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第19章 四边形 单元测试（培优）
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一．选择题（共10小题）
1．若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，列方程求解．
【解答】解：∵多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系n﹣3，
∴n﹣3＝6，
解得n＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条．
2．下列说法正确的是（ ）
A．多边形边数增加1，内角和增加180°
B．多边形边数增加1，内角和增加360°
C．每个角都相等的多边形是正多边形
D．每条边都相等的多边形是正多边形
【分析】根据正多边形的性质判断选项CD都错误，根据正多边形的内角和与外角和即可判断选项A和B．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2） 180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是（n+1﹣2） 180°．
则（n+1﹣2） 180°﹣（n﹣2） 180°＝180°．
故它的内角和增加180°．
故选项A正确，选项B错误，
每个角都相等且每条边都相等的多边形是正多边形，
故选项CD都错误，
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形的知识，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
3．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【分析】延长a、b交于点C，根据a⊥b得到∠ACB＝90°，于是可以得到正多边形的一个外角为45°，进而可得正多边形的边数．
【解答】解：如图，延长a，b交于点C，
∵a⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴正多边形的一个外角为＝45°，
∴n＝＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
4．如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据三角形中位线定理得到＝＝＝，
∵△ABC的面积＝2，
∴△DEF的面积＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝8，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【分析】先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG（AAS），得AG＝CG，则四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝8﹣x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题．
【解答】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴22+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键．
6．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．给出以下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②④
C．②③④ D．以上选项均不对
【分析】根据矩形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
，
∵，
∴S2+S4＝S1+S3，
不能得出S1+S2＝S3+S4，
故①错误，②正确；
根据S3＝2S1，能得出h3＝2h1，不能推出h4＝2h2，即不能推出S4＝2S2，故③错误；
∵S1＝S2，S2+S4＝S1+S3，
∴S4＝S3，
∴，
∴P点一定在对角线上，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，AH⊥CD于点H，AH的长为（ ）
A．4.5 B．4.8 C．5 D．6
【分析】先根据勾股定理求吃边长，再利用等面积法求解即可．
【解答】解：如图，设AC，BD交于点 O，
∵四边形ABCD为菱形，
：AO⊥BD，OA＝AC＝3，
OB＝BD＝4，
在△BOC中，由勾股定理可知：
BC＝＝5，
△ABC的面积＝AC BD＝DC AH，
∴AH＝4.8．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD＝a，S△BQC＝b，S ABCD＝c，则阴影部分的面积为（ ）
A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b
【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC．再根据面积差可得答案．
【解答】解：连接E、F两点，过点E作EM⊥DC于点M，
∵S△DEC＝，S ABCD＝DC EM＝c，
∴S△DEC＝c，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝a，S△BQC＝b，
∴S四边形EPFQ＝a+b，
故阴影部分的面积为＝S△DEC﹣S四边形EPFQ＝c﹣a﹣b．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据菱形的性质，可证四边形OEPF是矩形，如图所示，连接OP，则EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，再根据等面积法求高即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，
∵S△AOB＝OA OB＝AB OP，
∴OP＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．192
【分析】利用菱形的性质，直角三角形的性质，可求解．
【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，
∵DE⊥AB，
∴OE＝OB＝OD＝6，
∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62，
∴AO＝8，
∴AC＝16，
∵BD＝12，
∴菱形ABCD的面积为：
AC BD＝×16×12＝96．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握并灵活应用菱形的性质．
二．填空题（共4小题）
11．已知一个多边形的外角和与内角和的比为1：3，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】根据多边形的外角和为360°，由内角和和外角和的比，即可得到多边形的内角和，根据公式求出多边形的边数即可．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，外角和：内角和＝1：3，
∴多边形的内角和为360°×3＝1080°，
设多边形的边数为n，
∴180°（n﹣2）＝1080°，
∴n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是解题的关键．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△OCD的周长为 29 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AB＝CD＝11，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AB＝CD＝11，
∴△OCD的周长＝CO+DO+CD＝（AC+BD）+CD＝18+11＝29，
故答案为：29．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
13．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为I1，面积为S1，图2中阴影部分周长为I2，面积为S2，若，则c：b的值为 1：3 ．
【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为d，表示出S2，S1，l1，l2，再代入 即 可求解．
【解答】解：设大长方形的宽短边长为d，
∴由图2知，d＝b﹣c+a，
∴l＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d，，b＝a+b+c+a+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d，，
∴，l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d
∴，
∴bc+c2＝（b﹣c）2，
∴3bc＝b2，
∴b＝3c，
∴c：b的值为1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质是解题的关键．
14．如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝ 3 时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 2+2 ．
【分析】当B与点D 重合时，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2即可解决；根据图形取EF中点O，通过分析可知只有当B′、O、G 三点共线时，GB′长度最大，利用勾股定理解决即可．
【解答】解：当B与点D 合时，
如图：
由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，
设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，
在Rt△CDF中，
由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x ）2；
∴x＝3，
则AE＝3；
如图：取EF中点O，
∵AE＝CF，
由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，
连接 B′O、OG、OB，
在△B′OG中 B′G＜OB′+OG，
∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，
∴OB＝OB′，故只有当 B′、O、G 三点共线时、GB′长度最大，
此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，
过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，
∴在Rt△OBH 中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，
∴OB＝＝2，
∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，
∴OG＝＝2，
∴GB'＝2+2，
故答案为：3；2+2．
【点评】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用，属于综合题，理解题意是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°﹣360°＝（10﹣2）×180°，求出方程的解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）×180°﹣360°＝（10﹣2）×180°，
解得：n＝12．
答：这个多边形的边数为12．
【点评】本题考查了多边形的内角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，E为BD上一点，∠A＝∠BEF，∠ABD＝∠BFE，且BE＝BC，AB＝EF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】利用ASA证明△ABD≌△EFB，根据全等三角形的性质得出AD＝BE，∠ADB＝∠EBF，即可推出AD∥BC，AD＝BC，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解．
【解答】证明：在△ABD和△EFB中，
，
∴△ABD≌△EFB（ASA），
∴∠ADB＝∠EBF，AD＝BE，
∴AD∥BC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
17．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△EBC≌△EDC．
（2）延长BE交AD于F，当CE＝BC时，求∠EFD的度数．
【分析】（1）由题意可得：BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°且EC＝EC，可证△EBC≌△EDC；
（2）由BC＝CE，可得∠EBC＝∠BEC＝67.5°，由平行线的性质可求∠EFD的度数．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BC，BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°
∵BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，EC＝EC
∴△EBC≌△EDC
（2）∵CE＝BC，且∠ACB＝45°
∴∠EBC＝∠BEC＝67.5°
∵AD∥BC
∴∠AFB＝∠FBC＝67.5°
∵∠EFD+∠AFB＝180°
∴∠EFD＝112.5°
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练运用这些性质和判定是本题的关键．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知OA＝OC，根据已知可得AE＝BE，所以OE∥BC，EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，则EF∥OG，先证明四边形是平行四边形，再证∠EFG是直角即可；
（2）根据菱形的性质可知AC⊥BD，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE．
∴OE∥BC，
∴OE∥FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF∥OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC，OC＝AC，OB＝BD，
∵AB＝10，BD＝16，
∴OB＝8，BC＝10，
在Rt△BOC中，OC＝＝6，
∴，
即，
∴OG＝4.8．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DC＝5，求CE的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；
（2）根据直角三角形斜边中线可得BD＝4，证明△BCO∽△BDE，利用相似比求出线段CE即可．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵BO＝DO，DE⊥BC，
∴OE＝BD＝2，
∴BD＝4，
解得：CE＝3．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
20．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四边形ADEB的面积．
【分析】（1）利用平行线的性质分析可得∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，从而求证四边形ADEC是矩形；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得BC的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°
∴∠DAC＝∠ACE＝90°，
∵DE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴∠DAC＝∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ADEC是矩形；
（2）解：∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM＝6.5，
∴AB＝2CM＝13，
在Rt△ACB中，，
平行四边形ABCD中，AD＝BC＝5，
在矩形ADEC中，AD＝CE＝5，
∴四边形ADEB的面积＝S矩形ADEC+S△ACB
＝
＝
＝
＝90．
【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
21．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
【分析】（1）首先证明四边形AEBO是平行四边形，再证明是矩形可得EO＝AB，又因为AB＝CD，所以EO＝DC，问题得证；
（2）根据菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝2×△ABD的面积计算即可．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD．
即∠AOB＝90°
∴四边形AEBO是矩形．
∴EO＝AB．
在菱形ABCD中，AB＝DC，
∴EO＝DC．
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形．
∴∠EBO＝90°．
∵∠EBA＝60°，
∴∠ABO＝30°．
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°，
∴AO＝5，BO＝5．
∴BD＝10．
∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××10×5
＝50．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，得到菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝2×△ABD的面积是解题关键．
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
∴BE＝2CD；
（2）∵AC⊥BC，如图，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2CO，
∵CE＝2CO，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，解此题的关键是掌握有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
23．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．中小学教育资源及组卷应用平台
第19章 四边形 单元测试（培优）
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．下列说法正确的是（ ）
A．多边形边数增加1，内角和增加180°
B．多边形边数增加1，内角和增加360°
C．每个角都相等的多边形是正多边形
D．每条边都相等的多边形是正多边形
3．图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
4．如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
5．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝8，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）
A． B． C． D．9
6．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．给出以下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②④
C．②③④ D．以上选项均不对
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，AH⊥CD于点H，AH的长为（ ）
A．4.5 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若 S△APD＝a，S△BQC＝b，S ABCD＝c，则阴影部分的面积为（ ）
A．a+b B． C．c﹣2a﹣b D．2a+b
9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．60 C．96 D．192
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
11．已知一个多边形的外角和与内角和的比为1：3，则这个多边形的边数为 ．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC+BD＝36，AB＝11，则△OCD的周长为 ．
13．有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为I1，面积为S1，图2中阴影部分周长为I2，面积为S2，若，则c：b的值为 ．
14．如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEFB关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝ 时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是 ．
解答题（共9小题。15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
16．如图，在四边形ABCD中，E为BD上一点，∠A＝∠BEF，∠ABD＝∠BFE，且BE＝BC，AB＝EF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
17．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△EBC≌△EDC．
（2）延长BE交AD于F，当CE＝BC时，求∠EFD的度数．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
19．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO＝2，DC＝5，求CE的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）若CM＝6.5，且AC＝12，求四边形ADEB的面积．
21．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
23．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
