2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题

2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题
一、选择题
1．（2024七下·凤翔月考）定义一种新运算，那么的运算结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023八上·栾城期中）定义新运算：且，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2023七上·南宁期中）定义一种新运算：，则的值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
4．（2023九上·永州月考）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，随增大而增大 B．该函数图象经过点
C．该函数图象位于第一、三象限 D．当时，
5． 定义新运算： 例如 ， 则 的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·高州月考）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七上·赵县月考）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·通川期末）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．（2023七下·江津期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（　　）
①；
②；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2022九上·江北期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时， min{a，b}=b；当a-1，则关于y的函数下面说法错误的是（　　）.
A．若m=1，则当y≤-2时，则x≤-3或x≥3
B．当函数图象经过(0，)时，该函数图象的最高点的坐标为(，)
C．(，y1) (，y2)是函数图象上的两点，则y1>y2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5
12．（2024七下·邵东月考）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
13．（2022七上·晋州期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中，是使为奇数的正整数），，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：若，则第2023次“”运算的结果是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．48
14．（2024·德阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023·永川模拟） 定义：如果代数式是常数与是常数，满足，，，则称这两个代数式与互为“同心式”，下列四个结论：
代数式：的“同心式”为；
若与互为“同心式”，则的值为；
当时，无论取何值时，“同心式”与的值始终互为相反数；
若、互为“同心式”，且，则有两个相等的实数根．
其中，正确的结论有个．（　　）
A． B． C． D．
16．（2023九下·沙坪坝月考）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（　　）
①若，，则的值为-1；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
17．（2022七上·乐清期中） 如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：　 　．
（2）若m，n都是“英华数”，且m+n=100，则　 　．
18．（2021七下·奉化期末）对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）.例如： ， .当 ， ，则 　 　；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ， 满足的关系式是　 　.
19．（2023七下·蜀山期中）对实数、 ，定义运算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.计算[2☆( )][( )☆()]= 　 　
20．（2024七上·锦江期末）定义：是以、、为系数的二次多项式，即，其中、、均为实数例如、．
当时，求　 　；
若，求　 　．
三、解答题
21．（2024八上·遵义期末）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形——筝形．
定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形．
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是　 　；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看：　 　；
从对角线看：　 　．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看：　 　；
如图，四边形中，　 　．求证：四边形是筝形．
应用：如图，探索筝形的面积公式　 　（直接写出结论）．
22．（2024七上·隆回期末）已如有理数，定义为a的差倒数，如的差倒数为．
（1）的差倒数为　 　；
（2）如果，是的差倒数．是的差倒数……，依此类推．求的值．
23．（2023八上·邛崃月考）对于整数n，定义[ ]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．
（1）直接写出[]的值；
（2）显然，当[]＝1时，n＝1，2或3．
①当[]＝2时，直接写出满足条件的n的值；
②当[]＝10时，求满足条件的n的个数；
（3）对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①对25进行 ▲ 次操作后变为2；
②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．
24．（2024七上·杭州月考）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝－1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．
（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．
①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为 ；
②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；
（2）在该数轴上，点C表示的数为－m，点D表示的数为－m＋3，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，直接写出m的最大值与最小值．
25．（2023八上·长沙开学考）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
（1）的“青一区间”是　 　；的“青一区间”是　 　；
（2）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”．
26．（2023九上·北京市开学考）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是．
根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；
（2）点，的矩形域重叠部分面积为，则的值为　 　 ．
27．（2023七下·宣汉期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：．
（1）填空：　 　；　 　．
（2）填空：①　 　；②　 　．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知（x，y为实数），求x、y的值．
28．（2017·枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（Ⅰ）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（Ⅱ）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（Ⅲ）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据新运算的定义直接计算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据新运算先进行括号内的计算即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： ∵，
∴(1&4)&(-1)=(1×4+1-4)&(-1)=1&(-1)=4×1×（-1）-（-1）2=-5.
故答案为：D.
【分析】由新运算法则得1&4=1×4+1-4=1，再计算1&（-1）=4×1×（-1）-（-1）2=-5.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A．当 x <0时， y 随 x 增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；
B．当 x =2时， y =-1， 该函数图象不经过点 ，故本选项不符合题意；
C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
D．当-2< x <-1时，1< y <2，故本选项不符合题意；
故答案为： A .
【分析】根据新运算“”的运算方式，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新运算可得：
可知图像是反比例函数的图象，当x＞0时，函数图象经过第一象限，当x＜0时，函数图象经过第三象限；
故答案为：D.
【分析】根据新运算的规则，可以列出两个解析式，属于反比例函数，根据x的取值得出图像的特征.
6．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故答案为：D．
【分析】根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
7．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：A
【分析】本题考查新定义和有理数的混合运算，熟悉有理数的加减乘除法则是解题重点。根据新定义，得出运算过程，仔细计算即可。
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：
当3＞x+2时，即x＜1，
3（x+2）+（x+2）＞0，
解得：x＞-2，
∴-2＜x＜1，
当3＜x+2时，即x＞1，
3（x+2）-（x+2）＞0，
解得：x＞-2，
∴x＞1，
综上可知：-2＜x＜1或x＞-2，
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当3＞x+2和3＜x+2，利用新运算分别列出不等式并求解即可.
9．【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据数轴可知：c∴，
故①正确；
∵，
，
∴，
∴②正确；
∵a+b+c<0，
∴，
∴a+b+c-（a+b+c）=0
∴a+b+c+=0，
∴③正确；
∵运算结果为，
∴c不能加新运算，
∴，，
∴不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，
∴④不正确；
故正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】结合数轴，再利用绝对值的性质逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
11．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：当x+1≥-x+m时，即x≥时，y=-x+m，
当x+1＜-x+m时，即x＜时，y=x+1，
∴y=，
A、 若m=1，则y=，
当x≥0时，y=-x+1，y≤2，即-x+1≤2，解得x≥3，
当x＜0时，y=x+1，y≤-2，即x+1≤-2，解得x≤-3，
∴ 当y≤-2时，则x≤-3或x≥3 ，故此项正确；
B、当x≥时，该图像经过(0，) ，
∴y=-0+m=，解得m=，
∴y=，
当-x+=x+1是，即x=时，函数有最大值，此时y=，
∴该函数图象的最高点的坐标为(，) ，故此项正确；
C、∵ (，y1) (，y2)是函数图象上的两点 ，
∴y1=，y2=，
∵y2-y1=-=＜0，
∴ y1>y2 ，故此项正确；
D、当≥1时，即x≥1，m≥3时，y=-x+m，此时y随x的增大而减小，
∴ 在1≤x≤2内，当x=1时y最大，
∴-1+m=3，解得m=4，符合题意；
当＜2时，即x≤2，m≤5时，y=x+1，此时y随x的增大而增大，
在1≤x≤2内，当x=2时y最大，此时2+1=3，等式成立，
∴ 当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=4或-1＜m≤5，故此项错误.
故答案为：D.
【分析】根据新定义可得y=，把m=1代入再根据函数的性质可哦判断A；把(0，) 代入y=-x+m中，再根据函数的性质判断B即可；先求出y2、y1的值，再求出y2-y1的值，即可判断C；分两种情况当≥1时和当＜2时，再根据函数的性质求解，再判断D即可.
12．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解： 点的坐标为，
点的友好点 的坐标为，即点 的坐标为（2，2），
点的友好点A3的坐标为，即点A3的坐标为（2，-1），
点A3的友好点A4的坐标为，即点A4的坐标为（-1，-1），
同理可得……，
每6个点的坐标为一个循环组依次循环，
2023÷6=337……1，
点的坐标为下一次循环的第一个点，
点的坐标为.
故答案为A.
【分析】根据对于点，把点叫做点的友好点，结合点A1的坐标，依次计算到点A6的坐标，得到坐标变化规律即可解答.
13．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意知，第一次“”运算的结果是：；
第二次“”运算的结果是：；
第三次“”运算的结果是：；
第四次“”运算的结果是：；
“”运算结果每四次一循环，
，
第2023次“”运算的结果是18，
故答案为：C．
【分析】分别求出第一次、第二次、第三次、第四次“”运算的结果，可得“”运算结果每四次一循环，继而求解即可.
14．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故答案为：C
【分析】①根据“倍增点”的定义，分别验证即可求解；②根据点A结合“倍增点”的定义列出方程，进而求出a即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”的定义列出方程，再根据一元二次方程根的判别式得出该方程根的情况，进而即可判断；④设点，根据“倍增点”的定义得到，再根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，进而即可求解。
15．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：代数式：的“同心式”为，故结论不正确，不符合题意；
若与互为“同心式”，则，，
，
，故结论不正确，不符合题意；
当时，，，
，，
，，
，
无论取何值时，“同心式”与的值始终互为相反数，故结论正确，符合题意；
、互为“同心式”，
，，，
，
，
，
有两个相等的实数根，故结论正确，符合题意．
故选：．
【分析】根据“同心式”的定义判断（1）即可；再利用“同心式”的定义求出m，n的值，再求出的值即可；利用“同心式”的定义求出，，可得；再利用根的判别式判断（4）即可.
16．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵，，
依题意
解得：，，
∴，故①正确；
②的方程与的解相同，即与的解相同，
∴
∴，故②正确；
③
∵的最小值为，
当
∴的最小值为1，
∴有最小值，且最小值为1.
当，有最大值，且最大值为1 .
故③不正确，
故答案为：C.
【分析】利用定义可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出（m+n）2023的值，可对①作出判断；利用已知可得到与的解相同，据此可得到k的值，可对②作出判断；将A，B代入pA+qB，再进行变形，可得到pA+qB=，可推出其最小值为p-q，当p=q＞0时，可求出的最小值为1，此时A的最小值为1；当p-q＜0时，可知A的最大值为1，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
17．【答案】（1）9
（2）19
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为：9；
（2）∵ m，n都是“英华数”，且m+n=100 ，设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y），
∴.
故答案为：19.
【分析】（1）根据题干提供的信息直接计算即可；
（2）根据数字问题，分别表示出m、n，再根据（1）的计算方法及整式的加减法法则分别计算 与，再求和即可.
18．【答案】；n=-3m
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：①根据题意得， ，
，
整理得： ，解得： ，
则
，
②由 得
，
整理得： ，
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，
即 ；
故答案为： ； .
【分析】根据新运算 的定义，可得方程组，求出m、n的值，即得结论；由 得，整理得 ，由于
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，可得3m+n=0，即得结论.
19．【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】
[2☆( )][( )☆()] =
【分析】本题考查定义运算和有理数的乘方运算。根据新定义，注意判断使用哪个公式，列出算式，进行计算。
20．【答案】-59；-6
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解：①Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，-1，﹣1]＝（x2+x+1）×（﹣x2﹣x﹣1）＝﹣（x2+x+1）2，
当x＝2时，原式＝﹣（x2+x+1）2＝﹣（22+2+1）2＝﹣49，
故答案为：﹣49；
②Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，-2]
＝（px2+qx﹣1）×（mx2+nx﹣2）
＝pmx4+（pn+qm）x3+（﹣2p+qn﹣m）x2+（﹣n﹣2q）x+2
＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
∴
（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）
＝8pm﹣4pn﹣4p﹣4qm+2qn+2q﹣2m+n+1
＝8pm﹣2（pn+qm）+2（﹣2p+qn﹣m）﹣（﹣n﹣2q）+1
＝8×2﹣4×1+2×（﹣10）﹣（﹣1）+1
＝16﹣4﹣20+1+1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】①根据定义式，直接代入计算即可；
②根据定义式，代入相乘后，比较系数可得p、q、m、n之间的关系，再把（4p-2q-1）（2m-n-1）展开并整理，最后整体代入求值。
21．【答案】其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；垂直平分于点，且；筝形面积为对角线乘积的一半．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形．
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： 筝形只有一组对角相等；
从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ；
如图，四边形中， 垂直平分于点，且．求证：四边形是筝形．
应用：如图，探索筝形的面积公式筝形面积为对角线乘积的一半（直接写出结论）．
故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；垂直平分于点，且；筝形面积为对角线乘积的一半。
【分析】根据四边形中的新定义问题，结合题意求解即可。
22．【答案】（1）
（2）解：，
由题意，得：，，，
∴每3个数一循环，，
∵，
∴
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：的差倒数为，
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出前几项中数据与序号的关系可得规律 每3个数一循环，， 再结合可得，再计算即可.
23．【答案】（1）解：[]＝3；
（2）解：①n＝4，5，6，7，8；
②当[]＝10时，可得，
∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴满足条件的n的个数为21
（3）解：①2；②设第三次操作为：[]＝2，则，∴，
∴设第二次操作为：[]＝8，则，∴，
∴设第一次操作为：[]＝80，则，∴，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵＜＜，
∴[]=3；
（2）①当=2时，≤＜，n=4，5，6，7，8；
②当=10时，≤＜，
n在100和120之间，此时n的个数为21；
（3）①25[]=5[5]=2；
②②设第三次操作为：[]＝2，则，∴，
∴设第二次操作为：[]＝8，则，∴，
∴设第一次操作为：[]＝80，则，∴，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．
【分析】（1）根据定义的新运算，求出值；
（2）①根据不大于n的最大整数，写出n的值；②根据不大于n的最大整数，写出满足n的个数；
（3）①根据题意，对25进行变化，计算变为2时的变化次数；②根据定义的新运算，由变化次数为3，推出m的最大值。
24．【答案】（1）解：①2；
②∵B点到OM的“闭距离”为3，
∴当m＜0时，m=2-3=-1，
当m＞0时，m-2=3，m=5，
∴m的值为-1或5.
（2）解：∵点C表示的数为-m，点D表示的数为-m+3，在线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，
∴当m＜0时，可得不等式组
，
解得：，
当m＞0时，可得不等式组
，
解得：，
综上所述，或；
∴最大值4，最小值是-2.5.
【知识点】定义新运算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可知，m=1时，A到OM的最大值为AM的长，
∵AM=|-1|+1=2，
∴点A与线段OM的“闭距离”为2，
故答案为：2.
【分析】（1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；
②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值；
（2）按照m的正负值分情况讨论，列出不等式，求解，即可得出最大值、最小值.
25．【答案】（1）；
（2）解：无理数的“青一区间”为，
，
，即，
的“青一区间”为，
，
，即，
，
，
为正整数，
或
当时，，
当时，，
的值为2或；
（3）解：，
，，
，
，
，
，，
两式相减，得，
，
的算术平方根为，
，
，
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵42＜17＜52，42＜23＜52，
∴4＜＜5，4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，
∴的“青一区间”是（4，5）；的“青一区间”是（-5，-4）；
故答案为：（4，5）；（-5，-4）；
【分析】（1）仿照题干中方法，根据定义求解即可；
（2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的范围，再求出正整数a的值，再代入 计算即可；
（3）先根据 ，， 得出，进而得出 ，， 两式相减可得， 再根据“青一区间”的定义即可求解.
26．【答案】（1）点的矩形域如图所示：该矩形域的面积是．
（2）的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）如图所示，红色矩形框是可能的点Q的矩形域
在（1）的提示下，矩形的宽同为4，重合面积为1，说明重合部分的长为，
当时，点P的矩形域左边横坐标是，
则点Q的矩形域右边与点P的矩形域左边重合
解得
当时，点P的矩形域右边横坐标是
则点Q的矩形域左边与点P的矩形域右边重合
解得
故填： 或
【分析】（1）根据题中点A的矩形域定义，长为2，宽为4，面积为8；
（2）在（1）的基础上知矩形的宽为4，重合部分长度为，且重合的情况有2种，一种在P的矩形域的左侧，一种在右侧；故区分a的二种取值情况分别计算，依据的等量关系是P的矩形域的边的横坐标，加或减，就是Q的矩形域的边的横坐标（如图），因此找到矩形域的左、右边的横坐标表达式是本题关键，点的横坐标数即是矩形的长，又因为是矩形对角线中点，所以又是矩形边的中点，结合数轴可以很容易表达出矩形域的左右边的横坐标。
27．【答案】（1）；1
（2）10；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） = ； 1，
故答案为： ； 1
（2）① 9- 10
② 25+10 + 24+10
【分析】（1）根据 代入求出即可；
（2）①先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可；
②先根据完全平方公式展开，再代入求出即可；
（3）根据实数与虚数部分相等列出方程，求出方程的解即可求出X与Y的值。
28．【答案】解：（Ⅰ）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（Ⅱ）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（Ⅲ）F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（Ⅱ）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（Ⅲ）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
1 / 12024年中考数学考前20天终极冲刺专题之新定义问题
一、选择题
1．（2024七下·凤翔月考）定义一种新运算，那么的运算结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据新运算的定义直接计算即可求解.
2．（2023八上·栾城期中）定义新运算：且，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据新运算先进行括号内的计算即可求出答案.
3．（2023七上·南宁期中）定义一种新运算：，则的值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】定义新运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解： ∵，
∴(1&4)&(-1)=(1×4+1-4)&(-1)=1&(-1)=4×1×（-1）-（-1）2=-5.
故答案为：D.
【分析】由新运算法则得1&4=1×4+1-4=1，再计算1&（-1）=4×1×（-1）-（-1）2=-5.
4．（2023九上·永州月考）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，随增大而增大 B．该函数图象经过点
C．该函数图象位于第一、三象限 D．当时，
【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A．当 x <0时， y 随 x 增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；
B．当 x =2时， y =-1， 该函数图象不经过点 ，故本选项不符合题意；
C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
D．当-2< x <-1时，1< y <2，故本选项不符合题意；
故答案为： A .
【分析】根据新运算“”的运算方式，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可.
5． 定义新运算： 例如 ， 则 的图像可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新运算可得：
可知图像是反比例函数的图象，当x＞0时，函数图象经过第一象限，当x＜0时，函数图象经过第三象限；
故答案为：D.
【分析】根据新运算的规则，可以列出两个解析式，属于反比例函数，根据x的取值得出图像的特征.
6．（2024七下·高州月考）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故答案为：D．
【分析】根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
7．（2023七上·赵县月考）若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：A
【分析】本题考查新定义和有理数的混合运算，熟悉有理数的加减乘除法则是解题重点。根据新定义，得出运算过程，仔细计算即可。
8．（2023八下·通川期末）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：
当3＞x+2时，即x＜1，
3（x+2）+（x+2）＞0，
解得：x＞-2，
∴-2＜x＜1，
当3＜x+2时，即x＞1，
3（x+2）-（x+2）＞0，
解得：x＞-2，
∴x＞1，
综上可知：-2＜x＜1或x＞-2，
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当3＞x+2和3＜x+2，利用新运算分别列出不等式并求解即可.
9．（2023七下·江津期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（　　）
①；
②；
③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；
④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据数轴可知：c∴，
故①正确；
∵，
，
∴，
∴②正确；
∵a+b+c<0，
∴，
∴a+b+c-（a+b+c）=0
∴a+b+c+=0，
∴③正确；
∵运算结果为，
∴c不能加新运算，
∴，，
∴不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，
∴④不正确；
故正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】结合数轴，再利用绝对值的性质逐项判断即可。
10．（2023八下·涪陵期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：
①；②；③．
以上说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵18＞2，
∴①，所以①正确；
②∵1＜2，2＜3，3＜4，......99＜100，
∴，所以②正确；
③可分成两种情况：
（1）当a≥b时，
（2）当a＜b时，，
∴=丨a-b丨，所以③正确；
综上，以上说法正确的个数为3个。
故答案为：D.
【分析】根据定义新运算规则把式子转化成二次根式的运算，然后根据二次根式的运算法则分别进行运算，即可求得正确答案。
11．（2022九上·江北期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时， min{a，b}=b；当a-1，则关于y的函数下面说法错误的是（　　）.
A．若m=1，则当y≤-2时，则x≤-3或x≥3
B．当函数图象经过(0，)时，该函数图象的最高点的坐标为(，)
C．(，y1) (，y2)是函数图象上的两点，则y1>y2
D．当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=3或5
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：当x+1≥-x+m时，即x≥时，y=-x+m，
当x+1＜-x+m时，即x＜时，y=x+1，
∴y=，
A、 若m=1，则y=，
当x≥0时，y=-x+1，y≤2，即-x+1≤2，解得x≥3，
当x＜0时，y=x+1，y≤-2，即x+1≤-2，解得x≤-3，
∴ 当y≤-2时，则x≤-3或x≥3 ，故此项正确；
B、当x≥时，该图像经过(0，) ，
∴y=-0+m=，解得m=，
∴y=，
当-x+=x+1是，即x=时，函数有最大值，此时y=，
∴该函数图象的最高点的坐标为(，) ，故此项正确；
C、∵ (，y1) (，y2)是函数图象上的两点 ，
∴y1=，y2=，
∵y2-y1=-=＜0，
∴ y1>y2 ，故此项正确；
D、当≥1时，即x≥1，m≥3时，y=-x+m，此时y随x的增大而减小，
∴ 在1≤x≤2内，当x=1时y最大，
∴-1+m=3，解得m=4，符合题意；
当＜2时，即x≤2，m≤5时，y=x+1，此时y随x的增大而增大，
在1≤x≤2内，当x=2时y最大，此时2+1=3，等式成立，
∴ 当1≤x≤2时，函数y的最大值为3，则m=4或-1＜m≤5，故此项错误.
故答案为：D.
【分析】根据新定义可得y=，把m=1代入再根据函数的性质可哦判断A；把(0，) 代入y=-x+m中，再根据函数的性质判断B即可；先求出y2、y1的值，再求出y2-y1的值，即可判断C；分两种情况当≥1时和当＜2时，再根据函数的性质求解，再判断D即可.
12．（2024七下·邵东月考）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解： 点的坐标为，
点的友好点 的坐标为，即点 的坐标为（2，2），
点的友好点A3的坐标为，即点A3的坐标为（2，-1），
点A3的友好点A4的坐标为，即点A4的坐标为（-1，-1），
同理可得……，
每6个点的坐标为一个循环组依次循环，
2023÷6=337……1，
点的坐标为下一次循环的第一个点，
点的坐标为.
故答案为A.
【分析】根据对于点，把点叫做点的友好点，结合点A1的坐标，依次计算到点A6的坐标，得到坐标变化规律即可解答.
13．（2022七上·晋州期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中，是使为奇数的正整数），，两种运算交替重复进行，例如，取，则运算过程如图所示：若，则第2023次“”运算的结果是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．48
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意知，第一次“”运算的结果是：；
第二次“”运算的结果是：；
第三次“”运算的结果是：；
第四次“”运算的结果是：；
“”运算结果每四次一循环，
，
第2023次“”运算的结果是18，
故答案为：C．
【分析】分别求出第一次、第二次、第三次、第四次“”运算的结果，可得“”运算结果每四次一循环，继而求解即可.
14．（2024·德阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故答案为：C
【分析】①根据“倍增点”的定义，分别验证即可求解；②根据点A结合“倍增点”的定义列出方程，进而求出a即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”的定义列出方程，再根据一元二次方程根的判别式得出该方程根的情况，进而即可判断；④设点，根据“倍增点”的定义得到，再根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，进而即可求解。
15．（2023·永川模拟） 定义：如果代数式是常数与是常数，满足，，，则称这两个代数式与互为“同心式”，下列四个结论：
代数式：的“同心式”为；
若与互为“同心式”，则的值为；
当时，无论取何值时，“同心式”与的值始终互为相反数；
若、互为“同心式”，且，则有两个相等的实数根．
其中，正确的结论有个．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：代数式：的“同心式”为，故结论不正确，不符合题意；
若与互为“同心式”，则，，
，
，故结论不正确，不符合题意；
当时，，，
，，
，，
，
无论取何值时，“同心式”与的值始终互为相反数，故结论正确，符合题意；
、互为“同心式”，
，，，
，
，
，
有两个相等的实数根，故结论正确，符合题意．
故选：．
【分析】根据“同心式”的定义判断（1）即可；再利用“同心式”的定义求出m，n的值，再求出的值即可；利用“同心式”的定义求出，，可得；再利用根的判别式判断（4）即可.
16．（2023九下·沙坪坝月考）定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（　　）
①若，，则的值为-1；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵，，
依题意
解得：，，
∴，故①正确；
②的方程与的解相同，即与的解相同，
∴
∴，故②正确；
③
∵的最小值为，
当
∴的最小值为1，
∴有最小值，且最小值为1.
当，有最大值，且最大值为1 .
故③不正确，
故答案为：C.
【分析】利用定义可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出（m+n）2023的值，可对①作出判断；利用已知可得到与的解相同，据此可得到k的值，可对②作出判断；将A，B代入pA+qB，再进行变形，可得到pA+qB=，可推出其最小值为p-q，当p=q＞0时，可求出的最小值为1，此时A的最小值为1；当p-q＜0时，可知A的最大值为1，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
17．（2022七上·乐清期中） 如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：　 　．
（2）若m，n都是“英华数”，且m+n=100，则　 　．
【答案】（1）9
（2）19
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为：9；
（2）∵ m，n都是“英华数”，且m+n=100 ，设m=10x+y，则n=10（9-x）+（10-y），
∴.
故答案为：19.
【分析】（1）根据题干提供的信息直接计算即可；
（2）根据数字问题，分别表示出m、n，再根据（1）的计算方法及整式的加减法法则分别计算 与，再求和即可.
18．（2021七下·奉化期末）对 ， 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零常数）.例如： ， .当 ， ，则 　 　；当 时， 对任意有理数 ， 都成立，则 ， 满足的关系式是　 　.
【答案】；n=-3m
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：①根据题意得， ，
，
整理得： ，解得： ，
则
，
②由 得
，
整理得： ，
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，
即 ；
故答案为： ； .
【分析】根据新运算 的定义，可得方程组，求出m、n的值，即得结论；由 得，整理得 ，由于
当 时， 对任意有理数 ， 都成立，可得3m+n=0，即得结论.
19．（2023七下·蜀山期中）对实数、 ，定义运算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.计算[2☆( )][( )☆()]= 　 　
【答案】1
【知识点】有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】
[2☆( )][( )☆()] =
【分析】本题考查定义运算和有理数的乘方运算。根据新定义，注意判断使用哪个公式，列出算式，进行计算。
20．（2024七上·锦江期末）定义：是以、、为系数的二次多项式，即，其中、、均为实数例如、．
当时，求　 　；
若，求　 　．
【答案】-59；-6
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解：①Φ[1，1，1]×Φ[﹣1，-1，﹣1]＝（x2+x+1）×（﹣x2﹣x﹣1）＝﹣（x2+x+1）2，
当x＝2时，原式＝﹣（x2+x+1）2＝﹣（22+2+1）2＝﹣49，
故答案为：﹣49；
②Φ[p，q，﹣1]×Φ[m，n，-2]
＝（px2+qx﹣1）×（mx2+nx﹣2）
＝pmx4+（pn+qm）x3+（﹣2p+qn﹣m）x2+（﹣n﹣2q）x+2
＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，
∴
（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）
＝8pm﹣4pn﹣4p﹣4qm+2qn+2q﹣2m+n+1
＝8pm﹣2（pn+qm）+2（﹣2p+qn﹣m）﹣（﹣n﹣2q）+1
＝8×2﹣4×1+2×（﹣10）﹣（﹣1）+1
＝16﹣4﹣20+1+1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】①根据定义式，直接代入计算即可；
②根据定义式，代入相乘后，比较系数可得p、q、m、n之间的关系，再把（4p-2q-1）（2m-n-1）展开并整理，最后整体代入求值。
三、解答题
21．（2024八上·遵义期末）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形——筝形．
定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形．
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是　 　；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看：　 　；
从对角线看：　 　．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看：　 　；
如图，四边形中，　 　．求证：四边形是筝形．
应用：如图，探索筝形的面积公式　 　（直接写出结论）．
【答案】其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；垂直平分于点，且；筝形面积为对角线乘积的一半．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：定义：在四边形中，若，我们把这样四边形称为筝形．
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： 筝形只有一组对角相等；
从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ；
如图，四边形中， 垂直平分于点，且．求证：四边形是筝形．
应用：如图，探索筝形的面积公式筝形面积为对角线乘积的一半（直接写出结论）．
故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；垂直平分于点，且；筝形面积为对角线乘积的一半。
【分析】根据四边形中的新定义问题，结合题意求解即可。
22．（2024七上·隆回期末）已如有理数，定义为a的差倒数，如的差倒数为．
（1）的差倒数为　 　；
（2）如果，是的差倒数．是的差倒数……，依此类推．求的值．
【答案】（1）
（2）解：，
由题意，得：，，，
∴每3个数一循环，，
∵，
∴
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：的差倒数为，
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出前几项中数据与序号的关系可得规律 每3个数一循环，， 再结合可得，再计算即可.
23．（2023八上·邛崃月考）对于整数n，定义[ ]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．
（1）直接写出[]的值；
（2）显然，当[]＝1时，n＝1，2或3．
①当[]＝2时，直接写出满足条件的n的值；
②当[]＝10时，求满足条件的n的个数；
（3）对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即对72进行3次操作后变为1，类似地：①对25进行 ▲ 次操作后变为2；
②对整数m进行3次操作后变为2，直接写出m的最大值．
【答案】（1）解：[]＝3；
（2）解：①n＝4，5，6，7，8；
②当[]＝10时，可得，
∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴满足条件的n的个数为21
（3）解：①2；②设第三次操作为：[]＝2，则，∴，
∴设第二次操作为：[]＝8，则，∴，
∴设第一次操作为：[]＝80，则，∴，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵＜＜，
∴[]=3；
（2）①当=2时，≤＜，n=4，5，6，7，8；
②当=10时，≤＜，
n在100和120之间，此时n的个数为21；
（3）①25[]=5[5]=2；
②②设第三次操作为：[]＝2，则，∴，
∴设第二次操作为：[]＝8，则，∴，
∴设第一次操作为：[]＝80，则，∴，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．
【分析】（1）根据定义的新运算，求出值；
（2）①根据不大于n的最大整数，写出n的值；②根据不大于n的最大整数，写出满足n的个数；
（3）①根据题意，对25进行变化，计算变为2时的变化次数；②根据定义的新运算，由变化次数为3，推出m的最大值。
24．（2024七上·杭州月考）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝－1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．
（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．
①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为 ；
②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；
（2）在该数轴上，点C表示的数为－m，点D表示的数为－m＋3，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，直接写出m的最大值与最小值．
【答案】（1）解：①2；
②∵B点到OM的“闭距离”为3，
∴当m＜0时，m=2-3=-1，
当m＞0时，m-2=3，m=5，
∴m的值为-1或5.
（2）解：∵点C表示的数为-m，点D表示的数为-m+3，在线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为5，
∴当m＜0时，可得不等式组
，
解得：，
当m＞0时，可得不等式组
，
解得：，
综上所述，或；
∴最大值4，最小值是-2.5.
【知识点】定义新运算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可知，m=1时，A到OM的最大值为AM的长，
∵AM=|-1|+1=2，
∴点A与线段OM的“闭距离”为2，
故答案为：2.
【分析】（1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；
②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值；
（2）按照m的正负值分情况讨论，列出不等式，求解，即可得出最大值、最小值.
25．（2023八上·长沙开学考）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
（1）的“青一区间”是　 　；的“青一区间”是　 　；
（2）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”．
【答案】（1）；
（2）解：无理数的“青一区间”为，
，
，即，
的“青一区间”为，
，
，即，
，
，
为正整数，
或
当时，，
当时，，
的值为2或；
（3）解：，
，，
，
，
，
，，
两式相减，得，
，
的算术平方根为，
，
，
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵42＜17＜52，42＜23＜52，
∴4＜＜5，4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，
∴的“青一区间”是（4，5）；的“青一区间”是（-5，-4）；
故答案为：（4，5）；（-5，-4）；
【分析】（1）仿照题干中方法，根据定义求解即可；
（2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的范围，再求出正整数a的值，再代入 计算即可；
（3）先根据 ，， 得出，进而得出 ，， 两式相减可得， 再根据“青一区间”的定义即可求解.
26．（2023九上·北京市开学考）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是．
根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；
（2）点，的矩形域重叠部分面积为，则的值为　 　 ．
【答案】（1）点的矩形域如图所示：该矩形域的面积是．
（2）的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）如图所示，红色矩形框是可能的点Q的矩形域
在（1）的提示下，矩形的宽同为4，重合面积为1，说明重合部分的长为，
当时，点P的矩形域左边横坐标是，
则点Q的矩形域右边与点P的矩形域左边重合
解得
当时，点P的矩形域右边横坐标是
则点Q的矩形域左边与点P的矩形域右边重合
解得
故填： 或
【分析】（1）根据题中点A的矩形域定义，长为2，宽为4，面积为8；
（2）在（1）的基础上知矩形的宽为4，重合部分长度为，且重合的情况有2种，一种在P的矩形域的左侧，一种在右侧；故区分a的二种取值情况分别计算，依据的等量关系是P的矩形域的边的横坐标，加或减，就是Q的矩形域的边的横坐标（如图），因此找到矩形域的左、右边的横坐标表达式是本题关键，点的横坐标数即是矩形的长，又因为是矩形对角线中点，所以又是矩形边的中点，结合数轴可以很容易表达出矩形域的左右边的横坐标。
27．（2023七下·宣汉期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：．
（1）填空：　 　；　 　．
（2）填空：①　 　；②　 　．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下题：已知（x，y为实数），求x、y的值．
【答案】（1）；1
（2）10；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】实数的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） = ； 1，
故答案为： ； 1
（2）① 9- 10
② 25+10 + 24+10
【分析】（1）根据 代入求出即可；
（2）①先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可；
②先根据完全平方公式展开，再代入求出即可；
（3）根据实数与虚数部分相等列出方程，求出方程的解即可求出X与Y的值。
28．（2017·枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）= ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= ．
（Ⅰ）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（Ⅱ）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（Ⅲ）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（Ⅱ）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（Ⅲ）F（15）= ，F（26）= ，F（37）= ，F（48）= = ，F（59）= ，
∵ ＞ ＞ ＞ ＞ ，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（Ⅱ）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（Ⅲ）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
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