2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用并集的定义直接求解即可.
【详解】集合，，所以.
故选：C
2．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据复数模长公式求出答案.
【详解】.
故选：A
3．下列函数图象中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质即可得.
【详解】根据偶函数的图象性质可知，关于y轴对称的函数是偶函数.
故选：C.
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数定义即可得解.
【详解】由题意.
故选：A.
5．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】令，解得，故定义域为.
故选：D
6．如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.
【详解】因为面
所以.
故选：D.
7．已知向量，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可.
【详解】∵，∴，即，解得，
故选：D．
8．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
【答案】C
【分析】计算得，然后由第8个数据和第9个数据求平均数可得.
【详解】因为，
所以第80百分位数是.
故选：C
9．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
10．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.
【详解】在中，，
由余弦定理得,
而A为三角形内角，故，
故选：D
11．已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（ ）
A．是对立事件 B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.
【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，
所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件，
因为3粒种子可能只发芽1粒，
所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件.
故选：C
12．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定定理即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于C，在正方体中，
因为E为的中点，为的中点，
所以，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
对于D，因为平面AEC，故不平行.
故选：C.
13．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，则可得，解方程可得的值.
【详解】因为，所以，
解得.
故选：D
14．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是7 B．平均数是7
C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8
【答案】B
【分析】根据众数，平均数，中位数，百分位数的定义逐一判断即可.
【详解】由题意可知，众数是4，A错；
中位数为，D错；
平均数为，B对；
因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错.
故选：B.
15．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得，进而得，再解不等式即可.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
且满足，
所以不等式等价于，即，
所以，解得，
即的取值范围是.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法不正确的是（ ）
A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生 B．样本是指2000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生
【答案】ACD
【分析】从总体，个体，样本和样本容量的定义逐项判断.
【详解】对于A：总体指的是该市高一年级考试全体学生的数学成绩，故A错误；
对于B：样本是指2000名学生的数学成绩，故B正确；
对于C：样本容量指的是2000，故C错误；
对于D：个体指是指2000名学生中的每一名学生的数学成绩，故D错误．
故选：ACD.
17．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 2 3 5
10 13 3
则下列包含函数零点的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】应用零点存在性定理，寻找满足的区间即可.
【详解】根据零点存在性定理，结合表中的数据，
，，.
函数在三个区间、和上存在零点.
可得BCD正确．
故选：BCD．
18．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
【答案】CD
【分析】
根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.
【详解】根据斜二测画法可知，
在原图形中，O为的中点，，
因为，
所以，,，
则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
在中，，
过作轴垂线，垂足为，，
所以，
所以的面积是，的面积是，
的面积是的面积的倍，故B错误.
故选：CD
19．已知为偶函数，则和的可能取值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据偶函数的定义建立方程，求得值，逐项判断即可.
【详解】因为为偶函数，
所以，
则，
所以为任意实数，
,B，C选项符合题意．
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．“”是“”的 条件.
【答案】充分不必要
【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可.
【详解】当时，，即充分性成立；
当时，或，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
21．甲 乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 .
【答案】/0.25
【分析】利用对立事件概率求解.
【详解】设事件表示“乙获胜”，则，
则.
故答案为：.
22．函数且恒过的定点为 .
【答案】
【分析】若且过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出.
【详解】由题意得：，解得，
当时，，
所以定点坐标为.
故答案为：
23．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
【答案】12
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为，
则圆台的下底面的半径为，
作出圆锥的轴截面如图，则，
所以，即．
解得，即圆锥的母线长为12．
故答案为：.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.
【答案】(1)0.30
(2)36000，理由见解析
【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出答案；
（2）计算出月均用水量不低于3吨的频率，进而求出答案.
【详解】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为.
同理在，，，，的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由，
解得.
（2）由（1）知，该市100位居民月均用水量不低于3吨的频率为.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为.
25．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算；
（2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可.
【详解】（1）设底面圆的直径为2r，
由题可知,圆柱的体积，
解得，即圆柱的底面半径为1
（2）因为为正三角形，底面圆的半径为1，
由正弦定理，边长，
所以三棱柱的体积
26．已知函数
(1)作出函数在的图像；
(2)求；
(3)求方程的解集，并说明当整数在何范围时，.有且仅有一解.
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)解集为；或.
【分析】（1）各段均为一次函数，作出图象即可；
（2）结合函数的定义，先求，再求；
（3）各段解，即可得解集，观察图象即可求的k值范围.
【详解】（1）
（2）；
（3）当时，由，得；
当时，由，得；
当时，由，得；
所以解集为；
当有且仅有一解且k为整数时，则或.2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．下列函数图象中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．已知向量，，，则（ ）
A．6 B． C． D．
8．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
9．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
10．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（ ）
A．是对立事件 B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件
12．如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A． B． C． D．EO
13．已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
14．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是7 B．平均数是7
C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8
15．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．从某市高一年级考试的学生中随机抽查2000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法不正确的是（ ）
A．总体指的是该市高一年级考试的全体学生 B．样本是指2000名学生的数学成绩
C．样本容量指的是2000名学生 D．个体指是指2000名学生中的每一名学生
17．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 2 3 5
10 13 3
则下列包含函数零点的区间是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
19．已知为偶函数，则和的可能取值分别为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．“”是“”的 条件.
21．甲 乙两人下象棋，已知甲获胜的概率是，平局的概率是，则乙获胜的概率是 .
22．函数且恒过的定点为 .
23．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.
25．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积.
26．已知函数
(1)作出函数在的图像；
(2)求；
(3)求方程的解集，并说明当整数在何范围时，.有且仅有一解.
