2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，根据交集的定义可知.
故选：A．
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合旋转体的定义，即可求解.
【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，
根据旋转体的定义，可得B项，符合题意.
故选：B.
3．命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】“对任意的”的否定是：存在.
故选：C．
4．已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算即得.
【详解】由弧长公式得弧长，所以扇形的周长为.
故选：C
5．某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（ ）
成绩（单位：环） 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A．2 B．8 C．8.2 D．8.5
【答案】D
【分析】利用中位数的定义即可得解.
【详解】将射击成绩由小到大排列：，
第个数分别为，因而中位数为.
故选：D.
6．下列命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，显然不能得出，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D
7．掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）
A．和有可能同时发生 B．和是对立事件
C．和是对立事件 D．和是互斥事件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.
【详解】依题意，事件，
对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确；
对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确；
对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误；
对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.
故选：C
8．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.
【详解】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
故选：C
9．已知向量，若与垂直，则 （ ）
A．13 B． C．11 D．
【答案】A
【分析】由垂直向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，所以，
若与垂直，则，解得：.
故选：A.
10．已知函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的奇偶性，得到关于的方程，找到满足条件的值即可.
【详解】是奇函数，则只需，
所以，
所以时，.
故选：D.
11．已知，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】由复数乘法以及模的计算公式即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
12．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】化弦为切，代入求值.
【详解】.
故选：B
13．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．不平行
【答案】A
【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.
【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，则，
故选：A.
14．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即.
故选：B.
15．在中，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.
【详解】由，
故，
故选：D
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．今年第5号台风“杜苏芮”于7月28日9时55分在福建晋江登陆，为1949年以来登陆福建的第二强台风，登陆后强度迅速减弱并一路北上影响黄淮、华北，给华北、黄淮等地带来较大范围的特大暴雨．华中地区某市受此次台风影响，最高气温同比有所下降，测得七天的最高气温分别是28，26，25，27，29，27，25（单位：℃），则（ ）
A．该组数据的极差为4
B．该组数据的众数为27
C．该组数据的中位数为27
D．该组数据的第70百分位数为28
【答案】AC
【分析】
根据极差、众数、中位数和百分位数的定义求解即可.
【详解】将这组数据按照从小到大的顺排列得，
则该组数据的极差为，故A正确；
该组数据的众数为和，故B错误；
该组数据的中位数为27，故C正确；
因为，
所以该组数据的第70百分位数为第个数据，即，故D错误.
故选：AC.
17．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】BC
【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.
【详解】A选项中：与对应关系不同，
故不是同一函数，故A不正确；
B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同，
故是同一函数，故B正确；
C选项中：当时，，当时，，所以，
故与是同一函数，故C正确；
D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同，
故不是同一函数，故D不正确.
故选：BC．
18．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
19．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
利用正切函数的性质即可求解.
【详解】
由已知，令，得．
当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以D正确；
当时，，所以函数图象的对称中心的是，所以B正确；
当时，，所以函数图象的对称中心的是， 所以A正确；
显然选项C错误.
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得.
【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角，
而，因此.
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为：
21．已知函数是偶函数，则 ．
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，即，
于是有，解得.
故答案为：.
22．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ．
【答案】9
【分析】由两组数据满足的一次函数关系，得方差间的关系，即可得结果.
【详解】数据1、2、3、4、5依次记为，数据3、6、9、12、15依次记为，
则有，所以，即.
故答案为：9
23．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．已知向量，
(1)若，求的值；
(2)若，与垂直，求实数t的值；
(3)若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】(1)2；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用向量平行得出，结合齐次式求解可得答案；
（2）先求解向量坐标，利用垂直可得参数的值；
（3）利用投影向量的公式可得答案.
【详解】（1）因为向量，，，
所以，即，则.
（2）因为，所以，
则，，
因为与垂直，所以，所以.
（3）因为，所以，投影向量.
25．为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率．
【答案】(1)，平均数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数公式计算平均数；
（2）首先求出，各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
解得.
又，
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时.
（2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为
所以利用分层抽样的方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，，
记中的人为，，，，中的人为，，
从这人中随机选出人，则样本空间
共15个样本点；
设事件：选出的人都来自，
则共个样本点，
所以.
26．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的.
(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？
(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数.
【答案】(1)10.5万元
(2)158
【分析】（1）将代入解析式求出y，然后验证是否满足条件即可；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，结合单调性即可求解.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以，符合要求，
故该企业可获得10.5万元奖金.
（2），
因为为正整数，所以在上单调递增，
由题意知对时恒成立，
故，解得.
又，
即在时恒成立，
即
所以正整数.
综上，
故最小正整数的值为158.2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在 B．存在
C．存在 D．对任意的
4．已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（ ）
成绩（单位：环） 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A．2 B．8 C．8.2 D．8.5
6．下列命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）
A．和有可能同时发生 B．和是对立事件
C．和是对立事件 D．和是互斥事件
8．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
9．已知向量，若与垂直，则 （ ）
A．13 B． C．11 D．
10．已知函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A． B．3 C． D．5
12．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
13．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．不平行
14．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．在中，若，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．今年第5号台风“杜苏芮”于7月28日9时55分在福建晋江登陆，为1949年以来登陆福建的第二强台风，登陆后强度迅速减弱并一路北上影响黄淮、华北，给华北、黄淮等地带来较大范围的特大暴雨．华中地区某市受此次台风影响，最高气温同比有所下降，测得七天的最高气温分别是28，26，25，27，29，27，25（单位：℃），则（ ）
A．该组数据的极差为4
B．该组数据的众数为27
C．该组数据的中位数为27
D．该组数据的第70百分位数为28
17．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
18．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
21．已知函数是偶函数，则 ．
22．数据1、2、3、4、5的方差为，数据3、6、9、12、15的方差为，则 ．
23．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．已知向量，
(1)若，求的值；
(2)若，与垂直，求实数t的值；
(3)若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
25．为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率．
26．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的.
(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？
(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数.
