第八章 向量的数量积与三角恒等变化——高二下册数学人教B版（2019）单元检测卷（含解析）

第八章 向量的数量积与三角恒等变化
1.已知，，，且与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.1
2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量与的夹角是，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为( )
A.7 B.-17 C.17 D.-7
5.一个质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成60°角且，，则( )
A.6 B.2 C. D.
6.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知：，则( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量，满足，且，则的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
9.（多选）设，都是非零向量，则下列命题中正确的是( )
A.若，的夹角为钝角，则
B.若，则
C.若，则，的夹角为锐角
D.若，则与同向
10.（多选）已知向量，，则( )
A. B.
C. D.与向量同向的单位向量是
11.（多选）若平面向量，，满足，，且，则( )
A.的最小值为2
B.的最大值为5
C.的最小值为2
D.的最大值为
12.（多选）计算下列各式，结果为的是( )
A.
B.
C.
D.
13.已知向量，的夹角的余弦值为，，且，则________.
14.已知向量，满足，，，则与的夹角为________________.
15.若，，则______.
16.已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围________.
17.已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求.
18.已知向量，.
（1）求的值；
（2）求·及向量在向量上的投影向量的坐标；
（3）若，，且A，B，C三点共线，求m的值.
19.已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)若，求实数k的值.
20.如图，在平行四边形ABCD中，，令，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以，
又，，且与垂直，
所以，
所以.故选C.
2.答案：B
解析：由题意可得，，，，
所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.
3.答案：C
解析：由可得，
因为平面向量与的夹角是，且，
所以故选：C.
4.答案：D
解析：由向量与反向，故且，
即有，由向量在向量上的投影向量为，
可得，即，故，
则.故选：D.
5.答案：D
解析：物体处于平衡状态，，即，
.
6.答案：D
解析：因为，
所以.
两边除以，得.故选：D.
7.答案：D
解析：由
，
则
.故选：D.
8.答案：D
解析：和分别表示向量方向上的单位向量和向量方向上的单位向量，
由，知的平分线与BC垂直，为等腰三角形，且，，又，，为等边三角形.
故选D.
9.答案：AB
解析：对A，，的夹角为钝角，则，所以，
对，对，当时，以，为邻边的平行四边形是矩形，所以，B对.
对，当，同向时，有，所以错.对D，，，所以与反向，错.故选
10.答案：AD
解析：向量，，，，故A正确；
，，，与不平行，故B错误；
，故C错误；对于D，与向量同向的单位向量是，故D正确.故选：AD.
11.答案：BD
解析：当向量，方向相同，与方向相反时，满足，此时有最小值，A选项错误；
当向量，，方向相同时，满足，此时有最大值，B选项正确；
，有，即，则，
向量，方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；
向量，方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.
故选：BD.
12.答案：AC
解析：对于A，
，故A正确；
对于B，因，
可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.故选：AC.
13.答案：4
解析：向量，的夹角的余弦值为，，则，由，解得(负值舍去).故答案为：4.
14.答案：
解析：由，得，即，
所以，，
因为，所以与夹角为.故答案为：.
15.答案：2
解析：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以上式可化为：.故答案为：2.
16.答案：
解析：与夹角为锐角时，
；
解得；
当与同向时，设，且，
则：，
解得，；实数的取值范围为.
17.答案：（1）
（2）-30
解析：（1）因为，所以，解得.
（2）由题意得，，由，得，则，即，解得或(舍去).
因为，
所以.
18.答案：（1）5
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1），，
，
；
（2），，
；
向量在向量上的投影向量为
（3）A，B，C三点共线
，
，，
19.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为，，，
所以，
所以，又，
所以与的夹角为；
(2)；
(3)因为，
所以存在实数使，所以，
解得.
20.答案：（1），，
（2）
解析：（1）因为，，且ABCD是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）方法一：由（1）知，，
又，，，
所以，，，
即，
解得，，
所以
方法二：因为，，所以，
因为，且，
所以，
解得，
所以，
又，
所以.