4 分 式方程
第1课时 分式方程的定义及解法
【学习目标】
1、能找出现实情景中的等量关系；通过设适当的未知数根据等量关系列出分式方程；
2、通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；
3.体会分式方程到整式方程的转化思想，掌握分式方程的解法；了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性；
【学习策略】
掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数解应用题方法等，列出分式方程．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．对于解分式方程，学生已经学过等式的基本性质，分式的通分，一元一次方程的解法，所以，解分式方程的根本在于去分母，将分式方程化为整式方程，而要去分母，方程的两边要同乘以最简公分母，这是关键.
【学习过程】
一、情境导入：
甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已
知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
二.新课学习：
回顾刚才我们得出的 4个方程：
（2） （3）
（4）
它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？
上面所得到的方程有什么共同特点？
方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程。
这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程：分母中含有未知数得方程。
例1.解分式方程：
例2.解方程
下列哪种解法准确？
例3.解分式方程
解法一： 将原方程变形为
方程两边都乘以 ,得：
解这个方程，得：
解法二： 将原方程变形为
方程两边都乘以 ,得：
解这个方程，得：
你认为是原方程的根？与同伴交流。
三、尝试应用：
1.找找看,下列方程哪些是分式方程：
（1） （2） （3） （4）
2. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共 69000 ，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3．设退耕还林的面积为 x ，那么 x 满足怎样的分式方程
3.解方程：
（1） （2）
四、课堂小结
1.分式方程概念，解分式方程的一般步骤.
2.增根与验根.
3.解分式方程容易发生的错误.
4.在解分式方程中你有何收获与体会.
5.要注意灵活运用解分式方程的步骤.
同时要有简算意识,提高运算的速度和准确性
五.达标测试
一、选择题
1．下列方程：（1）=5，其中是分式方程的有（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
2．解分式方程时，去分母后可得到（ ）
A．x（2+x）﹣2（3+x）=1 B．x（2+x）﹣2=2+x
C．x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x） D．x﹣2（3+x）=3+x
3．若x=﹣3是分式方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．已知x=1是分式方程的根，则实数k= ．
5．在数轴上，点A、B对应的数分别为2，，且A、B两点关于原点对称，则x的值为 ．
6．方程=的解是 ．
三、解答题
7．解方程：
（1）； （2）．
8．要使与的值相等，则x为多少？
9．试问：当k为何值时，方程有增根？
参考答案
达标测试答案：
一、选择题
1．【解析】选D．（1）的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
（2）（3）（4）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
2．【解析】：选C．方程两边都乘以（3+x）（2+x），则x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x）．
3．【解析】：选D将x=﹣3代入分式方程得：=1，解得a=﹣．
二、填空题
4．【解析】：将x=1代入，得=，解得k=．
5．【解析】：根据题意得：=﹣2，
去分母得：x﹣5=﹣2（x+1），
化简得：3x=3，
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解，
所以x=1．
6.【解析】：方程的两边同时乘以x（70﹣x），得3（70﹣x）=4x
解得x=30．
检验：把x=30代入x（70﹣x）≠0
∴原方程的解为x=30．
三、解答题
7. 解：（1）去分母，得3x=4x﹣4，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解；
（2）去分母，得10﹣5=4x﹣2，
移项合并，得4x=7，
解得x=，
经检验是分式方程的解．
8．解：根据题意，得=，
去分母，得5x﹣10=4x﹣4，
解得x=6，
经检验x=6是分式方程的解．
9．解：方程两边都乘以（x﹣2）（x+2），得
x（x+2）﹣2x（x﹣2）=x+k，
x2﹣5x+k=0
分式方程无解，x=2或x=﹣2是整式方程的解，
把x=2代入x2﹣5x+k=0 k=6，
把x=﹣2代入x2﹣5x+k=0
k=﹣9，当k=6或k=﹣9时，方程有增根．
14 分式 方程
第2课时 分式方程的应用
【学习目标】
1、经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；
2、掌握列分式方程解应用题的一般步骤；
3、会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；
【学习策略】
让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
【学习过程】
一、情境导入：
1.解分式方程的一般步骤：
2.解方程
3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
二、新课学习：
例1.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
例2. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是 15 元，而今7月份的水费则是30 元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5 ，求该市今年居民用水的价格．
例1 甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？
分析：等量关系是：甲用的时间与乙用的时间相等。
解：设该市去年居民用水的价格为x元/，则今年的水价为______________元/，
根据题意，得
三、尝试应用：
1、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1 本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
2.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。求这种服装的成本.
3.甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？
四、课堂小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1).审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
2).设:选择恰当的未知数,注意单位.
3).列:根据等量关系正确列出方程.
4).解:认真仔细.
5).验:有三种方法检验.
6).答:不要忘记写答.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（ ）
A．1.1v B．1.2v C．1.3v D．1.4v
3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二．填空题（共3小题）
4．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
5．某市从今年1月1日起调整居民天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%，小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份燃气费是90元，则该市今年居民用天然气的价格是每立方米 元．
6．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A、B两种山娃纪念品，其中A种纪念品的利润率为10%，B种纪念品的利润率为30%．当售出的A种纪念品的数量比B种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A种纪念品的数量与B种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率为 ．（利润率=利润÷成本）.
三．解答题（共3小题）
7.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
8．某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
9.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
参考答案
达标测试答案：
一、选择题
1．【解析】：选D．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，
由题意得，甲队用的时间为，
乙队用的时间为，
则方程为=．
2.【解析】：选B．设父亲的速度为x，根据题意得出：=，
解得：x=1.2V．
3．【解析】：选A．设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲、乙的工效都为：，甲前两个工作日完成了，剩余的工作日完成了，，
则+=1，解得x=8，经检验，x=8是原方程的解．
二．填空题（共3小题）
4.【解析】：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意，得=．解得x=200．
检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
5.【解析】：设该市去年居民用气的价格为x元/m3，则今年的价格为（1+25%）x元/m3．根据题意，得﹣=10，解这个方程，得x=2.4，
经检验，x=2.4是所列方程的根，
∴2.4×（1+25%）=3（元）．
6.【解析】：设A进价为a元，则售出价为1.1a元；B的进价为b元，则售出价为1.3b元；若售出A：0.6x件，则售出B：x件．
=0.2，解得a=b，
故售出的A，B两种纪念品的件数相等，均为y时，这个商人的总利润率为：==17.5%．
三．解析题（共3小题）
7.解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程，得﹣=30，解得x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×=5元根据题意列不等式为×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得y≥6．
答：每支售价至少是6元．
8.解：设骑自行车学生的速度是x千米/时，由题意得：
﹣=，解得x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
答：骑自行车学生的速度是20千米/时．
9. 解：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒，
根据题意，得，解得x=2.5．
经检验，x=2.5是方程的解，且符合题意．
∴甲同学所用的时间为（秒），
乙同学所用的时间为：（秒）．
∵26＞24，∴乙同学获胜．
答：乙同学获胜．
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