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第四章 《三角形》 单元测试
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．5cm，6cm，10cm
C．2cm，5cm，8cm D．3cm，3cm，6cm
【解答】解：A、1+2＝3，长度是1cm，2cm，3cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+6＞10，长度是5cm，6cm，10cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+5＜8，长度是2cm，5cm，8cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+3＝6，长度是3cm，3cm，6cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【解答】解：设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°．
由∠A+∠B+∠C＝180°，得：
x+2x+3x＝180，
所以x＝30，故∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
4．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：△ABC中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
5．下列说法不成立的是（ ）
A．两个全等三角形能重合
B．两个全等三角形沿某一直线折叠能重合
C．两个全等三角形的面积相等
D．两个全等三角形的周长相等
【解答】解：两个全等三角形能重合，成立；
B、两个全等三角形沿某一直线折叠能重合，不一定成立．
C、两个全等三角形的面积相等，成立；
D、两个全等三角形的周长相等，成立；
故选：B．
6．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角
B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角
D．已知三边
【解答】解：A、已知两边及其夹角，可以确定三角形，本选项不符合题意．
B、已知两角及夹边，可以确定三角形，本选项不符合题意．
C、已知两边及一边的对角，不能确定三角形，本选项符合题意．
D、已知三边，可以确定三角形，本选项不符合题意．
故选：C．
7．如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝7米，OB＝5米，A，B间的距离不可能是（ ）
A．12米 B．10米 C．5米 D．8米
【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
7﹣5＜AB＜7+5，
即：2＜AB＜12，
∴AB的值在2和12之间．
故选：A．
8．点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）
A．116° B．122° C．136° D．152°
【解答】解：在△ABC中，∠B＝64°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣64°＝116°．
∵OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，
∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA＝∠BAC+∠BCA＝（∠BAC+∠BCA）＝×116°＝58°．
在△OAC中，∠OAC+∠OCA＝58°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣58°＝122°．
故选：B．
9．如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△AED，则添加的条件不能为（ ）
A．∠B＝∠E B．∠1＝∠2 C．BC＝ED D．AB＝AE
【解答】解：由已知可得，
∠C＝∠D，AC＝AD，
∴添加∠B＝∠E，则△ABC≌△AED（AAS），故选项A不符合题意；
添加∠1＝∠2，则∠CAB＝∠DAE，故△ABC≌△AED（ASA），故选项B不符合题意；
添加BC＝ED，则△ABC≌△AED（SAS），故选项C不符合题意；
添加AB＝AE，无法证明△ABC≌△AED，故选项D符合题意；
故选：D．
10．在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于D，E是CD上一点，EF⊥AB，交AB于F，若∠B＝35°，∠FED＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∵∠FED＝15°，
∴∠EDF＝90°﹣∠FED＝75°，
∵∠EDF是△BCD的一个外角，∠B＝35°，
∴∠BCD＝∠EDF﹣∠B＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCD＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝65°，
故选：A．
11．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，下列结论正确的有（ ）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵BF＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
在△FAB和△CEB中，
，
∴△FAB≌△CEB（SAS），
∴∠BFA＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠BFA＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确，符合题意；
∵∠FBC+∠BFA+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝180°，
故②正确，符合题意；
∵BD⊥AC，BG⊥CE，
∴∠BDC＝∠BGC＝90°，
在△BDC和△BGC中，
，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴CD＝CG，BD＝BG，
在Rt△ABD和Rt△EBG中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBG（HL），
∴AD＝GE，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误，不符合题意；
∵AC＝CF﹣AF，
∴AC＝2CD﹣CE，
故④正确，符合题意；
综上，正确符合题意的为①②④，
故选：C．
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CF平分∠ACB的邻补角∠ACE，交BA延长线于点F，交BD延长线于点M．下列结论：①∠BMC＝∠MBC+∠F；②∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④2（∠BDC+∠F）＝3∠BAC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵CF平分∠ACE，
∴∠3＝∠4．
∴∠BMC＝∠1+∠F＝∠2+∠F，即∠BMC＝∠MBC+∠F；故①正确．
∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝180°，∠DCM+∠DMC+∠MDC＝180°，∠ADB＝∠MDC，
∴∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC，故②正确．
∵，
∴∠BAC＝2（∠F+∠1）＝2∠BMC，即2∠BMC＝∠BAC，故③正确．
∵∠BDC+∠F＝∠1+∠BAC+∠F，
∴2（∠BDC+∠F）＝2（∠1+∠BAC+∠F）＝2∠BAC+2（∠1+∠F）＝2∠BAC+2∠BMC，
∵∠BAC＝2∠BMC，
∴2（∠BDC+∠F）＝3∠BAC，故④正确．
综上所述，正确的说法有4个．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝ 60° ．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴3∠C＝180°，
∠C＝60°．
故答案为60°．
14．如图在△ABC和△ADC中，AB＝AD，当添加条件 BC＝DC 时，可由“边边边”判定△ABC≌△ADC．
【解答】解：∵AC＝AC，AB＝AD，
∴当BC＝DC时，可由“边边边”判定△ABC≌△ADC．
故答案为：BC＝DC．
15．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 2 ．
【解答】解：由三角形三边关系定理得3﹣1＜a﹣1＜3+1，
即3＜a＜5．
∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2．
故答案为：2．
16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC，则△AFC的面积为 50 （用a或b表示）．
【解答】解：连接BF，
∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，
∴∠FBG＝∠ACB＝45°，
∴BF∥AC，
∴S＝S△ABC＝．
故答案为：a2．
三、解答题：（共计98分）
17．如图，已知线段a，用直尺和圆规作一个顶角为30°的等腰三角形，使底边上的高线等于a（保留画图痕迹，不写作法）
【解答】解：
△AEF就是所求的等腰三角形．
18．如图，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点；
（1）写出它们的对应边和对应角；
（2）若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数．
【解答】解：（1）∵△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，
∴对应边：AE＝AD，AC＝AB，CE＝BD，
对应角：∠A＝∠A，∠ADB＝∠AEC，∠ACE＝∠ABD；
（2）∵△AEC≌△ADB，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
又∵∠ABD＝39°，
∴∠1＝65°﹣39°＝26°．
19．如图，A，F，C，D在同一直线上，且AB＝DE，AF＝CD，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝122°，∠CBA＝38°，求∠C的度数．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AEB＝122°，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADE＝32°，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠DAB＝2∠DAE＝64°，
∵∠CBA＝38°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣64°﹣38°＝78°．
21．为了测量楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33m，求楼AB的高度．
【解答】解：由题意得：CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDP＝∠PBA＝90°，
∵∠DPC＝17°，
∴∠DCP＝90°﹣∠DPC＝73°，
∵∠APB＝73°，
∴∠PCD＝∠APB＝73°，
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴PD＝AB，
∵DB＝33m，BP＝8m，
∴AB＝PD＝DB﹣BP＝33﹣8＝25（m），
∴楼AB的高度是25m．
22．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AB∥EF．
【解答】证明：在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴∠B＝∠F，
∴AB∥EF．
23．如图，已知E、C是线段BF上两点，满足BE＝CF，A，D为线段上方两点，连接AB，AC，DE，DF，满足AB＝DE，AC＝DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若五边形ABFDG的面积为10，△GEC的面积为4，请直接写出四边形DGCF的面积： 3 ．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∵五边形ABFDG的面积＝S△ABC+S△DEF﹣S△GEC＝10，S△GEC＝4，
∴S△DEF＝7，
∴四边形DGCF的面积＝S△DEF﹣S△GEC＝3，
故答案为：3．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠AED＝ 65 °．
（2）若DC＝2，试说明△ABD≌△DCE．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）∵AB＝2，DC＝2，
∴∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∴AB＝DC．
∵∠C＝40°
∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°．
.∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°．
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）△ADE 的形状可以是等腰三角形．
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°，
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不符合题意．
③当EA＝ED时，∠DAE＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°．
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
25．△ABC中，点D在CB边延长线上，CA的延长线与∠ABD的角平分线BE相交于点E．
（1）如图1，求证：∠BAC＝∠C+2∠E，
（2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于F，则∠BFC与∠BAC之间的数量关系为 ，
（3）在（2）的条件下如图3，过点B作BM⊥CE于M，∠BFC＝2∠ABM，若5∠ABC＝4∠E，求∠E的度数．
【解答】解：（1）如图1，
∵BE平分∠ABD；
∴，
∵∠DBE＝∠C+∠E，∠BAC＝∠ABE+∠E，
∴∠BAC＝∠C+∠E+∠E＝∠C+2∠E，
∴∠BAC＝∠C+2∠E；
（2）如图2，
由（1）得：∠BAC＝∠C+2∠E，
∵CF平分∠ACB，
∴，
∵∠BFC＝∠E+∠ECF，
∴，即有2∠BFC＝2∠E+∠ACB，
∴，
故答案为：．
（3）如图3，
由5∠ABC＝4∠E，设∠E＝5x，∠ABC＝4x，
由∠BFC＝2∠ABM，，∠BAC＝∠C+2∠E，
设∠ABM＝y，
则有∠BFC＝2x，∠BAC＝4y，
设∠BCF＝∠ECF＝a
∵BM⊥EC，
∴∠BMA＝90°，
∵∠BAC＝∠ABM+∠BMA，即4y＝y+90°，解得：y＝30°，
∴∠ABM＝30°，∠BFC＝60°，∠BAC＝120°，
在Rt△BMC，∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCM＝90°，即y+4x+2a＝90°，
∴4x+2a＝60°①，
∵∠BAC＝∠C+2∠E，
∴2a+10x＝120°②
联立①②，解得：，
∴∠E＝5x＝50°．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 《三角形》单元测试
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．5cm，6cm，10cm
C．2cm，5cm，8cm D．3cm，3cm，6cm
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
4．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法不成立的是（ ）
A．两个全等三角形能重合
B．两个全等三角形沿某一直线折叠能重合
C．两个全等三角形的面积相等
D．两个全等三角形的周长相等
6．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角
B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角
D．已知三边
7．如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝7米，OB＝5米，A，B间的距离不可能是（ ）
A．12米 B．10米 C．5米 D．8米
8．点O是△ABC内一点，OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）
A．116° B．122° C．136° D．152°
9．如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△AED，则添加的条件不能为（ ）
A．∠B＝∠E B．∠1＝∠2 C．BC＝ED D．AB＝AE
10．在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于D，E是CD上一点，EF⊥AB，交AB于F，若∠B＝35°，∠FED＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
11．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，下列结论正确的有（ ）
①BC平分∠DCE；
②∠ABE+∠ECD＝180°；
③AC＝2BE+CE；
④AC＝2CD﹣CE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CF平分∠ACB的邻补角∠ACE，交BA延长线于点F，交BD延长线于点M．下列结论：①∠BMC＝∠MBC+∠F；②∠ABD+∠BAD＝∠DCM+∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④2（∠BDC+∠F）＝3∠BAC，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝ ．
14．如图在△ABC和△ADC中，AB＝AD，当添加条件 时，可由“边边边”判定△ABC≌△ADC．
15．已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC，则△AFC的面积为 （用a或b表示）．
三、解答题：（共计98分）
17．（10分）如图，已知线段a，用直尺和圆规作一个顶角为30°的等腰三角形，使底边上的高线等于a（保留画图痕迹，不写作法）
18．（10分）如图，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点；
（1）写出它们的对应边和对应角；
（2）若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数．
19．（8分）如图，A，F，C，D在同一直线上，且AB＝DE，AF＝CD，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
20．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝122°，∠CBA＝38°，求∠C的度数．
21．（10分）为了测量楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33m，求楼AB的高度．
22．（10分）如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AB∥EF．
23．（12分）如图，已知E、C是线段BF上两点，满足BE＝CF，A，D为线段上方两点，连接AB，AC，DE，DF，满足AB＝DE，AC＝DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若五边形ABFDG的面积为10，△GEC的面积为4，请直接写出四边形DGCF的面积： ．
24．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °．
（2）若DC＝2，试说明△ABD≌△DCE．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
25．（14分）△ABC中，点D在CB边延长线上，CA的延长线与∠ABD的角平分线BE相交于点E．
（1）如图1，求证：∠BAC＝∠C+2∠E，
（2）如图2，∠ECB的角平分线CF交BE于F，则∠BFC与∠BAC之间的数量关系为 ，
（3）在（2）的条件下如图3，过点B作BM⊥CE于M，∠BFC＝2∠ABM，若5∠ABC＝4∠E，求∠E的度数．
