详解】（1）由已知可得，，解得，
所以，.
由可得，或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，
所以在上单调递减.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.
又，，所以最大值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，检验所得a，b的值是否符合题意，从而得解析式；
（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.
【详解】（1）由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当，时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，
当，时满足题意，所以常数a，b的值分别为，，
所以．
（2）由（1）可知，
，
令，解得，，
∴当或时，，当时，，
∴的递增区间是和，单调递减区间为，
当时，有极大值；当时，有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得．
18．(1)
(2)
【分析】(1)把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.
【详解】（1）当时，，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值.
（2），
令，则，
①当时，,函数在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，，满足题意；
②当时，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增
当时，即，在单调递减，
所以,与恒成立矛盾，故不符合题意.
综上可得,的范围为.
【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性
19．（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解；
（2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解；
（3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值，，解得，
当时，.
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，函数在处取得极小值；
（2），
，
令，则或，
①当时，令可得，
∴函数的单调递增区间为；
②当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
③当时，在上恒成立，
∴函数的单调递增区间为；
④当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
（3），，
，，
整理可得，
令，，
，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，取得极小值即最小值为，
即，
解得（舍去）或，
的取值范围为.
【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.