沪教版九年级数学上册 第二十五章 锐角的三角比 单元综合复习题 （含解析）

第二十五章《锐角的三角比》单元综合复习题
一、单选题
1．在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A． B． C． D．．
2．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　）
A． B． C． D．
4．如图，线段OA在第二象限，A点的坐标为（﹣4，4），OA与y轴的夹角为α，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（　　）
A．2sinα B．2cosα C． D．
8．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为( )
（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F．若CD＝1，则线段AF的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题
11．计算____．
12．在中，，，，那么______．
13．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度_______．
14．如图，已知中，点是上一点，，若，，则________．
15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是______．
16．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为________米．
17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是________．
18．如图，已知在中，，，，是边 上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于________．
三、解答题
19．计算：（1）sin260°-tan30° cos30°+tan45°；
（2）．
20．如图，已知在平行四边形中，过点D作，垂足为点E，．
(1)求平行四边形的面积；
(2)连接，求的值．
21．如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
22．如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
23．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）
25．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．
(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；
(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）
26．如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求的值．
27．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
(1)如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
(2)如果，，求的面积．
28．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．
【解析】在中，，那么锐角的正弦=，
故选：B．
2．D
【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．
【解析】根据勾股定理可得：，
则；；；；
故选：D．
3．C
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．
【解析】∵，，
而，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】先求出线段OA的长，再利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解析】解：∵A点的坐标为（﹣4，4），
∴OA＝＝4．
∴cosα＝＝．
故选：B．
5．B
【分析】作AD⊥BC，可得AD＝BD＝5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解可得．
【解析】解：如图，作AD⊥BC于点D，
则AD＝5，BD＝5，
∴AB＝＝＝5，
∴cos∠B＝＝＝，
故选：B．
6．A
【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可．
【解析】解：∵0°＜25°＜30°
∴
∴．
故选A．
7．C
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，
过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，
设BE＝x，
∵∠ABE＝α，
∴AB＝，
∴BC＝AB＝，
∴重叠部分的面积是：×1＝．
故选：C．
8．C
【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度．
【解析】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝（6+20）（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；
故选：C．
9．C
【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝tan∠EAC＝，
∴，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
10．D
【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出△EFC∽△DFA，，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可．
【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∵AD⊥CD，CD＝1，
∴AD＝，AC＝2，
延长AD、BC交于点G，如图，
∵∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
∴△ABG为等边三角形，
∵AC平分∠DAB，
∴C为GB的中点，且AC⊥GB，
∴AB＝，
连接EC，
∵E为AB边的中点，AC⊥GB
∴EC＝AB＝，
∵C为GB的中点，
∴ECAD，
∴△EFC∽△DFA，
∴，即
∴
∴AF＝．
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．
【解析】，
故答案为：．
12．
【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．
【解析】解：∵，，
∴
∵
∴，解得：BC=12．
故填：12．
13．2.4
【分析】根据勾股定理求出此人行走的水平距离，根据坡度的概念计算即可．
【解析】解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：=12，
则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4，
故答案为：2.4．
14．2
【分析】由题意易得，进而问题可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为2．
15．7
【分析】过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解析】解：过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，
在中，，，
则，
解得：，
由勾股定理得：，
在中，，
则，
∴，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．
【解析】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100
∴依题意，有
由①得
将③代入②，解得
故答案为：．
17．
【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】解：如图，过点作于点，设，
在与中，
，
，
，，
，tan∠ADB＝＝，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝a，
∵S△ABD＝BD AE＝AB AD，
∴AE＝CF＝a，
∴BE＝FD＝a，
∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．
18．
【分析】由题意可得如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，则有，然后可得，进而可得，则有，，最后问题可求解．
【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∴；
故答案为．
三、解答题
19．解：（1）原式=
=
=．
（2）原式=
=
=-
=-
20．
(1)
∵，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴
∴．
(2)
过E作，与的延长线交于点F．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，又，
∴．
在中，．
在中，．
21．
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
22．
(1)
∵，
∴∠DEB=∠DEC=90°
∵在Rt△DEC中，，，
∴，
∴DE=3，
∴，
∵在Rt△DEB中，，DE=3，
∴BE=DE=3，
∴BC=BE+CE=3+4=7；
(2)
如图，过点为A作，垂足为点H，
∵在Rt△DEB中，，DE=3，
∴BD=，
∵是边上的中线，
∴AB=2BD=，
∵在Rt△ABH中，，AB=，
∴，
∴，
∴．
23．解：（1） 是边上的高，，，
，
∴AB=15,BD==9
又∵ BC=14
∴CD=BC -BD=14-9=5
（2） 为边的中点，
∴ED=EA=EC
∴=
24．假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’
∵CD=12，∠DCE=60°
∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6
∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’
∴四边形DEE’D’是矩形
∴DE=D’E’=6，
∵∠D’CE’=39°
∴CE′=≈13
∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．
即
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
25．
（1）
解：作DH⊥AE于H，如图所示：
在Rt△ADH中，∵，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴（2DH）2+DH2＝（）2，
∴DH＝6（米）．
答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米；
（2）
如图所示：过点D作DG⊥BC于点G，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
由（1）得AH＝2DH＝12，
在矩形DGCH中，DH＝CG＝6，DG＝CH＝AH+AC＝x+12，
在Rt△BDG中，BG＝BC﹣CG＝BC﹣DH＝x﹣6，
∵tan∠BDG＝，
∴，
解得：x≈24，
答：大树的高度约为24米．
26．
(1)
证明：是等边三角形
，
又
，AD=CF
是等边三角形
四边形CDEF是平行四边形
(2)
解：如图：过点F作于点G
四边形CDEF是平行四边形，
设BG=x，则
27．
（1）
（1）①证明：，，
，
，，且，
，
，
，
，
；
②由题意知：设，则，，
，
，
，，
，
在中，
；
（2）
解： 设，
，
，，
，，
，
且，
在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，
，
1°当为锐角时，
，
，解得；
∴，
，
；
2°当为钝角时，
，
，解得，
∴，
，
．
28．解：（1）在Rt△ABC中，cosB＝＝，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，
cosB＝，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝，
∵四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∵点G在BC上，
∴EF∥BC，
∴，
∴，
∴CF＝，
在Rt△CFD中，cos；
（2）∵四边形EFDG是平行四边形，
∴DF∥EG，
当点G恰好在AB上时，
∴DF∥AB，
∴，
设CD＝x，则，
∴CF＝，
在Rt△BDE中，cosB＝，
又CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴BE＝（8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝，
当点G在△ABC内时，0≤CD；
（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，
∵平行四边形EFDG是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点E作EH⊥AC于点H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]＋x＝（8﹣x），
∴x＝，
∴CD＝．