2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( )
A. B. C. D.
2.若是平面外的一条直线，则直线与平面内的直线的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面
3.若是虚数单位，则复数的虚部等于( )
A. B. C. D.
4.如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆锥的高为，其侧面展开图的心角为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，已知，且，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.已知平面上的两个单位向量，满足，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( )
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体
10.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则共轭复数 B. 若复数，则
C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则
11.下列命题正确的是( )
A.
B. 已知，为非零实数，若，则与共线
C. 若为非零向量，若“”则“”
D. 若单位向量满足，则与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则在复平面内对应的点位于______象限．
13.已知根细钢丝的长度分别为，，，，用其中的根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______．
14.已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求实数的值或取值范围，使得复数分别满足：
是实数；
是纯虚数；
是复平面中对应的点位于第二象限．
16.本小题分
已知向量，，．
若点，，共线，求实数的值；
若为直角三角形，求实数的值．
17.本小题分
正棱锥的底面边长为，高为求：
棱锥的侧棱长和侧面的高；
棱锥的表面积与体积．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，为的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
19.本小题分
如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为米分钟，在甲出发分钟后，乙从乘缆车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为米分钟，山路长米，经测量，，．
求索道的长；
问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】
解：由图可知，，，
所以．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：是平面外的一条直线，或与相交，
若，则与平面内的直线的位置关系是平行或异面；
若与相交，则与内直线的位置关系是相交或异面．
则直线与平面内的直线的位置关系是平行、相交或异面．
故选：．
由是平面外的一条直线，可得与的位置关系，然后分类分析得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
复数的虚部等于．
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
5.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，即；
其侧面展开图的心角为，即；
解得，
所以圆锥的体积为．
故选：．
设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意列方程求出，再计算圆锥的体积．
本题考查了圆锥的侧面展开图以及体积计算问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，．
故选：．
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由得，所以，所以，所以为直角三角形；
由得，
所以，所以，
即，因为，所以，所以为等腰三角形；
综上，为等腰直角三角形．
故选：．
由两边平方得，由化简得，得为等腰直角三角形．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
时，取最小值．
故选：．
根据条件及进行数量积的运算即可得出，然后配方即可求出最小值．
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题，是基础题．
根据圆锥、圆柱、三棱锥和正方体的结构特征，判断即可．
【解答】
解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以不满足条件；
用一个平行于底面的平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以满足条件；
用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以满足条件．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，
若，则，，故A错误；
此时，故D正确；
若复数，则，即，故B正确；
若复数为纯虚数，则，即，故C错误．
故选：．
把代入，化简后可得A错误；代入整理，可得D正确；再由实部为，虚部为求解判断；由实部为且虚部不为列式求解判断．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，不妨设，，为非零向量，且，则，，即选项A错误；
对于选项B，已知，为非零实数，若，，则与共线，即选项B正确；
对于选项C，已知为非零向量，又“”则，即或，即选项C错误；
对于选项D，若单位向量满足，
则，
即，
即，
即，
则，
则与的夹角为，
即选项D正确．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合共线向量及向量夹角的运算，逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量的数量积，重点考查了共线向量及向量的夹角，属基础题．
12.【答案】第二
【解析】解：由，
得，
则．
在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故答案为：第二．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根细钢丝的长度分别为，，，，用其中的根细钢丝围成一个三角形，所有可能的长度组合为：，，；，，，
当长度分别为，，时，该三角形最小内角的余弦值为；
当长度分别为，，时，该三角形最小内角的余弦值为，
该三角形最小内角的余弦值可以是或．
故答案为：答案不唯一．
由三角形的三边满足的条件可得到能围成三角形的钢丝长度情况，然后由大边对大角在每种情况下求出最小角的余弦值，最后比较余弦值的大小和余弦函数的单调性得到最小角的余弦值．
本题考查用余弦定理解三角形和大边对大角等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，且，的夹角为，
在上的投影向量的坐标为
；
由，得，
．
故答案为：；．
直接利用向量在向量上的投影向量的定义求在上的投影向量的坐标，再由，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：由题意得，所以；
由题意得，所以；
由题意得，所以，
故的取值范围为．
【解析】根据复数的概念列式可求出结果；
根据复数的概念列式可求出结果；
根据复数的几何意义可求出结果．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：向量，，．
故，，
故，
整理得：，
故．
由于向量，，．
故，，，
当为直角时，
所以，
故，解得；
当为直角时，
，
故，解得；
当为直角时，
所以，
故，无解．
由可知：或．
【解析】直接利用向量的线性运算和向量的共线的条件的应用建立方程，进一步求出的值；
利用分类讨论思想的应用和向量垂直的充要条件的应用求出的值．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
17.【答案】解：设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，，则，，，，则，
在中，，
在中，，
棱锥的侧棱长为，侧面的高为．
棱锥的表面积：
几何体的体积为：
【解析】直接利用公式计算；
直接利用公式计算；
本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．
18.【答案】证明：连接，由为的中点，为的中点，
可得，
又平面，平面，
则平面；
由为的中点，为的中点，可得，
又平面，平面，
可得平面．
又为的中点，为的中点，
可得，
又平面，平面，
则平面．
又，可得平面平面．
【解析】连接，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可得证明；
运用面面平行的判定定理可得证明．
本题考查线面平行和面面平行的判定定理，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：在中，因为，，所以，，
从而，
由正弦定理，得．
所以索道的长为．
假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得：，
因，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
【解析】根据正弦定理即可确定出的长；
设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理即可得解．
此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．
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