导数及其应用

例谈高考数学常考、易错、失分点--导数篇
例23、函数 的导数为 。
【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。
解析：
.
【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。
[适用性练习]
（1）设是函数的一个极值点。
（1）求与的关系式（用表示）答案：.
（2）y=ln（x＋）
答案: y′=·（x＋）′=（1＋）=.
【易错点23】关导数的几何意义(还有一个易错题)
例24、曲线在点处的切线方程为 。
【易错点诊断】此题易由，从而得到以A点为切点的切线的斜率为3，即所求切线方程为的错误结果，事实上要注意到点A不在曲线S上。
解析：设过点A的切线与曲线S切于点处，由于由导数的几何意义可知切线的斜率①，又由两点连线的斜率公式知②，联立①②得，从而切线的斜率=-9，故切线方程为。
【迷津指点】在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否在曲线上，若此点在曲线上，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不在曲线上，则需按照上述方法即应先设切点，再求斜率，写出直线的方程的方法解答。特别的若涉及到直线与圆锥曲线相切一类问题除可采用导数知识解答外，还可采用代数方法即应用判别式的方法来解答，这一类巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
【适用性练习】
（1）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（） （A） （B） （C） （D）
解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且
于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得
＝0或－4，代入可验正D正确。选D
（2）曲线在点处的切线方程是
（A） （B） （C） （D）
解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.
（3）已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程.
解:∵ P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, ,
∴过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4）
时,设切点为,则,又(),
∴,即,
又,∴,
即,,
,,又
∴∴切点为,∴过点P（2，4）的切线方程为.
综合得过点P（2，4）的切线方程为或.
【易错点24】有关函数的单调区间
例25、已知函数 ，求函数单调区间。
【易错点诊断】求函数的单调区间要树立定义域优先的原则，本题易由得出函数为单调递增函数的错误结论。
解析：据解析式可知函数定义域为，由于,故函数在和上分别为增函数.
【迷津指点】单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
【适用性练习】
（1）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。
答案:当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
（2）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
解：（I），则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解,又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1【易错点25】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。
例26、已知函数上是减函数，求a的取值范围。
【易错点诊断】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。
解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。
【迷津指点】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。
【适用性练习】
（1）设为实数，函数在上是增函数，求的取值范围。
解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2.
(ⅰ)若△=12－8a2,即时恒有即f(x)在(－∞,+∞)为增函数.
(ⅱ) △12－8a2>0,即－（2）是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？
答案：。（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。）
（3）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（ ）
A． f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）
C. f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）
解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数或常数函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数或常数函数，故当函数为常数函数函数时f（0）＋f（2）=2f（1）,当函数为非常数函数时易知f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）>f（1），f（2）>（1），此时f（0）＋f（2）>2f（1）,故有f（0）＋f（2）2f（1）,选C(此题易误选D)
（4）已知函数f(x) = 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。
提示:错误的主要原因是由于对于函数f(x)在D上单调递增（或递减）的充要条件是
f1(x)(或f1(x))且f1(x)在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a=时fl(x)=0在
(-2,+ )恒成立，所以不符合题意，所以舍去。答案:
【易错点26】有关函数的极值与最值
例27、函数在时有极值10，则的值为 。
【易错点诊断】要明确函数的极值与导数对应的方程的根之间的关系，即＝0是为极值点的必要而不充分条件，检验这一步骤必不可少。
解析：，由于当时函数取得极值10，故必有①；②;联立①②得或，但当时，，此时，此时虽有，但由极值定义可知当时函数值不是极值，故。
【迷津指点】是极值点的充要条件是点两侧导数异号，即若在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
【适用性练习】
①已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=－1,
①试求常数a、b、c的值；
②试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.
答案:（1）a=,b=0,c=－.（2）∴x=－1时，f（x）有极大值；x=1时,f（x）有极小值.
②函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（ ）
A、x=2 B、x=－1 C、x=1或－1或0 D、x=0(答案:D)
③函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。
④函数当时。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 （ ）
A. 有极大值B. 有极小值C.即无极大值，也无极小值D.无法判断
解析：，函数都单调递增，所以不是极值点.答案:C
⑤函数在处有极值10, 则点为 （ ）
A. B. C. 或 D.不存在
⑤.答案:B;解析:据题意知或,但当时,函数在处不存在极值.