专题03四边形（考点串讲）-八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

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八年级沪教版数学下册期末考点大串讲
串讲03 四边形
01
02
04
03
目
录
易错易混
题型剖析
考点透视
押题预测
四大易错易混经典例题
5道期末真题对应考点练
五大重难点题型典例剖析+三种技巧总结
四大常考点：知识梳理
考点一 多边形
多边形的性质 内角和 n 边形内角和为 .
外角和 任意多边形的外角和为 。
(n－2)·180°
360°
考点透视
正多 边形 定义 各个角________，各条边________的多边形叫正多边形
对称性 正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形
相等
相等
轴
定义：
两组对边分别平行的四边形称为平行四边形．
如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥CB,请问四边形ABCD是什么图形？
考点二 平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质
元素
对角线
角
边
两组对边分别平行;
两组对边分别相等.
两组对角分别相等；
邻角互补
对角线互相平分.
平行四边形的对称性：
对称性：平行四边形是中心对称图形；
对称中心：对角线的交点。
平行四边形的判定：
四边形
平行四边形
边
两组对边分别相等。
两组对边分别平行。
一组对边平行且相等。
角
对角线
两组对角分别相等。
两条对角线互相平分。
1、梯形：是指一组对边 而另一组对边
的四边形；
或指一组对边 且 的四边形。
2、特殊的梯形有： 、 。
3、梯形的中位线：连接梯形两腰的 的 线段。梯形中位线的长度等于 。
平行
不平行
平行
不相等
等腰梯形
直角梯形
中点
两底和的一半
考点三 梯形
4.等腰梯形的性质与判定：
边的关系 角的关系 对角线 对称性
性质 两底 2.两腰 同一底上的两个角 2.不在同一底上的角 两条对角线
对称图形。
判定 两腰 的梯形 同一底上的两个 角 的梯形 两条对角线 的梯形
相等
平行
相等
互补
相等
轴
相等
相等
相等
5.三角形 中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
∵D、E是AB、AC的中点,
D
E
B
C
A
∴DE∥BC,
F
向量：既有大小、又有方向的量.
几何表示：
有向线段
A
B
符号语言： ，
模： ，
位置向量
自由向量
相等向量
相反向量
平行向量
向量的模型——位移
从始点A出发到终点B的过程中的位移为 .
位移由运动过程中的始点和终点确定，而与运动的路径无关.
考点四：平面向量
一、向量加法的运算（作图）法则：
二、向量减法的运算（作图）法则：
1、三角形法则，（起点和终点重合）
2、多边形形法则（首尾依次相连接）
1、三角形法则（共起点，尾相连）
3、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
2、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
以共起点为起点的对角线向量，就是a，b的和向量；
与被减向量共终点的对角线向量，就是a，b的差向量。
平面向量的加减
A
C
题型剖析
不唯一，如DE＝EC
32cm或34cm
C
AB＝BC或AC⊥BD
A
11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，如果AB=2，EF=3，那么CD= ____ ．
【解析】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF= (AB+CD)，
∴CD=2EF-AB=6-2=4．
故答案为：4．
4
考点4：梯形
12.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，对角线AC与BD相交于点O，且BD=BC，那么∠AOB= ____ 度．
【解析】解：如图，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC= AB，AF= AB，∴AF= BC．
又∵DE=AF，∴DE= BC= BD，∴ = ，
∴∠1=30°，∴∠BOC=180°-30°-45°=105°，
∴∠AOB=180°-∠BOC=180°-105°=75°，
故答案为：75．
75
13.下列等式中不正确的是( ____ )
A.
B.-(- )=
C.( + )+ = +( + )
D. +(- )= -
【解析】解：A、 ，符合题意；
B、-(- )= ，不符合题意；
C、( + )+ = +( + )，不符合题意；
A
D、 +(- )= - ，不符合题意．
故选：A．
考点5：平面向量
14.如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，设 ，用向量 、 表示向量 =　　．
【解析】解：∵点D是边AC的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ =- ，
故答案为：- ．
技巧1：特殊平行四边形的证明与计算
技巧总结
C
A
B
技巧2：四边形中的图形变换
C
B
5
6
40°
B
技巧3：解决梯形问题的基本思路和方法：
通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决。
常画的辅助线有以下几种：
B
A
D
C
E
作一腰平行线
B
A
D
C
E
F
作高线
E
B
A
D
C
延长两腰
B
C
D
A
O
E
作对角线的平行线
11.在直角梯形ABCD中，AD//BC, ∠ A=90°,
AD=10cm，DC=13cm，BC=15cm，求AB的长。
作高,将梯形问题转化成直角三角形和矩形.
解：作DE⊥BC于点E ，则∠DEB=90°
∵ AD//BC，
∴ ∠A+ ∠ B=180 °
∵ ∠A=90 °
∴ ∠B=90 °
∵ ∠A=90 °,∠B=90 °,∠DEB=90°
∴四边形ABED是矩形
∴AD= BE，AB=DE
∵AD=10cm，BC=15cm
∴EC=BC-BE=BC-AD=5cm
在Rt△DEC中，
∵ ∠DEC=90°
∴
∴AB=12cm
12.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,
∠D=2 ∠B,AD=10,AB=15,求CD的长。
平移一腰,将梯形问题转化成三角形和
平行四边形.
解：作CE //DA交AB于点E
∵ AB//DC， CE //DA
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE=DA， DC=AE， ∠D= ∠ 1
∵AD=10 ，∠D= 2∠ B
∴CE=10， ∠1= 2∠ B
∵ ∠1= ∠ B+ ∠ 2
∴∠2= ∠ B
∴EB= EC=10
∵AB=15
∴AE=AB-EB=5
∴CD=5
E
1
2
B
易错易混
B
C
(3,2)或(－3,2)或(5，－2)
1.(2023春·黄浦区期末 )已知向量 、 满足| |=| |，则( ____ )
A. = B. =-
C. ∥ D.以上都有可能
【解析】解：若向量 、 满足| |=| |，
可得： = ，或 =- ，或 ∥ ，
故选：D．
D
押题预测
2.(2023春·浦东新区校级期末)一个正多边形的每一个内角都是140°，则这个正多边形的边数是 ____
【解析】解：180°-140°=40°，
360°÷40°=9．
故答案为：九．
九
3.(2023春·杨浦区期末)已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ____ ．
【解析】解：因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：AB=10，AC=12．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6，
∴BO=8，BD=16．
∴面积S= AC×BD=12×16× =96．
故答案为96．
96
4.(2023春·浦东新区校级期末)如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA．
(1)求证：四边形OFGE是平行四边形．
(2)猜想：当∠ABD= ____ °时四边形OFGE是菱形，并证明．
【解析】(1)证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O，∴OD=OB=OA，
又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA，
∴OE为△ABD的中位线，FG为△AOD的中位线，
∴ ，OE∥AD，FG∥AD， ，∴OE∥FG，OE=FG，
∴四边形OFGE是平行四边形；
(2)解：由(1)知，四边形OFGE是平行四边形，当四边形OFGE是菱形时，
则OF=FG，∴OD=AD，∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，∴∠ABD=30°，
∴当∠ABD=30°时，四边形OFGE是菱形．
故答案为：30．
30
5.(2023春·黄浦区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG=CH．
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)若∠AEG+∠BFG=90°，求证：四边形EGFH是矩形．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE= AD，CF= BC，∴AE=DE=BF=CF，
在△AGE与△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF(SAS)；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE= AD，BF= BC，∴DE=BF，
∵AG=CH，∴AB-AG=CD-CH，即BG=DH，
∴△BFG≌△DEH(SAS)；∴FG=EH，
由(1)知△AGE≌△CHF，∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵∠AEG+∠BFG=90°，∴∠CFH+∠BFG=90°，
∴∠GFH=90°，∴四边形EGFH是矩形．
5.(2023春·黄浦区期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，点G、H分别在边AB、CD上，且AG=CH．
(1)求证：△AGE≌△CHF；
(2)若∠AEG+∠BFG=90°，求证：四边形EGFH是矩形．