第9章 不等式与不等式组（单元测试·拔尖卷）（含解析）

第9章 不等式与不等式组（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法错误的是（ ）
A．由，可得 B．由，可得
C．由，可得 D．由，可得
2．是下列不等式的一个解的是（ ）
A． B． C． D．
3．在上定义运算：，当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．若实数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
5．若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知在内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．解不等式时，我们可以将其化为不等式或得到的解集为或，利用该题的方法和结论，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
8．若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
9．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
10．如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．下列命题中：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
正确的有 ．（只填写正确命题的序号）
12．不等式的解集是
13．如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，若，则的取值范围为 ．
14．在平面直角坐标系中有点，点，点（点在点的右边），连接，，．若在以，，所围成的区域内（含边界），横，纵坐标都是整数的点恰有6个，则的取值范围是 ．
15．定义向下取整记号，其表示不超过实数的最大整数．已知，且，求得的值为 ．
16．若点的坐标满足方程组，若在轴上方且在轴左侧，当是整点时，到轴距离最远的点坐标是 ．
17．在平面直角坐标系中，A在y轴正半轴上，B在x轴负半轴上，C在x轴正半轴上：的面积为8， ，点P的坐标是．若，则a取值范围是 ．
18．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题：
（1）点（4，3）的纵变点是 ；
（2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解不等式组
(1) 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
(2) 解不等式组：．
20．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数．
(1) 求的取值范围； (2) 化简：．
21．（10分）已知m，n与代数式的值的对应关系如下表：
m … 2 3 4 …
n … 3 1 …
… 4 …
根据表中信息，求a，b的值；
若关于x的不等式组有且只有一个整数解，求t的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，，．
(1) 若，，则AB＝______；
(2) 若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围．
23．（10分）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．

解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
解关于x的不等式．
关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
24．（12分）根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下：
①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒；
②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加；
④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加；
⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定．
(1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本；
(2)①求该药品纳入医保后的售价；
②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据不等式的性质求解判断即可．
【详解】解：A．由，可得，故A说法正确，不符合题意；
B．由，可得，故B说法正确，不符合题意；
C．由，可得，故C说法错误，符合题意；
D．由，可得，，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
2．A
【分析】直接解不等式，然后确定符合题意的答案即可．
【详解】解：A．，则，故此选项符合题意；
B．，则，故此选项不合题意；
C．，则，故此选项不合题意；
D．，则，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，正确求得各不等式的解集是解题关键．
3．D
【分析】本题考查新定义运算与不等式综合，涉及解一元一次不等式知识，先由题中新定义运算，再解一元一次不等式，最后由题中条件分类求解即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：在上定义运算：，
由可得，
当时，解得，由时，存在使不等式成立，则，解得，从而；
当时，解得，且，由时，存在使不等式成立，得；
当时，，当时，存在使不等式成立；
综上所述，，
故选：D．
4．B
【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴或或，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
5．B
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值．
【详解】解：①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，根据绝对值的非负性可得：．
即只能取．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
6．B
【分析】由在经过此次平移后对应点，可得△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，由此得到m的值，再解不等式组即可得到结论．
【详解】解：∵在经过此次平移后对应点，
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∵点经过平移后对应点，
∴a-1=c，b-5=d，
∴a-c=1，b-d=5，
∴m=a+b-c-d=1+5=6，
∴不等式组变形为
解得，不等式组的解集为
故选：B
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．同时也考查了求不等式组的解集．
7．D
【分析】根据已知形式化成不等式组分别求解即可；
【详解】由题可得，将不等式化为或，
解不等式组，
由得，
由得或，
∴不等式的解集为：；
解不等式组，
由得，
由得，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的解析为或．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，准确根据已知条件组合不等式组求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据不等式组解集得出关于和的方程，题目比较好，综合性比较强．
9．D
【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．
【详解】解：有正整数解，
，
即，，
，
是正整数，为正数，
，即可取1、2；
①当取1时，
，，
；
②当取2时，
，，
；
综上可得的范围是：或．
故选：D．
【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．
10．C
【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案．
【详解】∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2，
∴，，
解得：，，
即的整数值是-3，-2，的整数值是6，7，8，
即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n的值．
11．②③
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：①若，则，故①错误；
②若，则，故②正确；
③若，，，故③正确；
④若，当时，则；当，则，故④错误；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
12．
【分析】运用移项，合并同类项，系数化为1解不等式求得解集．
【详解】，
，
．
【点睛】本题考查不等式的解法，注意不等号的改变是解题的关键．
13．
【分析】根据题意可得，从而表示出，再由即可得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
，
解得：，
的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
14．
【分析】根据题意画出图形，结合图形列出关于的不等式，解之确定的范围．
【详解】解：如图，点是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于上，
，
当最短时，，都是整数点，；
当最长时，，都不是整数点，；
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解题的关键，也考查了解一元一次不等式．
15．4
【分析】根据题意可知或，再根据已知条件得到不等式组，求出，即可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了新定义的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到是解题的关键．
16．
【分析】根据题意，解得，由在轴上方且在轴左侧，可知点P在第二象限，即x<0，y>0，进而求得0【详解】解：解方程组，得，
∵在轴上方且在轴左侧，
∴点P在第二象限，
即x<0，y>0，
∴，
解得0∵是整点，
∴m可取1，2，
又P到轴距离最远，
∴2m-6最小时，P到轴距离最远，
∴m=1，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参问题，涉及的知识点有平面直角坐标系中点坐标特征，解不等式组求整数解，正确地计算能力是解决问题的关键．
17．或
【分析】题目主要考查坐标与图形，不等式的性质及三角形面积的计算，根据题意分两种情况：当时，当时，分别作出图形，利用面积求解即可．
【详解】解：如图，
∵的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，如图所示，连接，
，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示，连接，
，
∴，
∴；
综上，a的取值范围是或．
故答案为：或1418． （4，2）
【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可；
（2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵a=4>3，
∴=b-1=3-1=2，
∴点（4，3）的纵变点是（4，2）
故答案为：（4，2）．
（2）∵
①当a≤3时，，
∴
解得：；
②当时，，
∴，
∴无解
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．
19．(1)，画数轴见解析
(2)
【分析】本题考查一元一次不等式及不等式组的解法、在数轴上表示不等式解集的方法等知识，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
（1）根据一元一次不等式的解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可得到答案，再由不等式解集在数轴上的表示方法画出数轴即可；
（2）根据一元一次不等式组的解法，分别求出不等式组的每个不等式解集，再由不等式组解集的求法求解即可得到答案．
【详解】（1）解：去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
将解集表示在数轴上如下：
；
（2）解：，
由①得；
由②得；
不等式组的解集为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组得出的值，再结合方程组的解是为非负数，为正数，得出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（2）由（1）可得，结合绝对值的性质化简即可得出答案．
【详解】（1）解：
①②，得，即，
把代入②，得，
由题意得，
解得．
（2）解：，
，．
．
21．(1)，；
(2)．
【分析】（1）结合表中数据建立二元一次方程组求解即可；
（2）分别求解不等式，结合不等式组的解得情况得到关于t的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：依据表中数据可得：
，
解得：，
即：，；
（2）由（1）得：
，
解不等式得：
，
解不等式得：
，
由不等式组有且只有一个整数解，
得，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，以及根据不等式组的解得情况求参；解题的关键是正确求解方程组和不等式组，理解不等式组解得情况．
22．(1)4
(2)同意，AB=4
(3)或
【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论；
（2）用a表示出点B的坐标，可得结论；
（3）构建不等式求解即可．
【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2），
∴AB=2-（-2）=4，
故答案为：4；
（2）小智同学的观点正确．
理由：∵a+2b=3，
∴2b=3-a，
∴B（a，2a-4），
∵A（a，2a），
∴AB=2a-（2a-4）=4，
∴AB的长是定值；
（3）如图，
观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2
∵a=3-2b，
∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2.
解得或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题．
23．(1)当时，；当时，
(2)
(3)
【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可；
（2）仿照阅读材料解答即可；
（3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则a＜0不合题意，于是得到，解得．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵关于x不等式的所有解都满足不等式，
∴，
∴；
（3）解：
由①得，x，
由②得，，
∵不等式组非负整数解的和为5，
∴不合题意，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键．
24．(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元
(2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析
【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解；
（2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为，列不等式组求解即可。
【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元
根据题意，列出方程组：
，
解得：，
答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元；
（2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒
因为第二个月的总销量比第一个月增加，
所以第二个月的总销量为（）盒
因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒,
根据题意可列方程：
解得：
所以该药店纳入医保后的售价为元/盒,
②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下：
第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒
第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒
由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为；
总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，
设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为，
依题意得：，
解得,
因为盈利不低于，则≥，
解得≥
所以
因此该药企的制定该药品价格范围为
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。