6.4 多边形的内角和与外角和 导学案（含答案）2023-2024学年度北师大版数学八年级下册

4 多边形的内角和与 外角和
【学习目标】
1、掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想.
2、经历探索多边形的内角和公式的过程;会应用公式解决问题.
3、经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题；
4、把未知转化为已知进行探究，发展说理能力与简单的推理能力．
【学习策略】
把多边形问题通过分割成三角形来研究，即把复杂问题转化为简单问题的思想方法。
【学习过程】
一、情境导入：
1．三角形是如何定义的？
2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、五边形……边形下定义吗？
3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线。
二.新课学习：
1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？
①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和。
②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角。
目的：学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四边形内角和的探索奠定基础。
2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？
（1）度量 ；（2）拼角；（3）将四边形转化成三角形求内角和。
小组合作，完成下面的表格。
（课件出示讨论结果）
3．从表格中你发现了什么规律？
从边形的一个顶点可以引出条对角线，把边形分成个三角形。从而得出：边形的内角和是。
1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
由n边形的内角和等于（n-2）·180°出发，探究问题。
结论：多边形的外角和等于360°
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？
三.尝试应用：
1、正七边形的内角和为_______.
2、已知多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为_____.
3、一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是_______.
4、如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加_________度.
5.下列角中能成为一个多边形的内角和的是（ ）
A.270° B.560° C.1800° D.1900°?
6、一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A.8 B.10 C.9 D.11?
7、一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的，则这个多边形是（ ）．
A． 正十二边形 B． 正十边形 C．正八边形 D．正六边形
8、边形内角和与外角和之比是5：2，则n＝ ．
9、已知，如图，∠A＝∠C＝90°，对角线BE、DF分别平分∠ABC和∠ADC，BE和DF平行吗？说明你的理由．
四、课堂小结
1. 从边形的一个顶点可以引出条对角线，把边形分成个三角形。从而得出：边形的内角和是。
2. 多边形的外角及外角和的定义，多边形的外角和等于360°.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．一个多边形切去一个角（即切去一个只含原多边形一个顶点的三角形）后，得到的新多边形的内角和与原多边形内角和相比（　　）
A．多180° B．少180° C．多360° D．相等
2．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．60米 B．100米 C．90米 D．120米
3．如图，若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n 90°，则n为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共3小题）
4．若一个多边形的外角和是它的内角和的，则此多边形的边数是　 　．
5．若一个多边形的各边都相等，它的周长为96，且它的内角和是1800°，则它的边长是　 　．
6．如图，一个六边形的每个内角都是120°，连续四边的长依次是2.7、3、5、2，则该六边形的周长是　 　．
三．解答题（共3小题）
7．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍
（1）若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
（2）若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
8．阅读下列内容，并答题：
我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程=20，
去分母，得n（n﹣3）=40；
∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，
∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）=40的整数n=8，
即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；
（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？
9．请你来推算：
（1）一只蚂蚁绕一个矩形的水池边缘爬行，爬完一圈后，它的身体转过的角度之和是多少？
（2）如果它绕一个不规则的四边形的边缘爬行呢？（如图2），为什么？
（3）如果它绕五边形的水池边缘爬行呢？你是怎么推算出来的？如果绕n边形呢？
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选A.得到的新多边形的内角和与原多边形内角和相比多180度．
2．【解析】选C．∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，
∴多边形的边数为360°÷20=18，∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．
3．【解析】选C．设AG与DE交于点M，与DC交于点N，
则∠5+∠6+∠7=360°﹣∠ANC，∠2+∠3+∠4=360°﹣∠EMG，
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+（360°﹣∠ANC）+（360°﹣∠EMG）
=720°+∠1﹣∠ANC﹣∠EMG=720°+∠1﹣（180°﹣∠DMN）﹣（180°﹣∠DNM）
=360°+（∠1+∠DMN+∠DNM）=360°+180°=540°．
又因∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°=n 90°，所以n=6．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】根据题意，得（n﹣2） 180=1440，解得：n=10．则此多边形的边数是10．
5．【解析】根据题意，得（n﹣2）） 180=1800，解得n=12．所以它的边长是96÷12=8．
6．【解析】如图，延长并反向延长AB，CD，EF．∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°∴∠G=∠H=∠N=60°，∴△GHN是等边三角形，∴六边形ABCDEF的周长=HN+AG+CD=（3+5+2）+（2.7+3）+5=20.7．答：该六边形周长是20.7．
三．解析题（共3小题）
7．解：（1）设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，
则（n﹣2） 180°=1840°﹣x，
n=12…40°．
故这个多边形的边数是12．
（2）设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是x，
则（n﹣2） 180°=1840°+x，
n=12…40°．
180°﹣40°=140°，
故漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形．
8．（1）解：方程=14，
去分母，得n（n﹣3）=28；
∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，
∴满足积为28且相差3的因数只有7和4，
符合方程的整数n=7，即多边形是七边形．
（2）解：A同学说法是不正确的，
∵方程=30，去分母得n（n﹣3）=60；
符合方程n（n﹣3）=60的正整数n不存在，即多边形的对角线不可能有30条．
9．解：（1）∵各角是矩形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（2）∵各角是不规则的四边形的外角，
∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和是360°；
（3）∵各角是五边形的外角，∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°；
∵各角是n边形的外角，∴蚂蚁身体转过的角度之和是360°．
故蚂蚁的身体转过的角度之和都是360°．
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