20.2数据的波动程度（教学课件）-【大单元教学】八年级数学下册同步备课系列（人教版）

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课堂小结
第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.数据的波动程度
情景引入
情景引入
我们知道，接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，所以特注重队员的身高．下面有两组仪仗队，准备抽取其中一组参与检阅．已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队
178
177
179
178
178
177
178
178
177
179
乙队
178
177
179
176
178
180
180
178
176
178
乙队
甲队
你认为哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
知识点一 方差的概念
知识精讲
　　问题1 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
知识精讲
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．
　　说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．
　　可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大．
知识精讲
产量波动较大
产量波动较小
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况． 　
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
知识精讲
1.方差的概念：
设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数　
的差的平方分别是 ，
我们用这些值的平均数，即
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．
知识要点
知识精讲
2.方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
知识要点
知识精讲
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　
两组数据的方差分别是：
　　据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
　　显然 　＞ 　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．
典型例题
典例精析
【例1】在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）如表所示.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
????乙=163+165×2+166×2+167+168×28 =166.
?
????甲=163+164×2+165×2+166×2+1678 =165.
?
????2甲=18×163?1652+164?1652+…+167?1652=1.5.
?
????2乙=18×163?1662+165?1662+…+168?1662=2.5.
?
由????2甲?
方差分别是
练一练
【答】(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差：
(3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： .
1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平
均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的.
（1）6 6 6 6 6 6；
（2）5 5 6 6 6 7 7；
（3）3 3 4 6 8 9 9；
（4）3 3 3 6 9 9 9.
知识点二 方差的简单应用
知识精讲
某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近.
快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.
问题1：通过哪些统计量判断呢？
问题2：如何获取这些数据呢？
鸡腿质量的平均值
方差
抽样调查(随机)
收集、整理数据
计算平均数、方差
价格相同，品质相近.
用样本估计总体
知识精讲
检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量(单位：g)如下表所示.根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
解：检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的15个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是
平均值是一样的，继续计算对应的方差.
知识精讲
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
解：样本数据的平均数分别为：
平均值是一样的，继续计算对应的方差.
样本数据的方差分别是
两家加工厂的鸡腿质量大致相等.
甲加工厂的鸡腿质量更稳定，大小更均匀.
因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.
知识精讲
一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大；反之，其离散程度就越小.
用样本估计总体是统计的基本思想，类似于用样本的平均数估计总体的平均数，考察总体方差的时候，如果考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性时，实际中常常会用样本的方差来估计总体的方差.
注意：在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.
总结归纳
典型例题
典例精析
【例2】为了比较甲、乙两个新品种水稻产品质量，收割时抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表(单位：t)：
(1) 哪个品种平均每公顷的产量较高？
(2) 哪个品种的产量较稳定？
1
2
3
4
5
甲
12.6
12
12.3
11.7
12.9
乙
12.3
12.3
12.3
11.4
13.2
田地编号
水稻品种
分析：现在要通过比较甲、乙两个新品种在试验田中的产量和产量的稳定性，来估计甲、乙两个新品种在这一地区的产量和产量的稳定性，这实际上就是用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差.
平均数
平均数、方差.
(1) 哪个品种平均每公顷的产量较高？
解 甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本，其平均数分别为：
说明甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高.
(2) 哪个品种的产量较稳定？
解 在(1)中得到平均数相同，继续计算其方差分别为：
，即甲品种每公顷的产量波动比乙品种的小，
所以甲品种的产量较稳定.
知识点三 根据方差做决策
知识精讲
【例3】在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续高低不等的台阶.如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图(图中数字表示每一阶的高度，单位：cm).哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
21
20
21
19
19
20
17
24
20
17
19
23
甲
乙
分析：通过计算两段台阶的方差，比较波动性大小.　　　
典型例题
∴走甲台阶的波动性更小，走起来更舒适.
解：
∵
练一练
队员
平均成绩
方差
甲
9.7
2.12
乙
9.6
0.56
丙
9.8
0.56
丁
9.6
1.34
1、甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
C
议一议
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小．
方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差．
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
　　 先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
课堂练习
1.对于一组统计数据3，3，6，5， 3. 下列说法错误的是(　　)
A．众数是3 B．平均数是4
C．方差是1.6 D．中位数是6
D
2.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(　　)
A．x＝0
B．x1＋x2＋…＋xn＝0
C．x1＝x2＝…＝xn＝0
D．x1＝x2＝…＝xn
D
3、对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．方差是4
C．平均数是5 D．中位数是4.5
B
【分析】众数是3；平均数是(2+3+6+9+3+7)÷6=5；
方差s2=?????????????+????×?????????????+?????????????+?????????????+?????????????????=????????????；
把这组数据从小到大排列为：2，3，3，6，7，9，中位数是????+????????=4.5。
?
4、已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是5，那么数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差为________。
【分析】(2)设x1，x2，x3，x4，x5的平均数为????，方差为s21，
则3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数为3????-2，方差为s22，
∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是5，
∴s21=?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????????=5，
?
∴s22=??????????????????????????+????????+??????????????????????????+????????+??????????????????????????+????????+??????????????????????????+????????+??????????????????????????+????????????
=?????????????????????????+?????????????????????????+?????????????????????????+?????????????????????????+?????????????????????????????
=????????×?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????????=9×5=45。
?
5.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙的成绩
82
86
87
90
79
81
93
90
74
78
（1）填写下表：
同学
平均成绩
中位数
众数
方差
85分以上的频率
甲
84
84
0.3
乙
84
84
34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
6、某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
（1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？
分析：分别计算出平均数和方差；根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．
解：　　　
(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)
=601．6，s2甲≈65.84；
(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)
=599．3，s2乙≈284.21．
由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但甲队员的成绩不突出，乙队员和甲队员相比比较突出．
（2）历届比赛表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．
解：从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．
但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．
7、甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛，成绩如下表：
甲
65
74
70
80
65
66
69
71
乙
60
75
78
61
80
62
65
79
请比较两班学生成绩的优劣.
课堂总结
方差
方差的统计学意义（判断数据的波动程度）：
方差越大（小），数据的波动越大（小）.
公式：
根据方差做决策
方差的作用：比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差