高中数学人教A版（2019）选择性必修3 第七章 离散型随机变量的数学期望和方差 学案

随机变量的数学期望和方差
【考纲解读】
理解随机变量数学期望的定义，掌握求随机变量数学期望的基本方法，能够计算简单离散型随机变量的数学期望，并能解决一些实际问题；
理解随机变量方差的定义，掌握求随机变量方差的基本方法，能够计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
【知识精讲】
一、离散型随机变量的期望：
1、随机变量数学期望的定义：
（1）离散型随机变量数学期望的定义：
若离散型随机变量的分布列为：则称 ------ --------
E=+ + +------- P ----- --------
为离散型随机变量的数学期望，简称期望；
（2）离散型随机变量数学期望的意义：离散型随机变量数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
2、离散型随机变量数学期望的性质：
（1）E（c）=c（c为常数）；
（2）E（a+b）=aE()+b(a、b为常数)；
（3）若离散型随机变量满足二项分布—B（n，p），则E（）=np；
（4）若离散型随机变量满足几何分布—g（k，p），则E（）= ；
（5）若离散型随机变量满足0—1分布，则E（）=p。
3、求离散型随机变量数学期望的基本方法：
求离散型随机变量数学期望的基本方法是：①根据问题条件确定离散型随机变量的可能取值；②运用求随机事件概率的基本方法求出离散型随机变量每个取值的概率；③由②得出离散型随机变量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出随机变量的数学期望。
4、理解离散型随机变量数学期望时，应该注意的问题：
（1）离散型随机变量数学期望是算术平均值概念的推广，是离散型随机变量意义下的平均值；
（2）E（）是一个实数，由的取值唯一确定，即作为随机变量是可变的，而E（）是不变的，它描述值取值的平均状态；
（3）在求E时，可直接运用公式：E=进行计算；
（4）E（a+b）=aE+b，说明随机变量线性函数=a+b的期望等于随机变量数学期望的线型函数，特别地：①当b=0时，E(a)=aE；②当a=1时，E（+b）=E+b；③当a=0时，E（b）=b。
二、离散型随机变量的方差：
1、离散型随机变量方差的定义：
（1）离散型随机变量方差的定义：设离散型随机变量 所有可能的取值为： ， ------ --------且取这些值的概率分别是： ，----- --------，则把D=.
+.+-------+.+-------叫做离散型随机变量的均方差，简称方差；D的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，记作=；
（2）离散型随机变量的方差的意义：离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值的稳定性，及离散型随机变量对E（）的平均偏离程度。
2、离散型随机变量方差的性质：
（1）D= ；
（2）D（a+b）= D(a、b为常数)；
（3）若随机变量满足0—1分布，则D=p(1-p)；
（4）若随机变量满足二项分布B（n,p），则D=np(1-p)；
（5）若随机变量满足几何分布g(k,p)，则D= 。
3、求离散型随机变量数学期望的基本方法：
求离散型随机变量数学期望的基本方法是：①根据问题条件确定离散型随机变量的可能取值；②运用求随机事件概率的基本方法求出离散型随机变量每个取值的概率；③由②得出离散型随机变量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出离散型随机变量的数学期望；⑤运用公式D=.+.+-------
+.+------求出离散型随机变量的方差。
4、理解离散型随机变量方差时，应该注意的问题：
（1）D表示随机变量对数学期望E的平均偏离程度；
（2）D与E一样也是一个实数，由随机变量的取值唯一确定；
（3）D（a+b）= D≠aD（）+b≠aD（）。
【探导考点】
考点1离散型随机变量数学期望定义及求法：热点①已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的数学期望；热点②求离散型随机变量的数学期望；热点③已知离散型随机变量满足某个特殊分布，求离散型随机变量的数学期望；热点④运用离散型随机变量数学期望的性质，求离散型随机变量的数学期望；热点⑤离散型随机变量的数学期望的运用；
考点2离散型随机变量方差定义及求法：热点①已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的方差；热点②求离散型随机变量的方差；热点③已知离散型随机变量满足某个特殊分布，求离散型随机变量的方差；热点④运用离散型随机变量方差的性质，求离散型随机变量的方差；热点⑤离散型随机变量的方差的运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望。
2、有一批数量很大的产品，其次品率是15℅，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数的期望（结果保留3个有效数字）。
3、一次英语单元测验有20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测验中对每题都从4个选项中随机地选一个，求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
4、某花店每天以毎枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以毎枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元）求X的分布列，数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求随机变量数学期望的问题，解答这类问题需要理解随机变量数学期望的定义和性质，掌握求随机变量数学期望的基本方法；
（2）求随机变量数学期望的一般方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质进行验证；④运用公式：E=+ + +-------求出数据变量的数学期望。
〔练习1〕解答下列问题：
1、随机投掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。
2、某工厂规定，如果工人在一个季度里有一个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有二个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有三个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成生产任务，则没有奖金。假设某工人每月完成生产任务与否是等可能的，求此工人在一季度里所得奖金的期望。
3、一个盒子里装有5张卡片，分别标有数2,3,4,5,6；另一个盒子里则装有分别标有3,4,5,6,7五个数的5张卡片。
（1）从第一个盒子里任意取出一张卡片，求此卡片上的数的期望；
（2）从两个盒子里各任意取一张卡片，求所取出的两张卡片的数之和的期望；
4、一批数量较大的商品的次品率为6℅，从中任意地陆续取出20件，求其中次品数的期望。
5、同时抛掷2枚均匀硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为，求E。
6、抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数的期望。
7、袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的概率分布和数学期望；
8、一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
模5个球中
白球的个数 5 个 4 个 3个 白球少于3个
中彩发放 1顶帽子 1张贺卡 纪念品 同乐一次
的奖品 （价值20元） （价值2元） （价值0.5元） (无任何价值)
试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；
（2）按模1000次统计，这个人能否赚钱，如果赚钱，求出净赚多少钱（精确到元）；
9、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量比赛所选3人中女生的人数。
（1）求的分布列；
（2）求的期望；
（3）求“所选3人中女生人数≤1”的概率；
10、两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？
11、一袋中装有6只球，编号为1,2,3,4,5,6，在袋中同时取出3只球，求3只球中的最大号码的数学期望。
12、设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则表示宣告结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望；
13、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，6个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得10元奖金，摸出两个红球可获得50元奖金，现有甲、乙两位顾客，规定甲模一次，乙模两次，令X表示甲、乙两位顾客模球后获得的奖金总额，求：
（1）X的分布列；
（2）X的均值；
14、A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队3名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
对
对
对
现按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后总分分别为、。
（1）求、的分布列； （2）求E、E；
15、有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字和为，求E。
【典例2】解答下列问题：
已知离散型随机变量、的分布列分别如下表：
离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布
1 2 3 4 5 6 7 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
p p
求这两个随机变量的期望、方差与标准差；
2、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：
击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10
概率p 0.2 0.6 0.2 概率p 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平；
3、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量大致相等，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列如下表：
0 1 2 3 0 1 2 3
p 0.3 0.3 0.2 0.2 p 0.1 0.5 0.4 0
试评定这两个保护区的管理水平。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求离散型随机变量方差的问题，解答这类问题需要理解离散型随机变量方差的定义和性质，掌握求离散型随机变量方差的基本方法；
（4）求离散型随机变量方差的一般方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质进行验证；④运用公式：D=.+ .+-------+.求出离散型随机变量的方差。
〔练习2〕解答下列问题：
1、有甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为、（单位：s）其分布列如下表：
-1 0 1 2 -2 - 1 0 1 2
p 0.1 0.8 0.1 0 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据两种品牌手表的日走时误差的期望与方差比较两种品牌手表的质量；
2、有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：
28 29 30 31 32 28 29 30 31 32
p 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 p 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中、表示纤维长度（单位：mm），根据纤维长度的期望与方差比较两种棉花的质量。
【雷区警示】
【典例3】解答下列问题：
下午第三节体育课进行篮球达标测试，规定：每位同学有5次投篮的机会，若投中3次，则达标；否则，不达标。为了节约时间，同时规定：若投篮不到5次就达标，则停止投篮；若有3次未投中，不能达标，则停止投篮。已知李俊同学投篮的命中率为，且每次投篮互不影响，设X为测试中李俊投篮的次数，求X的概率分布列及数学期望。
有一所自主招生的高校设计了一个试验考试方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部试验操作，至少正确完成其中2题的便可通过，设系数甲，乙正确完成的题数分别为X，Y，其分布列如表所示：
X 1 2 3 Y 0 1 2 3
p p
则甲，乙两人中试验操作能力较强的是（ ）
A 甲 B 乙 C 一样强 D 无法判定
『思考问题3』
【典例3】是解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视离散型随机变量分布列的正确计算，导致解答问题出现错误；②解答实际应用问题时，忽视问题的全面考虑，导致解答问题出现错误；
解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，为避免忽视离散型随机变量分布列的正确计算的雷区，需要理解离散型随机变量分布列的定义，掌握离散型随机变量分布列计算的基本方法；
解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，为避免解答实际应用问题时，忽视问题的全面考虑的雷区，需要理解随机变量数学期望和方差的定义，掌握解答实际应用问题的基本方法。
〔练习3〕解答下列问题：
每年的3月12日是我国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测，现从甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根据抽测结果，作出茎叶图，并由茎叶图对甲，乙两批树苗的高度作比较，写出对两批树苗高度的统计结论；
若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列及数学期望。
2、两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、甲，乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。
（1）求第二次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，则E（）=，记前n次（即从第一次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求E（Y）（2023全国高考新高考I）。
2、甲，乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与数学期望（2022全国高考甲卷理）
3、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中在随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（2021全国高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答哪类问题？并说明理由。
4、《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平，中国近代建筑之父梁恩成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《（营造法式）注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业，已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
在这100份作业的样本中，从成绩在[50，80）的大四学生作业中随机抽取2份，记抽取的这2份作业中成绩在[60，70）的份数为X，求X的分布列与数学期望。
成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数（不分年级） 4 x 20 38 30
频数（大三年级） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率；
（2）估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2021成都市高三三诊）
5、2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；
（2）现从年龄在,[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零诊）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与随机变量数学期望（或方差）的问题，归结起来主要包括：①离散型随机变量数学期望（或方差）定义及运用；②求离散型随机变量数学期望（或方差）等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内），并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，经统计得到了如图所示的频率分布直方图（2019成都市高三零诊）。
（1）求频率分布直方图中a的值；并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
（2）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x-y|＞60，则这两个同学组成一个“Tean”,已知从每天诵读诗词的时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Tean”的概率。
2、（理）某部门为了解企业在生产过程中的用水量情况，对每 7 3 1
天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据， 8 3 5 6 7 8 9
从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所 9 5 7 8 9
示的茎叶图（单位：吨），若用水量不低于95吨，则称这一天
的用水量超标。
（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天用水量超标的概率；
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望。
（文）某部门为了解企业在生产过程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情况，对每天的用水量作了记录，得到了该企业（单位：吨）
的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机 频数 3 6 m
抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统 频率 n 0.5 p
计结果如右表：（2018成都市高三一诊）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知样本中日用水量在［80,90）内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89，从六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率。
3、（理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果气温不低于25，需求量为500瓶；如果气温位于区间［20，25），需求量为300瓶；如果气温低于20，需求量为200瓶。为了确定6月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：
最高气温 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（2017全国高考新课标III卷）。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？
（文）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率。
随机变量的数学期望和方差
【考纲解读】
理解随机变量数学期望的定义，掌握求随机变量数学期望的基本方法，能够计算简单离散型随机变量的数学期望，并能解决一些实际问题；
理解随机变量方差的定义，掌握求随机变量方差的基本方法，能够计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
【知识精讲】
一、离散型随机变量的期望：
1、随机变量数学期望的定义：
（1）离散型随机变量数学期望的定义：
若离散型随机变量的分布列为：则称 ------ --------
E=+ + +------- P ----- --------
为离散型随机变量的数学期望，简称期望；
（2）离散型随机变量数学期望的意义：离散型随机变量数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
2、离散型随机变量数学期望的性质：
（1）E（c）=c（c为常数）；
（2）E（a+b）=aE()+b(a、b为常数)；
（3）若离散型随机变量满足二项分布—B（n，p），则E（）=np；
（4）若离散型随机变量满足几何分布—g（k，p），则E（）= ；
（5）若离散型随机变量满足0—1分布，则E（）=p。
3、求离散型随机变量数学期望的基本方法：
求离散型随机变量数学期望的基本方法是：①根据问题条件确定离散型随机变量的可能取值；②运用求随机事件概率的基本方法求出离散型随机变量每个取值的概率；③由②得出离散型随机变量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出随机变量的数学期望。
4、理解离散型随机变量数学期望时，应该注意的问题：
（1）离散型随机变量数学期望是算术平均值概念的推广，是离散型随机变量意义下的平均值；
（2）E（）是一个实数，由的取值唯一确定，即作为随机变量是可变的，而E（）是不变的，它描述值取值的平均状态；
（3）在求E时，可直接运用公式：E=进行计算；
（4）E（a+b）=aE+b，说明随机变量线性函数=a+b的期望等于随机变量数学期望的线型函数，特别地：①当b=0时，E(a)=aE；②当a=1时，E（+b）=E+b；③当a=0时，E（b）=b。
二、离散型随机变量的方差：
1、离散型随机变量方差的定义：
（1）离散型随机变量方差的定义：设离散型随机变量 所有可能的取值为： ， ------ --------且取这些值的概率分别是： ，----- --------，则把D=.
+.+-------+.+-------叫做离散型随机变量的均方差，简称方差；D的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，记作=；
（2）离散型随机变量的方差的意义：离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值的稳定性，及离散型随机变量对E（）的平均偏离程度。
2、离散型随机变量方差的性质：
（1）D= ；
（2）D（a+b）= D(a、b为常数)；
（3）若随机变量满足0—1分布，则D=p(1-p)；
（4）若随机变量满足二项分布B（n,p），则D=np(1-p)；
（5）若随机变量满足几何分布g(k,p)，则D= 。
3、求离散型随机变量数学期望的基本方法：
求离散型随机变量数学期望的基本方法是：①根据问题条件确定离散型随机变量的可能取值；②运用求随机事件概率的基本方法求出离散型随机变量每个取值的概率；③由②得出离散型随机变量的概率分布列；④利用公式E=+ + +-------求出离散型随机变量的数学期望；⑤运用公式D=.+.+-------
+.+------求出离散型随机变量的方差。
4、理解离散型随机变量方差时，应该注意的问题：
（1）D表示随机变量对数学期望E的平均偏离程度；
（2）D与E一样也是一个实数，由随机变量的取值唯一确定；
（3）D（a+b）= D≠aD（）+b≠aD（）。
【探导考点】
考点1离散型随机变量数学期望定义及求法：热点①已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的数学期望；热点②求离散型随机变量的数学期望；热点③已知离散型随机变量满足某个特殊分布，求离散型随机变量的数学期望；热点④运用离散型随机变量数学期望的性质，求离散型随机变量的数学期望；热点⑤离散型随机变量的数学期望的运用；
考点2离散型随机变量方差定义及求法：热点①已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的方差；热点②求离散型随机变量的方差；热点③已知离散型随机变量满足某个特殊分布，求离散型随机变量的方差；热点④运用离散型随机变量方差的性质，求离散型随机变量的方差；热点⑤离散型随机变量的方差的运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，命不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量分布列定义与性质；②离散型随机变量数线期望定义与性质；③求离散型随机变量分布列的基本方法；④求离散型随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量分布列和数学期望差的性质，运用求离散型随机变量分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的分布列，从而求出的数学期望。
【详细解答】运动员罚球1次的得分为随机变量，随机变量的可能取值为1，0，
P（=1）=0.7，P（=0）=1-0.7=0.3，随机变量的分布列如表 1 0
所示，随机变量的数学期望为E=10.7+00.3=0.7（分）。 p 0.7 0.3
2、有一批数量很大的产品，其次品率是15℅，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数的期望（结果保留3个有效数字）。
【解析】
【知识点】①几何分布列定义与性质；②离散型随机变量数线期望定义与性质；③求几何分布离散型随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量分布列和数学期望差的性质，运用求离散型随机变量分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的分布列，从而求出的数学期望。
【详细解答】抽查次数为随机变量，随机变量满足几何分布，P=0.15，E
=6.67。
一次英语单元测验有20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙在测验中对每题都从4个选项中随机地选一个，求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
【解析】
【知识点】①二项分布列定义与性质；②离散型随机变量数线期望定义与性质；③求二项分布离散型随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量分布列和数学期望差的性质，运用求离散型随机变量分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的分布列，从而求出的数学期望。
【详细解答】设甲学生在这次英语单元测验中的成绩为，乙学生在这次英语单元测验中的成绩为，抽随机变量，满足二项分布，甲，乙学生每题选对的概率分别为0.9,，0.25，E=1000.9=90（分），E=1000.25=25（分）。
4、某花店每天以毎枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以毎枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元）求X的分布列，数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。
【解析】
【知识点】①分段函数定义与性质；离散型随机变量分布列定义与性质；②求分段函数解析式的基本方法；离散型随机变量数线期望定义与性质；③求离散型随机变量分布列的基本方法；④求离散型随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据分段函数的性质，运用求分段函数解析式的基本方法，几何问题条件就可求出天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式；根据离散型随机变量分布列和数学期望差的性质，运用求离散型随机变量分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的分布列，从而求出的数学期望。
【详细解答】（1）当0-80=80，天的利润y关于当天需求量n的 函数解析式为 y= 80，n≥80；
①当天的利润为随机变量X，随机变量X的可能取值为60，70，80，p（X=60）
=0.1，p（X=70）=0.2，p（X=80）=0.7，随机变量X的 X 60 70 80
分布列如表所示，EX=600.1+700.2+800.7=76（元）， p 0.1 0.2 0.7
方差DX=2560.1+360.2+160.7=44；②若花店计划一天购进17枝，随机变量X的可能取值为55，65，75，85，p（X=55）=0.1，p（X=65） Y 55 65 75 85
=0.2，p（X=75）=0.16，p（X=85）=0.54，随机变量 p 0.1 0.2 0.16 0.54
X的分布列如表所示，EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4（元），DY=457.960.1
+129.960.2+1.960.16+73.960.54=112.04， EX=76『思考问题1』
（1）【典例1】是求随机变量数学期望的问题，解答这类问题需要理解随机变量数学期望的定义和性质，掌握求随机变量数学期望的基本方法；
（2）求随机变量数学期望的一般方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质进行验证；④运用公式：E=+ + +-------求出数据变量的数学期望。
〔练习1〕解答下列问题：
1、随机投掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望（答案：所得骰子的点数的期望为。）
2、某工厂规定，如果工人在一个季度里有一个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有二个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有三个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成生产任务，则没有奖金。假设某工人每月完成生产任务与否是等可能的，求此工人在一季度里所得奖金的期望。
（答案：此工人在一季度里所得奖金的期望为153.75元。）
3、一个盒子里装有5张卡片，分别标有数2，3，4，5，6；另一个盒子里则装有分别标有3，4，5，6，7五个数的5张卡片。
（1）从第一个盒子里任意取出一张卡片，求此卡片上的数的期望；
（2）从两个盒子里各任意取一张卡片，求所取出的两张卡片的数之和的期望；
（答案：（1）从第一个盒子里任意取出一张卡片，此卡片上的数的期望为4；（2）从两个盒子里各任意取一张卡片，所取出的两张卡片的数之和的期望为9。）
4、一批数量较大的商品的次品率为6℅，从中任意地陆续取出20件，求其中次品数的期望。（答案：E=1.2（件））
5、同时抛掷2枚均匀硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为，求E。
（答案：E=25（次））
6、抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数的期望。（答案：在30次试验中成功次数的期望为（次））
7、袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的概率分布和数学期望；
（答案：得分的概率分布列为 5 6 7 8 得分的数学期望为
p E=（分））
8、一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
模5个球中
白球的个数 5 个 4 个 3个 白球少于3个
中彩发放 1顶帽子 1张贺卡 纪念品 同乐一次
的奖品 （价值20元） （价值2元） （价值0.5元） (无任何价值)
试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；
按模10000次统计，这个人能否赚钱，如果赚钱，求出净赚多少钱（精确到元）。
（答案：（1）摸一次能获得20元奖品的概率为；（2）按模10000次统计，这个人能赚钱，期望净赚4318元。）
9、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量比赛所选3人中女生的人数。
（1）求的分布列；
（2）求的期望；
（3）求“所选3人中女生人数≤1”的概率；
（答案：（1）随机变量的分布列为 0 1 2 （2）的期望为E=1
P （人）；（3）“所选3人中女生人数≤1”的概率为。 ）
10、一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取出3只球，求3只球中的最大号码的数学期望。（答案：随机变量的数学期望为E=。）
11、设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则表示宣告结束，假定A、B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望。
（答案：需要比赛场数的期望为EX=（场））
12、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，6个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得10元奖金，摸出两个红球可获得50元奖金，现有甲、乙两位顾客，规定甲模一次，乙模两次，令X表示甲、乙两位顾客模球后获得的奖金总额，求：
（1）X的分布列； （2）X的均值。
（答案：（1）随机变量X的分布列为 X 0 10 20 50 60
P
随机变量X的均值为EX= 元。）
13、A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队3名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
对
对
对
现按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后总分分别为，。
求、的分布列； （2）求E、E。
（答案：（1）随机变量，的分布列分别如下表所示：
0 1 2 3 0 1 2 3
p p
E=，E=。）
14、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字和为，求E。（答案：E=。）
【典例2】解答下列问题：
1、已知离散型随机变量，的分布列分别如下表：
离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布
1 2 3 4 5 6 7 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
p p
求这两个随机变量的期望、方差与标准差；
【解析】
【知识点】①离散型随机变量数学期望定义与性质；②离散型随机变量方差定义与性质；③离散型随机变量标准差定义与性质；④求离散型随机变量数学期望的基本方法；⑤求离散型随机变量方差的基本方法；⑥离散型随机变量标准差的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量数学期望，方差和标准差的性质，运用求离散型随机变量数学期望，方差和标准差的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量，的数学期望，方差和标准差。
【详细解答】E=1+2+3+4+5+6+7=4（s），E=3.7
+3.8+3.9+4+4.1+4.2+4.3=4（s），D=9+4+1
+0+1+4+9=4，D=0.09+0.04+0.01+0+0.01+0.04
+0.09=0.04，==2，==0.2。
2、甲，乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：
击中环数 8 9 10 击中环数 8 9 10
概率p 0.2 0.6 0.2 概率p 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量数学期望定义与性质；②离散型随机变量方差定义与性质；③求离散型随机变量数学期望的基本方法；④求离散型随机变量方差的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量数学期望和方差的性质，运用求离散型随机变量数学期望，和方差的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量，的数学期望和方差，从而比较两名射手的射击水平。
【详细解答】E=80.2+90.6+100.2=9（环），E=80.4+90.2+100.4=9（环），D=10.2+00.6+10.2=0.4，D=10.4+00.2+10.4=0.8，D=0.43、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量大致相等，两
个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列如下表：
0 1 2 3 0 1 2 3
p 0.3 0.3 0.2 0.2 p 0.1 0.5 0.4 0
试评定这两个保护区的管理水平。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量数学期望定义与性质；②离散型随机变量方差定义与性质；③求离散型随机变量数学期望的基本方法；④求离散型随机变量方差的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量数学期望和方差的性质，运用求离散型随机变量数学期望，和方差的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量，的数学期望和方差，从而比较两个保护区的管理水平。
【详细解答】E=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3（次），E=00.1+10.5+20.4
+30=1.3（次），D=1.690.3+0.090.3+0.490.2+2.890.2=1.21，D=1.690.1
+0.090.5+0.490.4+2.890=0.41，D=1.21>D=0.41，甲保护区的稳定性低于乙保护区的稳定性，从而得出甲保护区的管理水平低于乙保护区的管理水平。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求离散型随机变量方差的问题，解答这类问题需要理解离散型随机变量方差的定义和性质，掌握求离散型随机变量方差的基本方法；
（4）求离散型随机变量方差的一般方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质进行验证；④运用公式：D=.+ .+-------+.求出离散型随机变量的方差。
〔练习2〕解答下列问题：
1、有甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为、（单位：s）其分布列如下表：
-1 0 1 2 -2 - 1 0 1 2
p 0.1 0.8 0.1 0 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据两种品牌手表的日走时误差的期望与方差比较两种品牌手表的质量；
（答案：E=0（s）=E=0（s），D=0.22、有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：
28 29 30 31 32 28 29 30 31 32
p 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 p 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13
其中，表示纤维长度（单位：mm），根据纤维长度的期望与方差比较两种棉花的质量。
（答案：E=30（mm）=E=30（mm），D=1.1【雷区警示】
【典例3】解答下列问题：
下午第三节体育课进行篮球达标测试，规定：每位同学有5次投篮的机会，若投中3次，则达标；否则，不达标。为了节约时间，同时规定：若投篮不到5次就达标，则停止投篮；若有3次未投中，不能达标，则停止投篮。已知李俊同学投篮的命中率为，且每次投篮互不影响，设X为测试中李俊投篮的次数，求X的概率分布列及数学期望。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法；⑤求离散型随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量X的概率分布列，从而求出离散型随机变量X的数学期望。
【详细解答】测试中李俊投篮的次数为随机变量X，随机变量X的可能取值为3，4，5，p（X=3）=+=，p（X=4）=+=，p（X=5）=+=， X 3 4 5
随机变量X的概率分布列为： P
随机变量X的数学期望EX=3+4+5=（次）。
2、有一所自主招生的高校设计了一个试验考试方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部试验操作，至少正确完成其中2题的便可通过，设系数甲，乙正确完成的题数分别为X，Y，其分布列如表所示：
X 1 2 3 Y 0 1 2 3
p p
则甲，乙两人中试验操作能力较强的是（ ）
A 甲 B 乙 C 一样强 D 无法判定
【解析】
【知识点】①离散型随机变量数学期望定义与性质；②离散型随机变量方差定义与性质；③求离散型随变量数学期望的基本方法；④求离散型随机变量方差的基本方法。
【解题思路】（1）根据离散型随机变量数学期望和方差的性质，运用求离散型随机变量数学期望和离散型随机变量方差的基本方法，结合问题条件求出离散型随机变量X，Y的数学期望和方差，从而比较出甲，乙试验操作的能力谁强就可得出选项。
【详细解答】EX=1+2+3=2（题），EY=0+1+2+3=2（题），DX=1+0+1=，EY=4+1+0+1=，DX==，虽然甲，乙两人的数学期望值一样，但甲的方差小于乙的方差，说甲的稳定性比乙的稳定性好，即甲，乙两人中试验操作能力甲较强，A正确，选A。
『思考问题3』
【典例3】是解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视离散型随机变量分布列的正确计算，导致解答问题出现错误；②解答实际应用问题时，忽视问题的全面考虑，导致解答问题出现错误；
解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，为避免忽视离散型随机变量分布列的正确计算的雷区，需要理解离散型随机变量分布列的定义，掌握离散型随机变量分布列计算的基本方法；
解答离散型随机变量数学期望（或方差）问题时，为避免解答实际应用问题时，忽视问题的全面考虑的雷区，需要理解随机变量数学期望和方差的定义，掌握解答实际应用问题的基本方法。
〔练习3〕解答下列问题：
每年的3月12日是我国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测，现从甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根据抽测结果，作出茎叶图，并由茎叶图对甲，乙两批树苗的高度作比较，写出对两批树苗高度的统计结论；
若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列及数学期望。
2、两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数、的分布列是：
0 1 2 3 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1 p 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床的产量相同，哪台车床更好一些？
（答案：E=1（个）>E=009（个），D=1>D=0.49，后一台车床比前一台车床更好一些。）
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、甲，乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。
（1）求第二次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，则E（）=，记前n次（即从第一次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求E（Y）（2023全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①相互独立事件概率定义与性质；②求相互独立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤随机变量概率分布定义与性质；⑥求随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据相互独立事件和互斥事件概率的性质，运用求相互独立事件概率和互
斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出第二次投篮的人是乙的概率；（2）根据相互独立事件和互斥事件概率的性质，运用求相互独立事件概率和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出第i次投篮的人是甲的概率；（3）由（2）得到随机变量Y的概率分布列，根据随机变量概率分布列的性质，运用求随机变量数学期望的基本方法就可求出E（Y）的值。
【详细解答】（1）设第n次甲投篮命中的事件为，设第n次乙投篮命中的事件为，第二次投篮的人是乙的事件为C，第二次投篮的人是乙的可能情况有两种，其一，第一次投篮的人是甲，且甲第一次投篮没有命中；其二，第一次投篮的人是乙，且乙第一次投篮命中，
p（C）=0.5（1-0.6）+0.50.8=0.2+0.4=0.6，即第二次投篮的人是乙的概率为0.6；（2）设第i次投篮的人是甲的事件为，当i=1时，p（）=0.5，当i≥2时，p（）=0.6p（）+0.2（1-p（））=0.4p（）+0.2，p（）-=（p（）-），p（）=0.5（1-0.8）+0.50.6=0.1+0.3=0.4，-=，-=，数列{（p（）-}是以为首项，为公比的等比数列，p（）-=，p（）=+，
即第i次投篮的人是甲的概率为+；（3）设第i次投篮的人是甲的事件为，
随机变量Y的概率分布列满足：p（）=+（i=1，2，---n，），
E（Y）===+=（1-）+（n）。
2、甲，乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0
分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与数学期望（2022全国高考甲卷理）
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②互斥事件定义与性质；③求相互独立事件概率的基本方法；④求互斥事件概率的基本方法；⑤随机变量概率分布列定义与性质；⑥随机变量数学期望定义与性质；⑦求随机变量概率分布列和数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据相互独立事件和互斥事件的性质，运用求相互独立事件和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲学校获得冠军的概率；（2）根据随机变量概率分布列和数学期望的性质，运用求随机变量概率分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出随机变量X的分布列与数学期望。
【详细解答】（1）设甲学校获得冠军的事件为A，甲学校获得冠军要么比赛的三个项目都获胜，要么是比赛的三个项目中两个获胜，甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， p（A）=0.50.40.8+0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.16+0.04
+0.24+0.16=0.6；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为0，10，20，30，p（X=0）=0.50.40.8=0.16，p（X=10）=0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.44，
p（X=20）=0.5（1-0.4）(1-0.8)+（1- 0.5）(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.4（1-0.8）=0.06+0.24
+0.04=0.34，p（X=30）=（1-0.5）（1-0.4）(1-0.8)=0.06，随机变量X的概率分布列如表所示，随机变量X的数学期望为E（X） X 0 10 20 30
=00.16+100.44+200.34+300.06=0 p 0.16 0.44 0.34 0.06
+4.4+6.8+1.8=13（分）。
3、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中在随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（2021全国高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答哪类问题？并说明理由。
【解析】
【考点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本求法；③求随机变量概率分布列的基本方法；④求随机变量数学期望的基本求法。
【解题思路】（1）根据古典概率的性质和求古典概率的基本方法，结合问题条件分别求出X=0分，X=20分，X=100分的概率，运用求随机变量分布列的基本方法就可求出小明先回答A类问题，记X为小明累计得分时，X的分布列；（2）根据求随机变量概率分布列的基本方法，结合问题条件求出频率的求法求出小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分时，Y的分布列，运用求随机变量数学期望的基本方法，分别求出小明先回答A类问题，随机变量X的数学期望和小明先回答B类问题，随机变量Y的数学期望，比较两个变量的数学期望就可得出结论。
【详细解答】（1）随机变量X的可能取值为0分， 随机变量X 0 20 100
20分，100分，p（X=0）=1-0.8=0.2，p（X=20） 概率p 0.2 0.32 0.48
=0.8 （1-0.6）=0.32，p（X=100）=0.8 0.6=0.48，小明先回答A类问题，记X为小明累计得分时，X的分布列如表所示；（2）小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分，随机变量Y的可能取值为0分，80分，100分，p 随机变量Y 0 80 100
（Y=0）=1-0.6=0.4，p（Y=80）=0.6（1-0.8） 概率p 0.4 0.12 0.48
=0.12，p（Y=100）=0.60.8=0.48，小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分时，Y的分布列如表所示, EX=0+0.3220+1000.48=54.4（分），EY=0+0.1280+1000.48=57.6（分），57.6>54.4，为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答B类问题。
4、《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平，中国近代建筑之父梁恩成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《（营造法式）注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业，已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
在这100份作业的样本中，从成绩在[50，80）的大四学生作业中随机抽取2份，记抽取的这2份作业中成绩在[60，70）的份数为X，求X的分布列与数学期望。
成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数（不分年级） 4 x 20 38 30
频数（大三年级） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率；
（2）估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2021成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①频数的定义与性质；②加权平均数计算公式及运用；③随机变量概率分布列的定义与性质；④求随机变量概率分布列的基本方法；⑤随机变量数学期望的定义与性质；⑥求随机变量数学期望的基本方法；⑦随机事件概率大于与性质；⑧求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据频数的性质，结合问题条件分别得到关于x，y的方程，求解方程求出x，y的值，根据求加权平均数公式和基本方法就可求出大三学生作业的平均成绩；（2）运用求随机变量概率分布列的基本方法求出随机变量X的分布列，根据分布列利用求随机变量数学期望的基本方法通过运算就可求出随机变量X的数学期望。（文）（1）根据频数的性质，结合问题条件分别得到关于y的方程，求解方程求出y的值，运用随机事件概率的性质和求随机事件概率的基本方法，就可求出该学生的作业成绩在[60，80）的概率；（2）根据统计表，运用加权平均数计算公式就可求出这100份作业中大三学生作业的平均成绩。
【详细解答】（理）（1）4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，3+6+15+y+12
=100=60，y=60-（3+6+15+12）=24，
=81（分），这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分；（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，这100名学生中成绩在[50，80）的大四学生人数为1+2+5=8（人），成绩在[60，70）的大四学生人数为8-6=2(人)， X 0 1 2
p(X=0)= ==，p(X=1)= p
= = ，p(X=2)= = = ，随机变量X的概率分布列如表所示，随机变量X的数学期望为 0+1+2=。（文）（1）设从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，该学生的作业成绩在[60，80）的事件为A3+6+15+y+12=100=60，
y=60-（3+6+15+12）=24，4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，这100
名学生中大四学生的人数为100=40（人），大四学生中作业成绩在[60，80）的人数为
（8+20）-（6+15）=7（人），p(A)= ，即从选修该门课程的大四学生中随机选取1
名，估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率为；
（2）==81（分），这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分。
5、2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；
（2）现从年龄在,[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①频数分布表的定义与性质；分层抽样的定义与性质；②频率分别直方图的定义与性质；③分层抽样的定义与性质；④分层抽样各层抽样数计算的基本方法；⑤组合的定义与性质；⑥组合数的计算公式与计算方法；⑦古典概率的定义与性质；⑧古典概率计算的基本方法。
【解题思路】（1）根据频数分布表和频率分布直方图的性质，结合问题条件求出频数分布表中m，n的值，就可补全各年龄段频率分布直方图；（2）根据分层抽样的性质和分层抽样各层抽样数计算的基本方法，结合问题条件通过运算分别求出[30，35），[35，40）年龄段抽取的人数，运用组合数计算的基本方法和求古典概率的基本求法，结合问题条件通过运算就可得出选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率。
【详细解答】（1）从频率分布直方图可知[45，50）年龄段的频率为0.025=0.1，n=10000.1=100，m=1000-（200+300+150+100+50）=200，补全各年龄段人数频率分布直方图如图所示；（2）设选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的事件为A，从年龄在,[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表，年龄段在[30，35）选取的人数为5=3（人），年龄段在[35，40）选取的人数为5=2（人），=，=32=6，p（A）==，即从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率为。
『思考问题4』
（1）【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与随机变量数学期望（或方差）的问题，归结起来主要包括：①离散型随机变量数学期望（或方差）定义及运用；②求离散型随机变量数学期望（或方差）等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内），并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，经统计得到了如图所示的频率分布直方图（2019成都市高三零诊）。
（1）求频率分布直方图中a的值；并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
（2）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x-y|＞60，则这两个同学组成一个“Tean”,已知从每天诵读诗词的时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Tean”的概率。
（答案：（1）a=0.0025，估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数64分钟；（2）选取的两人能组成一个“Tean”的概率为。）
2、（理）某部门为了解企业在生产过程中的用水量情况，对每 7 3 1
天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据， 8 3 5 6 7 8 9
从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所 9 5 7 8 9
示的茎叶图（单位：吨），若用水量不低于95吨，则称这一天
的用水量超标。
（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天用水量超标的概率；
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望。
（文）某部门为了解企业在生产过程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情况，对每天的用水量作了记录，得到了该企业（单位：吨）
的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机 频数 3 6 m
抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统 频率 n 0.5 p
计结果如右表：（2018成都市高三一诊）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知样本中日用水量在［80,90）内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89，从六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率。
（答案：（理）（1）从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天用水量超标的概率为；（2）随机变量X的分布列为， X 0 1 2 3 随机变量X的数
p 学期望为为1天。
（文）（1）m=3，n=0.25，p=0.25；（2）抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率为0.8。）
（理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果气温不低于25，需求量为500瓶；如果气温位于区间［20，25），需求量为300瓶；如果气温低于20，需求量为200瓶。为了确定6月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：
最高气温 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（2017全国高考新课标III卷）。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？
（文）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率。
（答案：（理）（1）随机变量X概率的分布列为： X 200 300 500
p
（2）当n=300时，y的数学期望达到最大值520元。（文）（1）六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为；（2）y的可能值为-20元，120元，360元，估计y大于零的概率为。）