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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 21.2 .3 二次根式的除法
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.理解（a≥0,b＞0）和（a≥0,b＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
课前学习任务
复习引入 复习引入 问题1：你知道二次根式的乘法法则吗？ 问题2：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？
课上学习任务
【学习任务一】 探究一：二次根式的除法 1. 计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律 【学习任务二】 2.总结二次根式除法法则 （a≥0,b＞0） 和积的平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根 （a≥0,b＞0） 【学习任务三】 例1：计算 探究二：最简二次根式 问题：观察上面的例1、例2中各小题的最后结果，例如，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？ 例3：化简 最简二次根式的概念： 化简后的二次根式被开方数中不含____________，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数____________． 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 化简 的结果是（ ） A．9 B．3 C． D． 选做题： 2. 二次根式： 其中是最简二次根式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 3.计算： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果 成立，那么( ) A.a ≥ 8 B.0 ≤ a ≤ 8 C.a ≥ 0 D.a>8 选做题： 化简 【综合拓展类作业】 3. 现有一张边长为1m的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少 (结果先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01 m)．
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（华师大版）九年级
上
21.2 .3 二次根式的除法
二次根式
第21章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质;（重点）
2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点）
新知导入
算术平方根
二次根式乘法
法则
性质
(计算)
(化简)
回顾知识
新知讲解
活动1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律
(1) ___÷___=____;
= _____;
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
新知讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
特殊
一般
参照前面的知识，你能说明这个结论成立的原理吗？试试吧
新知讲解
归纳
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根
一般的，有
_________
注意这里要求
新知讲解
1.二次根式除法法则
（a≥0，b＞0）
（a≥0，b＞0）
2.商的算术平方根的性质
典例精析
解：
例1 计算：
(1) (2)
题(2)也可先将分子化简为 ，从而容易算得结果．
新知讲解
商的算术平方根
公式的逆用
这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
新知讲解
(2) 注意被开方数的取值范围.
1.与积的算术平方根的性质比较：
共同点：一个根号变成两个根号.
区别：取值范围不同.
商的算术平方根:
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：
比较，得出结论
注意:(1) 这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也可以是单项式）.
新知讲解
例2 化简 使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．
解：（方法一）
二次根式的除法的逆运算
分数的基本性质
二次根式的除法
解：（方法二）
新知讲解
解：（方法二）
分数的基本性质
二次根式的定义
像 这样的数，具有下面的特点：
（1）被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
（3）另外还要具备分母中不含二次根式．
我们把满足上述几个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. 化简 的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2. 二次根式： , , , , , ,
其中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.计算：
解：
课堂总结
二次根式除法
法则
性质
根号下不含分母，即为整数或整式
最简二次根式
根号下不含开的尽方的数或式
分母中不含根号
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如果 成立，那么( )
A.a ≥ 8 B.0 ≤ a ≤ 8 C.a ≥ 0 D.a>8
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
解：
(3)
(4)
(1)
2.化简
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3. 现有一张边长为1m的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少 (结果先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01 m)
解：剪下的正方形边长是：
= = = = (m),
m ≈ 0.71m
∴剪下的正方形边长约是0.71m。
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2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十一章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，2.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.3.会求二次根式的值.4.了解二次根式 (根号下仅限于数) 加，减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
内容分析 本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。本章是在之前学习的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算.在本章中，将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法.通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解.
学情分析 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展.但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性.
单元目标 教学目标1.了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由;2.理解二次根式的性质;3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算;4.用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.5.通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.（二）教学重点、难点教学重点：二次根式的运算和运算法则.教学难点：在理解二次根式的性质和运算法则的基础上、养成良好的运算习惯.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 二次根式121.2.1二次根式的乘法121.2.2积的算术平方根121.2.3二次根式的乘法121.3 二次根式的加减1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务221.1 二次根式1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件.3.掌握二次根式的性质.4.运用二次根式的性质进行化简计算.1.掌握二次根式有意义的条件；掌握二次根式的性质.2.运用二次根式的性质进行化简计算.任务1：回顾在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.任务2：二次根式有意义的条件.任务3：二次根式的性质 任务4：巩固例题.21.2.1二次根式的乘法1、使学生掌握二次根式乘法法则2、使学生掌握积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）。3、使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简。4、使学生掌握=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式。1.会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.2.二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.任务1：创设情境任务2：体验（操作、探究）组织学生计算，验证猜想：（分组尝试，讨论交流）任务3：化简二次根式的一般有哪些步骤？引导学生总结：把被开方数分解因式(或因数) ；任务4：巩固例题.21.2.2积的算术平方根1.理解=（a≥0,b≥0）；2.运用=（a≥0,b≥0）..1.利用逆向思维，得出=（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.2.让学生推导=（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.任务1：通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.任务2：学生进行计算，找出规律，并归纳出二次根式除法的法则.21.2.3二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．2．熟练进行二次根式的乘法运算及化简．掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2.正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简．任务1：写出二次根式的乘法规定及逆向公式.任务2：利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.任务3：巩固例题21.3 二次根式的加减1.理解和掌握二次根式加减的方法． 2.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．1.二次根式化简为最简根式．2.会判定是否是最简二次根式．任务1：掌握法则．任务2：掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．任务3：巩固例题
《二次根式》单元教学设计
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分课时教学设计
第4课时《21.2 .3 二次根式的除法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 先由具体数据，发现规律，导出 (a≥0,b＞0），并用它进行计算. 再利用逆向思维，得出（a≥0,b＞0），并运用它进行解题和化简.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
学习者分析 通过探究（a≥0,b＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导（a≥0,b＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.
教学目标 1.理解（a≥0,b＞0）和（a≥0,b＞0），并运用它们进行计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
教学重点 1.理解（a≥0,b＞0），（a≥0,b＞0）及利用它们进行计算和化简. 2.最简二次根式的运用.?
教学难点 发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 问题1：你知道二次根式的乘法法则吗？ 问题2：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，创设问题引导学生回忆，并巩固所学知识. 环节二：新知探究教师活动2： ? 探究一：二次根式的除法 1. 计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律 2.总结二次根式除法法则 二次根式除法法则：＝________(a≥0，b>0)． 和积的平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根 商的算术平方根的性质：＝________(a≥0，b>0)． 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论：二次根式的除法法则与二次根式的乘法法则类似． 学生思考 引导学生掌握二次根式除法的性质．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，培养学生用类比的方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力.环节三：典例精析教师活动3： 例1：计算 探究二：最简二次根式 问题：观察上面的例1、例2中各小题的最后结果，例如，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？ 通过分析得到，二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都小于2 练习: 判断下列二次根式中，哪些不是最简二次根式？ 例3：化简 解法1： 解法2： 在解法2中，要化去分母中的根号，只要将分子，分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，这种化简过程称为分母有理化。 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，得出最简二次根式的定义，并强调一个根式是最简二次根式的条件活动意图说明：熟练掌握二次根式的除法运算法则，引导学生两种方法解决，对比哪种方法更简便，引出化简中常用的方法——分母有理化.?
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 化简 的结果是（ ） A．9 B．3 C． D． 选做题： 2. 二次根式： 其中是最简二次根式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【综合拓展类作业】 3.计算：
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果 成立，那么( ) A.a ≥ 8 B.0 ≤ a ≤ 8 C.a ≥ 0 D.a>8 选做题： 化简 【综合拓展类作业】 3. 现有一张边长为1m的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少 (结果先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01 m)．
教学反思 1. （a≥0,b＞0）和（a≥0,b＞0）及利用它们进行计算和化简. 2.最简二次根式与分母有理化．
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