第七章万有引力与宇宙航行典型例题+跟踪训练（有答案）-2023-2024学年高中物理人教版（2019）必修第二册

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第七章万有引力与宇宙航行典型例题+跟踪训练-2023-2024学年高中物理人教版（2019）必修第二册
典型例题
1．2022年6月5日“神舟十四号”载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲将在天和核心舱中在轨驻留6个月。为计算简便，现假设“神舟十四号”飞船绕地球做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船离地面的高度为，已知万有引力常量为G，不计地球的自转影响，求：
（1）地球的质量M；
（2）地球的第一宇宙速度v；
（3）飞船在离地球表面高度为2R处绕地球做匀速圆周运动的周期T。
2．两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为，求：
（1）双星运行周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述双星系统，月球绕其轨道中心运行的周期记为。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为。已知地球和月球的质量分别为和。则与两者平方之比为多少（计算结果保留四位有效数字）
3． “嫦娥五号”探测器已成功实施近月制动，进入环月轨道.探测器在近月点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅰ和近月圆轨道Ⅱ，简化过程如图。已知探测器在轨道Ⅱ上绕月运行的周期为，轨道Ⅰ近月点和远月点到月心距离分别为a和b，引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）探测器在轨道Ⅰ上绕月运行的周期T。
跟踪训练
一、选择题
1．2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船成功对接于空间站（离地面高度约为400km）天和核心舱后向端口。天舟七号货运飞船装载了航天员在轨驻留消耗品、推进剂、应用实（试）验装置等物资，并为神舟十七号航天员乘组送去龙年春节的“年货”。下列说法正确的是（　　）
A．为实现成功对接，天舟七号在与空间站同一轨道上需要加速靠近天和核心舱
B．天舟七号与空间站的组合体在轨道上运行速度大于7.9km/s
C．天舟七号与空间站的组合体在轨道上运行周期比同步卫星的周期大
D．天舟七号与空间站的组合体在轨道上稳定运行时比空间站单独在该轨道运行时动能大
2． 如图所示，a是“天宫一号”飞行器、b、c是地球同步卫星，若“天宫一号”飞行器a和卫星b、c均沿逆时针方向转动，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则（　　）
A．卫星c的加速度大于卫星b的加速度
B．“天宫一号”飞行器a的线速度大于卫星b的线速度
C．天宫的运行速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间
D．在天宫中宇航员由于没有受到地球引力而处于漂浮状态
3．已知火星的半径是地球的a倍，质量是地球的b倍，现分别在地球和火星的表面上以相同的速度竖直上抛小球，不计大气的阻力。则小球在地球上上升的最大高度与在火星上上升的最大高度之比为（　　）
A．b/a B．b2/a C．a / b D．b/a2
4． 2024年3月20日，探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。“鹊桥二号”中继星作为探月四期后续工程的“关键一环”，将架设地月新“鹊桥”，为“嫦娥四号”“嫦娥六号”等任务提供地月间中继通信。3月25日，“鹊桥二号”中继星经过约112小时奔月飞行后，在距月面约440公里处开始实施近月制动，约19分钟后，顺利进入环月轨道飞行，其运动轨迹演示如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．该次发射速度大于第二宇宙速度
B．“鹊桥二号”制动是向运动前方喷气
C．“鹊桥二号”的环月轨道一定为圆周
D．“鹊桥二号”进入环月轨道后不受月球引力
5．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离大约是地球半径R的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（　　）
A．120π B．30π
C．30π D．120π
6． 电影《流浪地球》中，地球开始流浪前要先停止自转。若地球停止自转，下列说法正确的是（　　）
A．静止在两极的物体对地面的压力将减小
B．静止在两极的物体对地面的压力将增大
C．静止在赤道上的物体对地面的压力将减小
D．静止在赤道上的物体对地面的压力将增大
7．宇宙中的“双星系统”是由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，且—般远离其他天体。如图所示，两颗恒星球组成的双星系统，在相互的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗恒星之间的距离为L，质量之比为m1：m2=3：2。则m1、m2做圆周运动（　　）
A．线速度之比为3：2 B．角速度之比为3：2
C．向心力之比为2：3 D．半径之比为2：3
8．中国预计将在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”下列说法正确的是（　　）
A．在绕地轨道中，48h轨道的公转半长轴的三次方与公转周期的二次方之比最大
B．发射时的速度必须达到第二宇宙速度
C．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度小于其在轨道Ⅱ上经过Q点时的速度
D．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度
二、多项选择题
9． 航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为T，着陆后用测力计测得质量为m的砝码重力为F，已知引力常量为G。忽略星球自转影响，以下说法正确的是（　　）
A．航天器在星球表面附近运动的向心加速度大于
B．航天器在星球表面附近运动的向心加速度等于
C．该星球的密度
D．该星球的半径
10． 如图是关于地球表面发射卫星时的三种宇宙速度的示意图，下列说法正确的是（ ）
A．在地球表面附近运动的卫星的速度大于第一宇宙速度
B．在地球表面附近运动的卫星的速度等于第一宇宙速度
C．若想让卫星进入月球轨道，发射速度需大于第二宇宙速度
D．若想让卫星进入太阳轨道，发射速度需大于第二宇宙速度
11． 如图所示，利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形，则霍曼轨道就是一个经过近日点P和远日点Q且都与这两个行星轨道相切的椭圆。当“天问一号”火星探测器到达地球轨道的P点时，瞬时点火后“天问一号”进入霍曼轨道，当“天问一号”运动到霍曼轨道的Q点时，再次瞬时点火后“天问一号”进入火星轨道。正确的是（ ）
A．“天问一号”在地球轨道上的线速度大于在火星轨道上的线速度
B．在P点瞬时点火后加速，“天问一号”的速度需要达到第二宇宙速度
C．在Q点再次瞬时点火加速，是为了增大太阳对“天问一号”的引力
D．“天问一号”沿霍曼轨道运行时在P点的速度最小
12．中国的火星探测器“天问1号”成功在火星表面着陆，图为其运行的轨道示意图，它由椭圆轨道1、椭圆轨道2、圆轨道3、最终经过轨道4落在火星表面附近，最后启动主发动机进行反冲，稳稳地落在火星表面，P点是它们的内切点，关于探测器的上述运动过程，下列说法正确的是（　　）
A．探测器从轨道2到轨道3需要向前喷气减速
B．探测器在轨道2和轨道1的P点加速度大小不相等
C．火星的球心与椭圆的中心重合
D．探测器在轨道2上经过Q点的速度小于经过P点的速度
三、非选择题
13．2023年《三体》电视剧异常火爆，这正展示了人类想了解未知世界的渴望，为延续人类文明防患于未然，人类也需要寻找适宜人类居住的新家园。假设多年后宇航员找到了一类地星球，为了探究星球的相关情况，宇航员降落在星球表面，并做了以下实验（假设该星球为匀质球体，星球半径为R）：
（1）实验Ⅰ：让一石子和一片羽毛分别从相同高度由静止同时释放多次，发现两者总沿竖直方向向下运动并同时落在水平地面上。由此可以判断该星球表面　 　（填“有”或“无”）大气。
（2）实验Ⅱ：在赤道的水平地面上，以一定的水平速度抛出物体，并记录下抛出点的高度h及相应的从抛出到落地过程中的水平位移x，保持不变，改变高度，重复实验多次。并用描点法做出了图像，你认为宇航员做　 　图像最为合理。（选填选项前的相应字母）
A． B． C．
若求出图线的斜率为，则赤道处的重力加速度　 　。
（3）实验Ⅲ：到达极地后，在抛出速度与实验Ⅱ中一样的情况下，重复实验Ⅱ，若得到图像的斜率为。据此宇航员推出了该类地星球的自转周期　 　。（用、、R、表示）
14． 已知地球与月球的质量之比为，地球与月球的半径之比为。忽略地球与月球的自转。
（1）求地球和月球表面的重力加速度大小之比；
（2）若在地球和月球表面附近，分别竖直上抛一个小球，结果两小球上升的最大高度相同，求在地球和月球表面附近竖直上抛的小球的初速度大小之比。
15． 一名宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量，做了如下实验：将一个小球从该星球表面某位置以初速度v竖直向上抛出，小球在空中运动一段时间后又落回原抛出位置，测得小球在空中运动的时间为t，已知引力常量为G，不计阻力。试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）该星球表面的“重力”加速度g的大小；
（2）该星球的质量M；
16．据报道，首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler﹣186f。若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学实验。宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球，落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该行星“北极”表面的重力加速度g；
（2）该行星的平均密度ρ；
（3）经测量该行星自转周期为T，如果该行星存在一颗同步卫星，求其距行星表面的高度H。
17．月-地检验结果表明，地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体间都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？
（1）假若你与同桌的质量均为60 kg，相距0.5 m。粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10-11 N·m2/kg2)。
（2）一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10-5 N，是你和你同桌之间引力的多少倍？
（3）在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
典型例题解析
1．2022年6月5日“神舟十四号”载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲将在天和核心舱中在轨驻留6个月。为计算简便，现假设“神舟十四号”飞船绕地球做匀速圆周运动，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船离地面的高度为，已知万有引力常量为G，不计地球的自转影响，求：
（1）地球的质量M；
（2）地球的第一宇宙速度v；
（3）飞船在离地球表面高度为2R处绕地球做匀速圆周运动的周期T。
【答案】（1）解：根据地球表面物体的重力等于万有引力，有
得
（2）解：地表附近卫星做匀速圆周运动，重力提供向心力
联立解得
（3）解：卫星的轨道半径为
根据万有引力提供向心力
联立解得
2．两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为和，它们之间的距离为，引力常量为，求：
（1）双星运行周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述双星系统，月球绕其轨道中心运行的周期记为。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为。已知地球和月球的质量分别为和。则与两者平方之比为多少（计算结果保留四位有效数字）
【答案】（1）双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，
对质量为的星体：
对质量为的星体：
且
解得：
（2）若认为地球和月球都围绕中心连线某点做匀速圆周运动，根据题意可知，，地月距离设为，由（1）可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
解得
则
故。
3． “嫦娥五号”探测器已成功实施近月制动，进入环月轨道.探测器在近月点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅰ和近月圆轨道Ⅱ，简化过程如图。已知探测器在轨道Ⅱ上绕月运行的周期为，轨道Ⅰ近月点和远月点到月心距离分别为a和b，引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）探测器在轨道Ⅰ上绕月运行的周期T。
【答案】（1）探测器在轨道II上运动时
解得
（2）轨道Ⅰ的半长轴为
根据开普勒第三定律有
解得
跟踪训练解析
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B
12．【答案】A,D
13．【答案】（1）无
（2）C；
（3）
14．【答案】（1）设地球与月球的质量分别为、，地球与月球的半径分别为、，则有
解得
（2）设小球上升的最大高度为h，则有
解得
15．【答案】（1）解：由运动学公式得
解得该星球表面的重力加速度的大小
（2）解：质量为m的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得
解得该星球的质量为
16．【答案】（1）解：根据
解得行星“北极”表面的重力加速度为
（2）解：根据
可得行星的质量为
则行星的平均密度为
（3）解：万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
联立解得同步卫星距离行星表面高度为
17．【答案】（1）解：F＝G＝6.67×10-11× N≈1×10-6 N
（2）解：芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍。
（3）解：两个人之间的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起。故在进行受力分析时，一般不考虑两物体间的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。
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