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矩形的判定与性质重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。
【经典例题一 矩形的性质理解】
【例1】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
【变式训练】
1．已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．如图，把一块含有角的直角三角板放在长方形纸片上，三角板的斜边与重合，三角板的顶点落在边上，，则的值为 ．
3．如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【经典例题二 利用矩形的性质求角度】
【例2】（2022下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【变式训练】
1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
3．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．
【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】
【例3】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，为边上一点，且有连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，在运动过程中，点D到点O的最大距离是 ．
3．在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
【经典例题四 根据矩形的性质求面积】
【例4】（2020·江苏·九年级专题练习）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
【变式训练】
1．如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
3．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若菱形的面积是10，请求出矩形的面积．
【经典例题五 利用矩形的性质证明】
【例5】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
【变式训练】
1．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
2．如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，．下列结论：
①；②；③；④若平分，则．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号） ．
3．如图，矩形的对角线交于点O， 于M．
(1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为N，连接、（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)补全推理过程：
在矩形中
∵，
∴
∵，
∴
即 ，
∴ ；
在 和中，
∴
∴四边形为平行四边形（ ）．
【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】
【例6】（2023下·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）．
(1)直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）；
(2)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围；
(3)点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．
【经典例题七 矩形与折叠问题】
【例7】（2023上·江西上饶·七年级统考期末）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
2．如图，M为矩形纸片的边上的一点，将纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线上的点处，点B落在点处，折痕为．若，则的长为 ．
3．四边形是平行四边形，点H在线段上，连接，将沿直线折叠得到 （点C与点F是对应点），点F恰好落在线段上，的周长为60，的周长为20．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
【经典例题八 矩形的判定定理理解】
【例8】（2023下·四川广安·八年级校考期中）下列能够判断四边形是矩形的是（ ）
A．两组对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等
【变式训练】
1．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面某学习小组拟定的测量方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形的三个角是否都为直角
2．以下说法中正确的是 （填序号）
①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形
⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形
3．如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．
【经典例题九 添一个条件使四边形是矩形】
【例9】（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．下列条件中，能判定是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．E，F，G，H是四边形四边的中点，把E，F，G，H顺次连接起来，要使四边形成为矩形，则对四边形还需添加的条件是 ．
3．如图，已知和的边、在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，连接、、，当 时，四边形是矩形．
【经典例题十 证明四边形是矩形】
【例10】（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在中，，是上两点，，连接，，，后得到四边形．下列条件中，不能使四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
2．（2023上·福建宁德·九年级统考期末）如图，矩形中，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当的对应边恰好经过点D时，连接，则 ．
3．（2024上·全国·九年级专题练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】
【例11】（2023下·江苏·八年级期末）如图，在正方形中，，则等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【变式训练】
1．（2021·河北唐山·统考二模）将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（ ）
A．或 B．或 C． D．
2（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．
3．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．
【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】
【例12】（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
【变式训练】
1．（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
3．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】
【例13】（2023上·四川达州·九年级统考阶段练习）如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．14 C．48 D．25
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( )
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积
2．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于 ．
3．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
【拓展培优】
1．方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．如图，在矩形中，是的中点，沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为 ．
8．如图，在矩形中，，点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为 ．
9．如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是 ．
10．如图，矩形，平分线交于点E，连接，过点A作的延长线于点F，连接，，，则的长为 ．
11．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求四边形的面积．
12．如图， 中，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，延长至点，使，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
13．如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，
(1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长；
(2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由；
(3)求点相应运动的路径长．
14．如图1，长方形纸片（），点O位于边上，点E位于边上，将纸片沿折叠，点C、D的对应点分别为点．
(1)当点与点A重合时，如图2，如果，，连接，求的周长；
(2)如果点F位于边上，将纸片沿折叠，点B的对应点为点．
①当点恰好落在线段上时，如图3，求的度数；
②当时，直接写出的度数．
15．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．中小学教育资源及组卷应用平台
矩形的判定与性质重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 矩形的性质理解
题型二 利用矩形的性质求角度
题型三 根据矩形的性质求线段长
题型四 根据矩形的性质求面积
题型五 利用矩形的性质证明
题型六 求矩形在坐标系中的坐标
题型七 矩形与折叠问题
题型八 矩形的判定定理理解
题型九 添一个条件使四边形是矩形
题型十 证明四边形是矩形
题型十一 根据矩形的性质与判定求角度
题型十二 根据矩形的性质与判定求线段长
题型十三 根据矩形的性质与判定求面积
【知识梳理】
知识点1：矩形的概念与性质
概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：（1）矩形的对边平行且相等；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
知识点3：矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三各直角的四边形是矩形。
【经典例题一 矩形的性质理解】
【例1】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A．22cm和26cm B．22cm和24cm C．26cm D．22cm
【答案】A
【分析】利用角平分线得到，矩形对边平行得到，进而得到，再得到，那么根据的不同情况得到矩形的各个边长，进而求其周长，分如图1和图2两种情况分别讨论求解即可．
【详解】解：如图1，∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
如图2，∵平分，
，
，
，
，
，
∴矩形的周长，
综上所述，矩形的周长为22cm或26cm，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和等腰三角形的判定，正确的进行分情况讨论是解本题的关键．
【变式训练】
1．已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案．
【详解】解：连接，
∵矩形中，，
∴， ，
∴，，
∵，
即：，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，把一块含有角的直角三角板放在长方形纸片上，三角板的斜边与重合，三角板的顶点落在边上，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键；
根据矩形的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】把一块含有30°角的直角三角板放在长方形纸片上，
，
，，
，
，即
故答案为：2．
3．如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理，
（1）根据四边形是矩形得到平行的边以及相等的角度，然后证明两个三角形全等，然后根据一组对边平行且相等可得到结果；
（2）先根据勾股定理得到斜边长，再根据三角形的面积可得到结果．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
又，，
∴，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
答：的长为．
【经典例题二 利用矩形的性质求角度】
【例2】（2022下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：C
2．矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，当为锐角时，设，则，利用直角三角形两个锐角互余即可求解；当为钝角时，证明，推出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）如图，当为锐角时，
矩形中，，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，即；
（2）如图，当为钝角时，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又矩形中，，
，
是等边三角形，
，
，
综上可知，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，注意分情况讨论是解题的关键．
3．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．
【答案】
【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出．
【详解】解：四边形是矩形，平分，
，
．
又，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】
【例3】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在矩形中，是的中点，为边上一点，且有连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，过点作于点，根据矩形的性质可得，由可得，进而利用含度角的直角三角形求出，然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，过点作于点，
在矩形中，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确得出三角形是等边三角形是解题的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等结合得出三角形是等边三角形，最后在中运用勾股定理，建立方程即可．
【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
∴
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
故选：A．
2．如图，，矩形的顶点分别在边上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状大小保持不变，其中，在运动过程中，点D到点O的最大距离是 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定过点E时，点D到点O的距离最大．取的中点E，连接、、，根据直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理求出，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当过点E时，点D到点O的距离最大．
【详解】解：如图，取的中点E，连接、、，
∵，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系，，
∴当过点E时，等号成立，的值最大，最大值为．
故答案为：．
3．在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，只要证明（）即可．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，中点的定义，解题关键在于证明
【经典例题四 根据矩形的性质求面积】
【例4】（2020·江苏·九年级专题练习）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
由矩形的性质可证明，即可求解．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：C．
【变式训练】
1．如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，
∵以为底边，以为底边，
∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积；
同理可得出矩形面积；
∴②正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，．
但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立．
故①不一定正确；
③若，只能得出与高度之比，不一定等于；
故此选项错误；
∵；若，则，
∴④正确．
故选：B．
2．如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答
【详解】解：连接，
，
又，，
同理
，
又，，
，
故答案为：40
3．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若菱形的面积是10，请求出矩形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，矩形的性质和判定．
（1）根据菱形的性质，可得，，由可证四边形为平行四边形，再由，即可证明结论；
（2）根据菱形的面积公式可得到，再根据矩形的面积，菱形的性质即可求出矩形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形；
（2）∵菱形的面积是10，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为5．
【经典例题五 利用矩形的性质证明】
【例5】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③
【答案】A
【分析】①证明，是等腰直角三角形，即可说明；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为8；③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，证明．
【详解】解：①，，
，
又，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，故①正确；
②，，，
四边形为矩形，
四边形的周长，故②正确；
③点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，故③错误．
④四边形为矩形，
，，
正方形为轴对称图形，
，
，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出选项D错误．
【详解】在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选项B正确；不符合题意；
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
故选C正确，不符合题意；
由上述①、⑤、③可得、，，
，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
2．如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，．下列结论：
①；②；③；④若平分，则．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号） ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，直角三角形的特征；①由可判定，由全等三角形的性质得，可判定四边形是菱形，由菱形的性质即可判断；②由菱形的性质得，即可判断；③由，，即可判断；④由等腰三角形的性质得，由可求，由直角三角形的特征得，即可判断；掌握相关的判定方法及性质，能判定四边形是菱形是解题的关键．
【详解】解：①如图，
四边形是矩形，
，
，
，
垂直平分，
，
，
在和中
，
（），
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
；
故①正确；
②由①得，
，
四边形是菱形，
，
，
故②正确；
③四边形是菱形，
，
，
，
，
故③错误；
④平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故④正确；
故答案：①②④．
3．如图，矩形的对角线交于点O， 于M．
(1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为N，连接、（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)补全推理过程：
在矩形中
∵，
∴
∵，
∴
即 ，
∴ ；
在 和中，
∴
∴四边形为平行四边形（ ）．
【答案】(1)见解析
(2)；；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】（1）利用垂线的基本作图，解答即可；
（2）根据矩形的性质，垂直的定义，三角形的全等判定和性质，根据平行四边形的判定方法证明即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和矩形的性质．
【详解】（1）解：根据垂线的基本作图，画图如下：
则为所求 ．
（2）在矩形中
∵，
∴
∵，
∴
即，
∴；
在 和中，
∴
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：；；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】
【例6】（2023下·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，
∵，
∴点的横坐标与点相同，为，
点的纵坐标与点相同，为，
∴点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题．
【变式训练】
1．我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，并且、两点的坐标分别为和，边的长为，若固定边，“推”矩形得到平行四边形，并使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形与平行四边形的性质，勾股定理；根据勾股定理，可得，根据平行四边形的性质，可得答案.
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
矩形的边在轴上，
四边形是平行四边形，
与的纵坐标相等，
，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ．
【答案】（，）
【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∵AC∥x轴，
∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，
∵AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴OA＝OC＝3，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝OD＝，
∴点A的坐标是（，）；
故答案为：（，）．
【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）．
(1)直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）；
(2)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围；
(3)点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)．
(3)存在，秒和秒
【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质；
（1）根据题意即可得到结论；
（2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论；
（3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，轴，轴
∴，，
（2）当点P在线段BA上时，
由，，可得：，
，，
；
当点在线段上时，
点走过的路程．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点在线段上时
，
，
解得：，
当点在线段上时，
，
解得：，
综上所述：当为秒和秒时．
【经典例题七 矩形与折叠问题】
【例7】（2023上·江西上饶·七年级统考期末）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据折叠的性质列式，解之可得答案．
本题考查了长方形，折叠．解决问题的关键是熟练掌握长方形的性质，折叠的性质，设未知数数构建方程．
【详解】设，则,
由折叠知，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
【变式训练】
1．如图，在矩形中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，由矩形的性质得出，由折叠的性质得：，，由等腰三角形的判定与性质得出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：四边形为矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
故选：A．
2．如图，M为矩形纸片的边上的一点，将纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠矩形纸片，使点A恰好落在直线上的点处，点B落在点处，折痕为．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形和折叠问题，平行线的性质，等腰三角形的判定，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，最后求出结果即可．
【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
由四边形折叠得到四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
∵，
∴，
故答案为：．
3．四边形是平行四边形，点H在线段上，连接，将沿直线折叠得到 （点C与点F是对应点），点F恰好落在线段上，的周长为60，的周长为20．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题综合考查了四边形的翻折问题，平行四边形的性质，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相关性质，翻折的特征，以及利用勾股定理是解题的关键．
（1）利用的周长为60，的周长为20，即，，然后利用平行四边形对边相等即可求解；
（2）第（1）问已求出，设，在中，应用勾股定理即可求解；
（3）第（1）问已求出，过点作延长线于点，过作于点，然后在和中，应用勾股定理即可求解；
【详解】（1） 将沿直线折叠得到，点F恰好落在线段上，
，，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为60，的周长为20，
，，
又 ，，
，
，
，
．
（2） 将沿直线折叠得到，点F恰好落在线段上，
第（1）问已求出，设，
，，
的周长为20，即，
，
，
在中，应用勾股定理得，
，即，
解得，
．
（3）过点作延长线于点，过作于点，如图所示，
设，则，
的周长为20，即，又，
，
第（1）问已求，
，
，
，，
，，
在中，应用勾股定理得：，
即，
解得．
设，则，
，四边形是平行四边形，
在中，，
，，
，
，
在中，应用勾股定理得，
，即，
解得．
．
【经典例题八 矩形的判定定理理解】
【例8】（2023下·四川广安·八年级校考期中）下列能够判断四边形是矩形的是（ ）
A．两组对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分且相等
【答案】D
【分析】根据矩形的判定逐项判断即可得到结论．
【详解】、两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
、对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件.
【变式训练】
1．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形，下面某学习小组拟定的测量方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形的三个角是否都为直角
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理逐一判断即可求解，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、测量对角线是否互相平分，只能判定四边形门框是不是平行四边形，不能判断是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、测量两组对边是否分别相等，只能判定四边形门框是不是平行四边形，不能判断是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、测量一组对角是否都为直角，无法判断一个四边形门框是不是矩形，该测量方案不正确，不合题意；
、三个角是直角的四边形是矩形，故测量四边形的三个角是否都为直角能判断一个四边形门框是不是矩形，符合题意；
故选：．
2．以下说法中正确的是 （填序号）
①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形
②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形
③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形
⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形
【答案】⑥
【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断．
【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意；
②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意；
③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意；
④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意；
⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意；
⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意；
故答案为：⑥．
【点睛】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键．
3．如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是矩形；理由见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，
（1）利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形是平行四边形，进而得到；
（2）先确定当时，四边形是矩形，从而得的值．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：当时，四边形是矩形；理由如下：
当时，即当时，四边形是矩形，
，
，
当时，四边形是矩形．
【经典例题九 添一个条件使四边形是矩形】
【例9】（2023下·河南商丘·八年级统考期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，，
四边形是矩形，故A不符合题意；
，
，
∵，，
四边形是矩形，故B不符合题意；
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，故C不符合题意；
，
，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．下列条件中，能判定是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵中，，
∴是矩形，故选项A符合题意；
B、中，，不能判定是矩形，故选项B不符合题意；
C、中，，不能判定是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵中，，
∴是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
2．E，F，G，H是四边形四边的中点，把E，F，G，H顺次连接起来，要使四边形成为矩形，则对四边形还需添加的条件是 ．
【答案】
【分析】由三角形中位线定理得出，，，，同理：，因此且；即可得四边形是平行四边形；由矩形的性质得出，由，，得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵E，F，G，H是四边形四边的中点，
∴，，，，同理：，
∴且；
∴四边形是平行四边形．
若四边形成为矩形，则，
∵，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、矩形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
3．如图，已知和的边、在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，连接、、，当 时，四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出，然后由证明即可；
（2）由勾股定理得，证明，可得，当时，，可得，则四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是矩形，然后由三角形面积求出的长即可．
【详解】（1）证明：，
∴，
在和中，，
；
（2）解：，，，
，
由（1）可知，，
，
在和中，，
，
，，
∴当时，，
∴，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
此时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定、平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【经典例题十 证明四边形是矩形】
【例10】（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在中，，是上两点，，连接，，，后得到四边形．下列条件中，不能使四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【变式训练】
1．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
【答案】C
【分析】本题考查了七巧板的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据七巧板的拼法进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
由图可得，七巧板既能拼成长方形，也能拼成平行四边形，
故选：C．
2．（2023上·福建宁德·九年级统考期末）如图，矩形中，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当的对应边恰好经过点D时，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，作于H，于Q，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于H，于Q，
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转得，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为： ．
3．（2024上·全国·九年级专题练习）如图，中，点是边上一个动点，过作直线．设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点在边上运动到中点
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；
（2）根据已知得出，进而利用勾股定理求出的长，即可得出的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】（1）证明：∵交的平分线于点，交的外角平分线于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，即是边上的中线，
∴；
（3）解：点在边上运动到中点时，四边形是矩形．
证明：连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定，直角三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据已知得出是解题关键．
【经典例题十一 根据矩形的性质与判定求角度】
【例11】（2023下·江苏·八年级期末）如图，在正方形中，，则等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】B
【分析】作于F，证明，得到，利用进行求解即可．
【详解】解：作于F，
又四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2021·河北唐山·统考二模）将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC=GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM=BH=，
∴GM垂直平分AD，
∴GD=GA=DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=60°，
∴旋转角α=360°-60°=300°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
2（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．
【答案】或或
【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，
∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，
当点在的延长线上时，如图所示，则
当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴
即是直角三角形，
综上所述，旋转角的度数为或或
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，四边形的对角线、相交于点O，其中，，，E为上一点，连接、．平分，且，求的度数．
【答案】
【分析】先证明四边形是矩形，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，进而得到，最后利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
平行四边形是矩形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求线段长】
【例12】（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，，则的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形为矩形是解题关键．结合题意及菱形的性质，证明四边形为矩形，再在中利用勾股定理解得，然后根据矩形的性质“矩形的对角线相等”，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴平行四边形为矩形，
∴．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故答案为：．
3．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理即可求出的长．
此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，是的平分线，
∴，
∴，
∵是外角的平分线，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求面积】
【例13】（2023上·四川达州·九年级统考阶段练习）如图，矩形的两条对角线相交于点，，，若，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．14 C．48 D．25
【答案】A
【分析】根据矩形的性质可得，根据题意可得四边形是菱形，证明四边形是平行四边形，得出，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
【详解】解： ∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
连接，则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的面积为：．
故选：A
【点睛】本题考查矩形的性质和菱形的判定及性质，掌握以上知识是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道( )
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积
【答案】C
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到
2．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在矩形中，点为对角线上一点，过点作交于点，，作交于点，连接，已知，则的面积等于 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，再根据矩形对角线平分矩形面积推出，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：8．
3．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，．
(1)求证：四边形是矩形：
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证；
（2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可．
【详解】（1）证明：，
，，
又平分，平分，
，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
四边形是矩形；
（2）由（1）知，四边形是矩形，
∴，
又∵为的平分线
四边形的面积=．
【拓展培优】
1．方形纸带中，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、图形的折叠，理解掌握翻折的特征是解题的关键．
由长方形得，，即，可得，由于折叠，图2中的，由于折叠，图3中的．
【详解】解：如图1，由长方形得，，即，
，
由于折叠，图2中的，
由于折叠，图3中的，
故选：B．
2．如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
3．如图，在矩形中，是的中点，沿直线折叠后得到，延长交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中， ，
∴，
解得，
∴，
故选：．
4．如图，矩形，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F．若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质，首先过点E作与M，交于N，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【详解】解：如图，过点E作与M，交于N，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．如图，，，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是矩形，可得，当最小，即时，最小，然后利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出此时的值即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，最小，
∵，，，
∴，
∵当时，最小，此时，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故选：B．
6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．
【详解】解：∵垂直且平分线段，
∴，
∵四边形是矩形，对角线与相交于点，，
∴，
∴，
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，的值为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求出的坐标是解题的关键．
根据题意，得出，勾股定理求得，即可求解，
【详解】解：连接、，
∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形，
，
，
依题意，，
，则，
，
，
，
故答案为：30．
8．如图，在矩形中，，点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．
【详解】解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：
．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
9．如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是 ．
【答案】或或
【分析】此题考查了矩形的折叠问题，分三种情况画出图形，根据矩形的性质、折叠的性质、等角对等边、勾股定理等知识进行解答即可．
【详解】解：当点落在的延长线上时，设，
，，，
∴
，
，
在中，，
，
解得，
；
当点落在的延长线上时，则，
当点落在的延长线上时，
∵
∴
∵关于直线对称的三角形记作，
∴
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或或．
10．如图，矩形，平分线交于点E，连接，过点A作的延长线于点F，连接，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点D作于M，由“”可证，可得，由三角形的面积公式可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】如图，过点D作于M，
∵四边形是矩形
∴，
∵平分
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，且，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
11．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证；
（2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积是：．
12．如图， 中，为边的中点，连接并延长交的延长线于点，延长至点，使，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
（）由平行四边形的性质推出，根据平行线的性质推出，利用即可判定；
（）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是矩形．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
13．如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，
(1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长；
(2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由；
(3)求点相应运动的路径长．
【答案】(1)
(2)的面积有最小值2，
(3)点相应运动的路径长为
【分析】（1）运用矩形性质和翻折性质得出：，再利用勾股定理即可求得答案；
（2）由，可知当，即时，，取得最小值2，再利用矩形性质即可求出答案；
（3）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：的面积有最小值2，此时．
如图2，，
当，即时，，
取得最小值2，
此时，，
∴四边形是矩形，
∴；
（3）解：如图3，当点与重合时，
由折叠得，
∵
∴
∴
∴，
设，
则，
在中，则有，
解得，
∴，
如图4中，当点运动到时，的值最大，
，
如图5中，当点运动到点落在时，（即），
∴点的运动轨迹，
运动路径．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是探究出点E的运动轨迹，运用勾股定理解决问题．
14．如图1，长方形纸片（），点O位于边上，点E位于边上，将纸片沿折叠，点C、D的对应点分别为点．
(1)当点与点A重合时，如图2，如果，，连接，求的周长；
(2)如果点F位于边上，将纸片沿折叠，点B的对应点为点．
①当点恰好落在线段上时，如图3，求的度数；
②当时，直接写出的度数．
【答案】(1)20；
(2)①；②或．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）①利用角平分线的定义以及平角的性质解决问题即可；②分两种情形，分别画出图形，利用角平分线的定义，平角的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：如图2中，点与点A重合时，
由翻折的性质可知，，
∴，
∴的周长．
（2）由翻折的性质可知，，，
∵，
∴．
②如图，当值的下方时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
如图，当在的上方时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，角平分线的定义，平角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长．
【详解】（1）解：由折叠可知，，，，
∴，点是中点，
过点作于点，交于点，如图①所示：
∵，
，
∴由折叠可知：，
∴，
∴完美矩形的面积为：；
（2）解：由折叠可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
（3）解：连接，如图所示：
由折叠可得：点和分别是和的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长．
