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第12章 二次根式 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
2．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意可得，，且，
∴，
故选：．
3．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错．
故选：C．
6．能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，得
由①，得
．
解不等式②，得
．
所以，不等式组的解集为．
所以，等式成立的条件是．
故选：D．
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【解析】解：，
，
，即，
，
故选：A．
8．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：，
故选C.
9．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
10．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式 ，
故选D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算的结果是 ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
12．请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【解析】解：∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
13．若等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据题意，得
解得.
14．已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
【答案】
【解析】解：∵由二次根式的定义得，解得：，
∴，即：，
∴.
故答案为：.
15．如果两个最简二次根式与能够合并，那么 a 的值为 ．
【答案】5
【解析】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，
∴ 与是同类二次根式，
∴．
故答案为：5．
16．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．
【解析】解：根据数轴得： ，
原式．
故答案为：7．
17．已知，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：，
∴，，
．
故答案为：．
18．阅读下列解题过程，回答问题：
利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19.（2×4=8分）计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：原式
＝
；
（2）原式．
20.（6分）若最简二次根式和是同类二次根式．
求，的值
求的值．
【解析】解：根据题意知
解得
由知，．
21．（6分）若，，求：
(1)；
(2)求．
【解析】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
22.（8分）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框．
(1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？
(2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：）
【解析】（1）解∶∵大相框的面积为，小相框的面积为，
∴，
答∶大相框的面积是小相框面积的倍；
（2）解：不够用．
镶边所需要的彩带长为，
则现有的彩带不够用，还需买，
答∶现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带．
23．（8分）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b是实数，且，化简．
【解析】（1）解：由题意，得
，
，
，
解得．
（2）解：由题意，得 ，且，
且，
，
，，
，，
．
24．（10分）观察、思考、解答：
，
反之，
，
．
仿上例，化简：；
若，则、与、的关系是什么？并说明理由；
已知，求的值结果保留根号．
【解析】解：；
，，
理由：，
，
，；
，
．
25.（10分）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）
(1)如图1，在中，，，．
①求的面积；
②设边上的高为，边上的高为，求的值．
(2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用．
【解析】（1）①解：由已知，，，，
，
∴
；
②∵，
∴，
∴解得，，
∴；
（2）连，过点A作于点F，
∵， ，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由海伦－秦九韶公式，得
，
∴
；
∴植红色花卉的面积为：
，
∴四边形的面积为：
，
∴种植红色花卉的面积为：
，
∴购买花卉的总费用
，
∴出购买花卉的总费用．
26.（10分）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
【解析】（1）
（2）
，
，
，
故答案为：；
（3）
=
=
=
=
；
（4）
，
=
=
，
，
故．中小学教育资源及组卷应用平台
第12章 二次根式 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是( )．
A． B． C． D．
9．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
10．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算的结果是 ．
12．请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
13．若等式成立，则的取值范围是 ．
14．已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是 ．
15．如果两个最简二次根式与能够合并，那么 a 的值为 ．
16．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．
17．已知，则的值为 ．
18．阅读下列解题过程，回答问题：
利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19.（2×4=8分）计算：
(1)； (2)．
20.（6分）若最简二次根式和是同类二次根式．
求，的值
求的值．
21．（6分）若，，求：
(1)；
(2)求．
22.（8分）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框．
(1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？
(2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：）
23．（8分）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b是实数，且，化简．
24．（10分）观察、思考、解答：
，
反之，
，
．
仿上例，化简：；
若，则、与、的关系是什么？并说明理由；
已知，求的值结果保留根号．
25.（10分）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）
(1)如图1，在中，，，．
①求的面积；
②设边上的高为，边上的高为，求的值．
(2)如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用．
26.（10分）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
(1)化简：
(2)猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
(3)计算：；
任务三：探究
(4)已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
