陕西省榆林市重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·榆林开学考）计算的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024九下·榆林开学考）下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·榆林开学考）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB=2BC，DF=12，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2024九下·榆林开学考）一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（ ）
A．40 B．30 C．16 D．50
5．（2024九下·榆林开学考）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·榆林开学考）如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·榆林开学考）如图，是的弦，于点，连接并延长交于点，连接．已知，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
8．（2024九下·榆林开学考）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A．－3 B．2或－3 C．－1或2 D．2或－3或－1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·榆林开学考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
10．（2024九下·榆林开学考）一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ．
11．（2024九下·榆林开学考）已知，和的面积分别为9和16，若，则的长为 ．
12．（2024九下·榆林开学考）如图，点、在反比例函数（为常数且的图象上，轴于点，轴于点，连接、，则与重叠部分（阴影部分）的面积为 ．
13．（2024九下·榆林开学考）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（2017九上·相城期末）解方程： .
15．（2024九下·榆林开学考）如图，在正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留）
16．（2024九下·榆林开学考）已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围．
17．（2024九下·榆林开学考）如图，已知点、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2024九下·榆林开学考）如图，在中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE=AF，CE=CF．求证：四边形ABCD是菱形．
19．（2024九下·榆林开学考）随着人类社会的发展，青少年应亲近大自然．某中学为了能够让学生感受大自然的美好和大千世界的美妙，于是在校内开展了以自然与社会为主题的选修课．已知有四个课题A．《草虫春秋》，B．《中华鸟兽》，C．《山河故人》，D．《文明外传》都深受学生欢迎，但需要从中选择2个课题作为本学期选修课的课程，于是将写有这四个编号的卡片（除编号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
（1）第一次抽中的卡片上的课题是B．《中华鸟兽》的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率．
20．（2024九下·榆林开学考）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500Pa时，求木板的面积．
21．（2024九下·榆林开学考）如图，在P处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，该轮船沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，求此时轮船与灯塔P的距离PB．（参考数据：，，）
22．（2024九下·榆林开学考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
23．（2024九下·榆林开学考）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度CD．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，此时小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5m，标杆AB=2.5m，BD=23m，FB=2m，EF、AB、CD均垂直于地面FD．求大楼的高度CD．
24．（2024九下·榆林开学考）如图，是的直径，点在直径上，，，连接，与相交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，，求的长．
25．（2024九下·榆林开学考）冬季来临之前，学校劳动社团的同学打算为蔬菜基地设计一款蔬菜大棚，大棚使用钢结构的骨架，上面覆上一层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，该大棚的横截面可以看作由矩形和地物线构成，其中，．同学们以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，为了让大棚通风，同学们设计了两个边长为的正方形通风孔LFGT和，点、均在抛物线上，点、、、在所在的水平线上，求两个通风孔之间的距离的长．
26．（2024九下·榆林开学考）
（1）【问题提出】如图1，在四边形中，，点是上一点，连接、，若，求证：；
（2）【问题探究】如图2，在中，，点是上一点，过点作交于点，若，，，求的值；
（3）【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，，分别沿、修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，，，求栽种竹子的面积（即的面积）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =4x=2
故选：A.
【分析】本题主要考查锐角三角函数的计算，将cos60°=代入计算即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．球的左视图是圆，故A选项不符合题意；
B．三棱柱柱的左视图是矩形，故B选项不合题意；
C．圆锥的左视图是三角形，故C选项不合题意；
D．圆柱的左视图是矩形，故D选项符合题意．
故选：D.
【分析】本题主要考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，AB=2BC
∴==2
∴DE=2EF
∵DE+EF=DF，DF=12
∴2EF+EF=12
∴EF=4
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线间的对应线段成比例，进行计算即可.
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：x100%=80%
解得：a=16
经检验：a=16是原分式方程的解
故答案为：C.
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，按照频率稳定在80%进行计算即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∵抛物线y=x2-2x- 3向左平移2个单位，再向上平移3个单位
∴抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1
∴抛物线顶点坐标是（-1，-1)
故选：A.
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据“上加下减，左加右减”进行解答即可.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作ADBC交BC于点D
∵是周长为36的等腰三角形 ，BC=10
∴AB+AC=36-10=26
又∵AB=AC
∴AB=13，BD=5
AD===12
∴tanB==
故答案为：C.
【分析】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的性质和勾股定理的知识，根据条件做辅助线，再用勾股定理求出AD的长，直接进行求解即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BE
∵OD⊥AB，AB=8
∴AC= BC =4
设OA=x
∵CD=2，
∴OC=x-2
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2
∴42+(x-2)2=x2
解得： x=5
∴OA=OE=5，OC=3
∴ BE = 2CO=6
∵AE是直径
∴B=90°
∴CE==2
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质，先连接BE，再根据已知条件进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数对称轴为直线x=m
①m< -2时，x=-2有最大值
-(-2-m)2+5=4
解得m=-3
②-2≤m≤1时，x=m有最大值为5
不合题意
③m>1时，x=1有最大值
-(1-m)2+5=4
解得m=2
故选：B.
【分析】本题主要考查二次函数的性质，求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，-2≤m≤1，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
9．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=2代入x2+x-2m=0得：
22+2-2m=0
解得：m=3
故答案为：m=-3
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把x=2代入方程进行计算即可.
10．【答案】16
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：36045=8
2x8=16
故答案为：16
【分析】本题主要考查圆内接正多边形 ，由中心角的和为360得出正多边形的边数，求解即可.
11．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 和的面积分别为9和16
∴=（）2=
∴=
∵AB=3
∴DE=4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据面积比是相似比的平方进行计算即可.
12．【答案】1
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 A（2，4）在反比例函数 的图象上
∴k=2x4=8
∴y=
∵点B（m，2）在反比例函数 的图象上
∴m==4
∴点B（4，2）
∵点A（2，4）
∴OC=2，OD=4，BD=2
∴OC=OD
S△ BOD=ODBD=x4x2=4
设AC与OB的交点为E
∵∠ACO=∠BDO=90，∠COE=∠DOB
∴△COE∽△DOB
∴=（)2=（）2=
∴S△ COE=S△ BOD=x4=1
故答案为：1.
【分析】本题主要考查反比例函数图形的特征、性质和相似三角形的性质，先求出k、m的值，代入求出OC、OD、BD的长，再利用相似求解即可.
13．【答案】4
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M
∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=90°
∴BD===10
∵点A和点M关于BE对称
∴AB= BM=6
∴DM=BD- BM=10-6=4
∴DM的最小值为4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查矩形的性质、轴对称的性质和勾股定理，连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，点M即为所求.
14．【答案】解：∵2x2-x-3=0
在这里，a=2，b=-1，c=-3
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0
∴x=
即：x1=-1；x2= .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】计算出△=b2-4ac的值，再根据公式法求出方程的解.
15．【答案】解：由题意可得
，
阴影部分的面积为．
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】本题主要考查正方形和扇形的面积，通过观察，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去扇形ABC的面积，求解即可.
16．【答案】解：反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小，
，
解得，
的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据函数值随的增大而减小 得出k>0，进行求解即可.
17．【答案】解：如图所示，即为所求．（作法不唯一）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】本题主要考查三角形的外接圆的作图，连接AB、BC、AC任意两条线段，再分别作中垂线，交点即为圆心O，画圆即可.
18．【答案】解：四边形是平行四边形，
．
，，
，，
．
在：和中，，，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定，根据条件证明△ABE≌△ADF，所以AB=AD，即可证明四边形是菱形．
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的有6种．
两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】解：（1）共4张卡片，随机抽一张的概率为
故答案为：.
【分析】（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，共有12种等可能的结果，两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A共6种结果，即可求得概率.
20．【答案】解：设木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
从板对地面的压强与从板面积之间的函数表达式为，
当时，有，解得，
当木板的压强为时，木板的面积为．
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象及其应用，将点（4，200）代入，求出k的值，再将P=500代入反比例函数表达式，求得s值即可.
21．【答案】解：如图所示标注字母．
根据题意得，，，，海里，
．．
住：中，
（海里），
此时轮船与灯塔的距离约为75海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角的知识，根据已知条件先求出∠B的度数，再利用sinB求出PB的值即可.
22．【答案】解：设每件保暧衣应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：每作保暖衣应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，（每件的盈利﹣每件降价的钱数）x（每天的销量＋降价后每天增加的销量）＝每天要盈利的钱数，又要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，求解即可．
23．【答案】解：过点作于点，交于点．
则四边形，四边形都是矩形
，，．
，．
由题意易得．
又，
，
，即，
解得，
，
故大楼的高度为．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】本题主要考查相似三角形、矩形的知识，先做出辅助线，利用矩形的性质求出BJ、DH、AJ的值，再利用相似求出CH的值，即可求出CD的值.
24．【答案】（1）证明：连接．
是的切线，
，则．
，．
，，
，
．
（2）解：连接．
是的直径，
．
由题意可得，，则，
．
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接OF，由切线得到，由得到，得出，即可证明；
（2）连接AF，得到，由勾股定理得到BC=5，再利用，求出BF的值即可.
25．【答案】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为．
四边形为矩形，为的中垂线，
，．
，
点，代入，得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得点和点的纵坐标为1.75，
令，则，
解得，，
．
，，
两个通风孔之间的间距的长为．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据定点坐标，设解析式为y=ax2+2，求出点A的坐标，代入计算即可；
（2）令y=1.75，代入解析式求出x的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可.
26．【答案】（1）证明： ，
，，
．
，
．
（2）解：过点作于点，
，，，根据（1）的方法可得，
．
在，，
．
，
．
在中，，，
，．
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，，，
根据（1）的方法可得，
，
，，，
．
在中，，．
，，
，
故栽种竹子的面积（即的面积）为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 、，求出，又因为，即可求得；
（2）先作，利用相似得出CN的值，再利用勾股定理求出NE的值，即可求出tanE的值；
（3）先作辅助线，过点作于点，过点作，交的延长线于点，再利用相似求出BE、CE的值，利用锐角三角函数求出FD值，最后求出△BCD的值即可.
1 / 1陕西省榆林市重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·榆林开学考）计算的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =4x=2
故选：A.
【分析】本题主要考查锐角三角函数的计算，将cos60°=代入计算即可.
2．（2024九下·榆林开学考）下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．球的左视图是圆，故A选项不符合题意；
B．三棱柱柱的左视图是矩形，故B选项不合题意；
C．圆锥的左视图是三角形，故C选项不合题意；
D．圆柱的左视图是矩形，故D选项符合题意．
故选：D.
【分析】本题主要考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行判断即可.
3．（2024九下·榆林开学考）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB=2BC，DF=12，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，AB=2BC
∴==2
∴DE=2EF
∵DE+EF=DF，DF=12
∴2EF+EF=12
∴EF=4
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线间的对应线段成比例，进行计算即可.
4．（2024九下·榆林开学考）一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（ ）
A．40 B．30 C．16 D．50
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：x100%=80%
解得：a=16
经检验：a=16是原分式方程的解
故答案为：C.
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，按照频率稳定在80%进行计算即可.
5．（2024九下·榆林开学考）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∵抛物线y=x2-2x- 3向左平移2个单位，再向上平移3个单位
∴抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-4+3=(x+1)2-1
∴抛物线顶点坐标是（-1，-1)
故选：A.
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据“上加下减，左加右减”进行解答即可.
6．（2024九下·榆林开学考）如图，是周长为36的等腰三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作ADBC交BC于点D
∵是周长为36的等腰三角形 ，BC=10
∴AB+AC=36-10=26
又∵AB=AC
∴AB=13，BD=5
AD===12
∴tanB==
故答案为：C.
【分析】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的性质和勾股定理的知识，根据条件做辅助线，再用勾股定理求出AD的长，直接进行求解即可.
7．（2024九下·榆林开学考）如图，是的弦，于点，连接并延长交于点，连接．已知，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BE
∵OD⊥AB，AB=8
∴AC= BC =4
设OA=x
∵CD=2，
∴OC=x-2
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2
∴42+(x-2)2=x2
解得： x=5
∴OA=OE=5，OC=3
∴ BE = 2CO=6
∵AE是直径
∴B=90°
∴CE==2
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质，先连接BE，再根据已知条件进行求解即可.
8．（2024九下·榆林开学考）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A．－3 B．2或－3 C．－1或2 D．2或－3或－1
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数对称轴为直线x=m
①m< -2时，x=-2有最大值
-(-2-m)2+5=4
解得m=-3
②-2≤m≤1时，x=m有最大值为5
不合题意
③m>1时，x=1有最大值
-(1-m)2+5=4
解得m=2
故选：B.
【分析】本题主要考查二次函数的性质，求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<-2，-2≤m≤1，m>1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·榆林开学考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=2代入x2+x-2m=0得：
22+2-2m=0
解得：m=3
故答案为：m=-3
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把x=2代入方程进行计算即可.
10．（2024九下·榆林开学考）一个正多边形的边长为2，中心角为，则这个正多边形的周长是 ．
【答案】16
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：36045=8
2x8=16
故答案为：16
【分析】本题主要考查圆内接正多边形 ，由中心角的和为360得出正多边形的边数，求解即可.
11．（2024九下·榆林开学考）已知，和的面积分别为9和16，若，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 和的面积分别为9和16
∴=（）2=
∴=
∵AB=3
∴DE=4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据面积比是相似比的平方进行计算即可.
12．（2024九下·榆林开学考）如图，点、在反比例函数（为常数且的图象上，轴于点，轴于点，连接、，则与重叠部分（阴影部分）的面积为 ．
【答案】1
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 A（2，4）在反比例函数 的图象上
∴k=2x4=8
∴y=
∵点B（m，2）在反比例函数 的图象上
∴m==4
∴点B（4，2）
∵点A（2，4）
∴OC=2，OD=4，BD=2
∴OC=OD
S△ BOD=ODBD=x4x2=4
设AC与OB的交点为E
∵∠ACO=∠BDO=90，∠COE=∠DOB
∴△COE∽△DOB
∴=（)2=（）2=
∴S△ COE=S△ BOD=x4=1
故答案为：1.
【分析】本题主要考查反比例函数图形的特征、性质和相似三角形的性质，先求出k、m的值，代入求出OC、OD、BD的长，再利用相似求解即可.
13．（2024九下·榆林开学考）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，连接，点是点关于直线的对称点，连接、，则的最小值是 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M
∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=90°
∴BD===10
∵点A和点M关于BE对称
∴AB= BM=6
∴DM=BD- BM=10-6=4
∴DM的最小值为4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查矩形的性质、轴对称的性质和勾股定理，连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，点M即为所求.
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（2017九上·相城期末）解方程： .
【答案】解：∵2x2-x-3=0
在这里，a=2，b=-1，c=-3
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0
∴x=
即：x1=-1；x2= .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】计算出△=b2-4ac的值，再根据公式法求出方程的解.
15．（2024九下·榆林开学考）如图，在正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，求阴影部分的面积（结果保留）
【答案】解：由题意可得
，
阴影部分的面积为．
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】本题主要考查正方形和扇形的面积，通过观察，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去扇形ABC的面积，求解即可.
16．（2024九下·榆林开学考）已知反比例函数为常数且），若在每个象限内，函数值随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】解：反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小，
，
解得，
的取值范围是．
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据函数值随的增大而减小 得出k>0，进行求解即可.
17．（2024九下·榆林开学考）如图，已知点、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，即为所求．（作法不唯一）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】本题主要考查三角形的外接圆的作图，连接AB、BC、AC任意两条线段，再分别作中垂线，交点即为圆心O，画圆即可.
18．（2024九下·榆林开学考）如图，在中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，EF，FA，若AE=AF，CE=CF．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】解：四边形是平行四边形，
．
，，
，，
．
在：和中，，，，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定，根据条件证明△ABE≌△ADF，所以AB=AD，即可证明四边形是菱形．
19．（2024九下·榆林开学考）随着人类社会的发展，青少年应亲近大自然．某中学为了能够让学生感受大自然的美好和大千世界的美妙，于是在校内开展了以自然与社会为主题的选修课．已知有四个课题A．《草虫春秋》，B．《中华鸟兽》，C．《山河故人》，D．《文明外传》都深受学生欢迎，但需要从中选择2个课题作为本学期选修课的课程，于是将写有这四个编号的卡片（除编号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
（1）第一次抽中的卡片上的课题是B．《中华鸟兽》的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的有6种．
两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A．《草虫春秋》的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】解：（1）共4张卡片，随机抽一张的概率为
故答案为：.
【分析】（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）先画出树状图，共有12种等可能的结果，两次抽到的两张卡片中恰好有一张的课题是A共6种结果，即可求得概率.
20．（2024九下·榆林开学考）某校组织活动，一小组需在室外搭建临时木屋，板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（）的反比例函数，其图象如图所示，当木板的压强为500Pa时，求木板的面积．
【答案】解：设木板对地面的压强与木板面积之间的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
从板对地面的压强与从板面积之间的函数表达式为，
当时，有，解得，
当木板的压强为时，木板的面积为．
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象及其应用，将点（4，200）代入，求出k的值，再将P=500代入反比例函数表达式，求得s值即可.
21．（2024九下·榆林开学考）如图，在P处有一灯塔，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，该轮船沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，求此时轮船与灯塔P的距离PB．（参考数据：，，）
【答案】解：如图所示标注字母．
根据题意得，，，，海里，
．．
住：中，
（海里），
此时轮船与灯塔的距离约为75海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角的知识，根据已知条件先求出∠B的度数，再利用sinB求出PB的值即可.
22．（2024九下·榆林开学考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
【答案】解：设每件保暧衣应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：每作保暖衣应降价20元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，（每件的盈利﹣每件降价的钱数）x（每天的销量＋降价后每天增加的销量）＝每天要盈利的钱数，又要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，求解即可．
23．（2024九下·榆林开学考）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度CD．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，此时小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5m，标杆AB=2.5m，BD=23m，FB=2m，EF、AB、CD均垂直于地面FD．求大楼的高度CD．
【答案】解：过点作于点，交于点．
则四边形，四边形都是矩形
，，．
，．
由题意易得．
又，
，
，即，
解得，
，
故大楼的高度为．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】本题主要考查相似三角形、矩形的知识，先做出辅助线，利用矩形的性质求出BJ、DH、AJ的值，再利用相似求出CH的值，即可求出CD的值.
24．（2024九下·榆林开学考）如图，是的直径，点在直径上，，，连接，与相交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
是的切线，
，则．
，．
，，
，
．
（2）解：连接．
是的直径，
．
由题意可得，，则，
．
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）连接OF，由切线得到，由得到，得出，即可证明；
（2）连接AF，得到，由勾股定理得到BC=5，再利用，求出BF的值即可.
25．（2024九下·榆林开学考）冬季来临之前，学校劳动社团的同学打算为蔬菜基地设计一款蔬菜大棚，大棚使用钢结构的骨架，上面覆上一层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，该大棚的横截面可以看作由矩形和地物线构成，其中，．同学们以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，为了让大棚通风，同学们设计了两个边长为的正方形通风孔LFGT和，点、均在抛物线上，点、、、在所在的水平线上，求两个通风孔之间的距离的长．
【答案】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为．
四边形为矩形，为的中垂线，
，．
，
点，代入，得：，
解得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意可得点和点的纵坐标为1.75，
令，则，
解得，，
．
，，
两个通风孔之间的间距的长为．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据定点坐标，设解析式为y=ax2+2，求出点A的坐标，代入计算即可；
（2）令y=1.75，代入解析式求出x的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可.
26．（2024九下·榆林开学考）
（1）【问题提出】如图1，在四边形中，，点是上一点，连接、，若，求证：；
（2）【问题探究】如图2，在中，，点是上一点，过点作交于点，若，，，求的值；
（3）【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，，分别沿、修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，，，求栽种竹子的面积（即的面积）．
【答案】（1）证明： ，
，，
．
，
．
（2）解：过点作于点，
，，，根据（1）的方法可得，
．
在，，
．
，
．
在中，，，
，．
（3）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，，，
根据（1）的方法可得，
，
，，，
．
在中，，．
，，
，
故栽种竹子的面积（即的面积）为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 、，求出，又因为，即可求得；
（2）先作，利用相似得出CN的值，再利用勾股定理求出NE的值，即可求出tanE的值；
（3）先作辅助线，过点作于点，过点作，交的延长线于点，再利用相似求出BE、CE的值，利用锐角三角函数求出FD值，最后求出△BCD的值即可.
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