2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷03
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先将整理为的形式，再找到复平面上对应的点即可.
【详解】，在复平面内对应的点是，位于第三象限.
故选：C.
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故选：B
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用列举法找出满足题意的随机数，即可求出三次投篮恰有两次命中的概率.
【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，
这三组表示三次投篮恰有两次命中，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.
故选：A
4．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设幂函数，将点的坐标代入即可.
【详解】设幂函数，将点代入得，所以,
所以幂函数的解析式为.
故选：B.
5．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果.
【详解】因为，所以与角终边相同的角是，
故选：C.
6．若,，则实数（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.
【详解】因为，所以 ，
即 ，所以，
因为，，所以，
所以，解得.
故选：B.
7．已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则可能相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，则可能平行，或相交，或垂直，故B错误；
对于C，若，则可能在中，也可能，故C错误；
对于D，由线面垂直的性质定理可知D正确.
故选：D
8．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
9．某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分层抽样的定义及性质直接计算.
【详解】由分层抽样可知，
解得，
故选：D.
10．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
11．已知一个样本由三个，三个和四个组成，则这个样本的标准差（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据样本方差及标准差的公式直接计算.
【详解】由已知样本的平均数，
则方差，
则标准差，
故选：C.
12．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法求解即可.
【详解】，，.
所以.
故选：A.
13．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由余弦定理得.
故选：C
14．将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（ ）
A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上
【答案】D
【分析】根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可.
【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4种可能，
事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，
对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；
对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件.
故选：D.
15．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，得到，
显然，由图象关于轴对称，得到，解得，
所以，满足要求，
得到.
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于AD，当时，
，故AD错误；
对于BC，因为，所以，故BC正确；
故选：BC.
17．下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】对于A，若，，则，A错误；
对于B，若，，则，B正确；
对于C，若，，则，C错误；
对于D，若，，则，D错误.
故选：ACD
18．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.
【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故C正确，D错误.
故选：AC
19．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，则.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】根据存在量词命题的否定的知识写出正确答案.
【详解】命题“，”是存在量词命题，
其否定是：，
故答案为：，
21．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图，由此可估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为 .
【答案】
【分析】根据频率分布直方图计算出这种疾病患者的年龄位于不在区间频率，结合对立事件的概率公式得到概率.
【详解】设{一人患这种疾病的年龄在区间}，
所以．
故答案为：
22．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围.
【详解】因为向量，的夹角为钝角，
所以且不反向共线，
由；
由；
所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：.
故答案为：
23．求函数的单调增区间为
【答案】和
【分析】
将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可.
【详解】，画出函数图象（如图所示）
结合图象得函数的单调递增区间为和.
故答案为：和.
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明.
【答案】(1)
(2)是偶函数，证明见解析
【分析】（1）由指数函数定义即可列方程求解；
（2）由偶函数定义即可判断并得证.
【详解】（1）函数是指数函数，且，
，
可得或舍去，
（2）是偶函数 ,
证明如下：，，
，
是偶函数．
25．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】(1)；
(2)84；
(3)，.
【分析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值.
（2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案.
（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；根据由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差.
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，
所以.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
26．已知向量，函数．
(1)在中，分别为内角的对边，若，求A；
(2)在（1）条件下，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的坐标表示式和三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再由解三角方程即得；
（2）由余弦定理求得边，利用三角形面积公式计算即得.
【详解】（1）由向量，函数，
得．
由，即，
因为，所以，
从而，解得．
（2）由余弦定理，得，
则，则．所以，
所以的面积．2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷03
（考试时间：90分钟；满分：100分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
样本数据的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，
其中，S分别为上、下底面面积，h为高
锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高
球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 57分）
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
6．若,，则实数（ ）
A．6 B． C．3 D．
7．已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
9．某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（ ）．
A． B． C． D．
10．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知一个样本由三个，三个和四个组成，则这个样本的标准差（ ）．
A． B． C． D．
12．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（ ）
A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上
15．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
16．如果，那么下面结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
18．为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D．先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
19．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 43分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．）
20．命题“，”的否定是 ．
21．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图，由此可估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为 .
22．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
23．求函数的单调增区间为
四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
24．已知函数是指数函数．
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明.
25．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
26．已知向量，函数．
(1)在中，分别为内角的对边，若，求A；
(2)在（1）条件下，，求的面积．
