沪教版八年级数学上册试题 第十六章《二次根式》单元复习题 （含解析）

第十六章《二次根式》单元复习题
一、单选题
1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．能使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．下列四个算式正确的是（　　）
A． B．
C．＝× D．
5．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A．7 B．-7 C． D．无法确定
7．下列结论正确的是（　　）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最简二次根式
8．下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知.则xy=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题
11．比较大小：___________（用“>”、“<”或“=”填空）
12．的一个有理化因式是______．
13．已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
14．若成立，则的取值范围是__________．
15．化简二次根式：______（）．
16．计算：=______ =______
17．根式化简后的结果是__________．
18．如图．从一个大正方形中裁去面积为cm2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________ cm2．
19．设，其中n为正整数，则____．
三、解答题
20．计算：.
21．计算：
(1) (2)
22．计算：
(1) (2)
23．先化简再计算：，其中．
24．先化简，再求值：，其中．
25．已知，其中，求．
26．先化简，再求值：，其中，．
27．已知a满足．
(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．
(2)根据（1）的分析，求的值．
28．（1）计算：
_______
_______
_______
（2）由以上计算结果：可知的倒数是_______．
（3）比较与的大小．
29．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：．
(1)化简：______；
(2)观察上述规律并猜想；当是正整数时，______（用含的式子表示，不用说明理由）．
(3)计算：．
30．计算下列各式：
(1)＝1，＝2，＝　，＝　　，＝　．
(2)通过观察并归纳，请写出：＝　　．
(3)计算：＝　　．
31．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
32．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可．
【解析】解：①是二次根式；
②被开方数是负数，不是二次根式；
③开立方也不是二次根式；
④被开方数是负数，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式；
共有3个，
故选：B．
2．A
【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解析】解：A、，故不能与合并，符合题意；
B、，故能与合并，不符合题意；
C、，故能与合并，不符合题意；
D、，故能与合并，不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可得答案．
【解析】∵有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
4．B
【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可．
【解析】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B.，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D.，故选项错误，不符合题意；．
故选：B．
5．D
【分析】先利用二次根式的性质化简，再由同类二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、和，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D
6．A
【分析】根据数轴上点的位置，可得，根据二次根式的性质化简即可求解．
【解析】解：∵由实数在数轴上的位置，可得，
∴，
∴，
故选A．
7．D
【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
8．C
【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．
【解析】解：A．，不符合题意；
B．，a的符号不确定，需分情况，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【解析】
配方得
将代入得：
计算得：
故选：D.
10．C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【解析】解∵
=
=
∴
∴
整理得
∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
二、填空题
11．
【分析】通过作差与比较大小即可得出结论．
【解析】解：
，
又，
，即，
，
故答案为：．
12．
【分析】根据平方差公式和有理化因式的意义即可得出答案．
【解析】∵
∴的一个有理化因式．
故答案为：．
13．
【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可．
【解析】银，根据题意，得
，解得：，
∴ab=2-1=，
故答案为：．
14．x＞2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解析】解：由题意可知：x 1≥0且x 2＞0，
∴x＞2，
故答案是：x＞2．
15．
【分析】根据二次根式有意义的条件判断得出，然后利用二次根式的性质化简即可得出答案．
【解析】解：，，
，
原式；
故答案为：．
16． 24
【分析】运用积的乘方的逆运算：(ab)n=anbn，把写成，再先算乘方再算乘法；按从左到右的顺序运算．
【解析】解：
=
=3×23
=3×8
=24
解：
=
=
故答案为：24，
17．
【分析】由根式可知，，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：由题意可知，
∴
故答案为：．
18．24
【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长为5cm，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可．
【解析】解：∵小正方形的面积8cm2，
∴小正方形的边长为=2(cm)，
∵大正方形的面积18cm2，
∴大正方形的边长为=3(cm)，
∵最外边的大正方形的边长为2+3=5(cm)，
∴S=（5）2=50(cm2)，
∴S阴影=50-8-18=24(cm2)，
故答案为：24．
19．
【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．
【解析】∵n为正整数，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题
20．
．
21．
（1）
原式=
（2）
原式
22．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
23．解：原式
当时，原式．
24．解：原式
，
当时，
原式．
25．，
，
，
，
或（舍去），
，
．
26．解：原式
，
当，时，
原式
．
27．
（1）
解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．解：（1）；
；
；
故答案为：1，1，1；
（2）∵，
∴；
故答案为：；
（3）∵，，，
∴．
29．
（1）
解：，
故答案为：；
（2）
解：当是正整数时，，
∵，
故答案为：；
（3）
解：
=1010．
30．
(1)
＝1；
＝＝2
＝＝3，
＝＝4，
＝＝5，
故答案为为：3；4；5；
(2)
观察上述算式可知：＝n．
故答案为：n；
(3)
＝，
＝＝2，
＝＝3，
…
＝＝26．
故答案为：26．
31．
（1）∵，∴a+b=m2+7n2+2mn，∴．故答案为：，；
（2）∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1．当m=1，n=3时，；当m=3，n=1时，．∴a的值为28或12；
（3）令，则∴．
32．(1)p=，
∴三角形的面积是：
；
(2) ，
∴，
，
∴，
∴
，
又，
∴，
∴这个零件平面图的面积是．