北京市中关村中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（PDF版含解析）

北京市中关村中学 2023-2024学年高一（下）期中数学试卷
一、本部分共 10题，每题 4分，共 40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．（4分）已知角α的终边经过点 P（﹣1，2），则 sinα＝（ ）
A． B． C．﹣2 D．
2．（4分）已知向量 ＝（1，t）， ＝（﹣2，1），若 ∥ ，则 t＝（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
3．（4分）下列函数的最小正周期为π且为奇函数的是（ ）
A．y＝cos2x B．y＝tan2x
C．y＝|sinx| D．y＝cos（ +2x）
4．（4分）要得到函数 y＝sin2x的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．（4分）已知扇形的圆心角为 2rad，所对的弦长为 4，则扇形的面积为（ ）
A．2sin1 B．4sin21 C． D．
6．（4分）如图所示，在正方形 ABCD中，E为 AB的中点，F为 CE的中点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）“sinθ+tanθ＞0”是“θ为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
第 1页（共 18页）
8．（4分）在△ABC中， ，P是直线 BD上的一点，若 ，则实数 t的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而
成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）已知函数 f（x）＝|sinx+a|，给出下列四个结论：
①对任意 a∈R，函数 f（x）的最大值与最小值，之差为 2；
②存在 a∈R，使得对任意 x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2a；
③当 a≠0时，对任意非零实数 x， ；
④当 a＝0时，存在 T∈（0，π），存在 x0∈R，使得对任意 n∈Z都有 f（x0）＝f（x0+nT）．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
11．（5 分）已知θ为第三象限角，且 ，则 cosθ＝ ，sin（θ+π）
＝ ．
12．（5分）已知 O为坐标原点，A（3，﹣6），B（﹣5，2）， ＝ （ ），则 C点坐标为 ．
13．（5分）若 tanα＝2，则 ＝ ．
14．（5分）已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示．
①函数 f（x）的最小正周期为 ；
第 2页（共 18页）
②将函数 f（x）的图象向左平移 t（t＞0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象．若函数 g（x）为偶函
数，则 t的最小值是 ．
15．（5分） 在区间[0，π]上有且仅有 3个对称中心，给出下列四个结论：
①ω的取值范围是 ；
②f（x）的最小正周期可能是 ；
③f（x）在区间 上单调递减；
④f（x）在区间（0，π）上有且仅有 3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（15分）已知 A（﹣2，1），B（2，0），D（0，3），且 ，AC与 BD相交于点 P．
（1）求点 C和点 P的坐标；
（2）求 ．
17．（15分）设 是不共线的两个向量．
（1）若 ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）若 8 +k 与 共线，求实数 k的值．
18．（15分）已知函数 ．
（1）某同学利用五点法画函数 f（x）在区间 上的图象，他列出表格，并填入了部分数据，
请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数 g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
第 3页（共 18页）
①若函数 g（x）的最小正周期为 ，求 g（x）的单调递增区间；
②若函数 g（x）在 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
x
0 π 2π
f（x） 0 2 0 0
19．（14分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一个对称中心到其相邻的对称
轴的距离为 ，且图像上一个最低点为 ．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）若当 时方程 f（x）+m＝0有唯一实根，求 m的范围．
20．（13分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高
处俯瞰四周景色．位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为
124米，设置有 36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面 145米时
大约需要 15分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过 t分钟后游客甲距离地面的高度为 H米，已知 H关于 t的函数关系式满足 H（t）＝Asin（ωt+φ）
+B（其中 A＞0，ω＞0， ，求摩天轮转动一周的解析式 H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔 5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长
时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？
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21．（13分）对于分别定义在 D1，D2上的函数 f（x），g（x）以及实数 k，若存在 x1∈D1，x2∈D2使得 f（x1）
﹣g（x2）＝k，则称函数 f（x）与 g（x）具有关系 M（k）．
（1）若 f（x）＝cosx，x∈[0，π]；g（x）＝sinx，x∈[0，π]，判断 f（x）与 g（x）是否具有关系 M（﹣
2），并说明理由；
（2）若 f（x）＝2sinx，f（x）＝2sinx与 g（x）＝2cos2x+sinx﹣1具有关系 M（k），求 k的取值范围；
（3）已知 a＞0，h（x）为定义在 R上的奇函数，且满足：
①在[0，2a]上，当且仅当 时，h（x）取得最大值 1；
②对任意 x∈R，有 h（a+x）＝﹣h（a﹣x）．
判断 f（x）＝sin2πx+h（x）与 g（x）＝h（x）﹣cos2πx是否具有关系 M（4），并说明理由．
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参考答案与试题解析
一、本部分共 10题，每题 4分，共 40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．（4分）已知角α的终边经过点 P（﹣1，2），则 sinα＝（ ）
A． B． C．﹣2 D．
【解答】解：角α的终边经过点 P（﹣1，2），则 sinα＝ ＝ ，
故选：B．
2．（4分）已知向量 ＝（1，t）， ＝（﹣2，1），若 ∥ ，则 t＝（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【解答】解：∵向量 ＝（1，t）， ＝（﹣2，1）， ∥ ，
∴ ，
解得 t＝﹣ ．
故选：B．
3．（4分）下列函数的最小正周期为π且为奇函数的是（ ）
A．y＝cos2x B．y＝tan2x
C．y＝|sinx| D．y＝cos（ +2x）
【解答】解：A：y＝cos2x为偶函数，不符合题意；
B：y＝tan2x的最小正周期 T＝ ，不符合题意；
C：y＝|sinx|为偶函数，不符合题意；
D：y＝cos（2x+ ）＝﹣sin2x为奇函数，且 T＝ ＝π，符合题意．
故选：D．
4．（4分）要得到函数 y＝sin2x的图象，只需将函数 的图象（ ）
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A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解答】解：因为：y＝sin（2x+ ）＝sin2（x+ ）．
根据函数图象的平移规律可得：须把函数 y＝sin2（x+ ）相右平移 个单位得到函数 y＝sin2x的图
象．
故选：D．
5．（4分）已知扇形的圆心角为 2rad，所对的弦长为 4，则扇形的面积为（ ）
A．2sin1 B．4sin21 C． D．
【解答】解：扇形的圆心角为 2rad，所对的弦长为 4，
则 sin1＝ ，即 r＝ ，
故扇形的面积为 ．
故选：D．
6．（4分）如图所示，在正方形 ABCD中，E为 AB的中点，F为 CE的中点，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
又 ， ，
所以 ．
故选：D．
7．（4分）“sinθ+tanθ＞0”是“θ为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
第 7页（共 18页）
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为 ，
所以 tanθ＞0，θ为第一或第三象限角，
反之，若θ为第一或第三象限角，则必有 sinθ+tanθ＞0．
所以“sinθ+tanθ＞0”是“θ为第一或第三象限角”的充分必要条件．
故选：C．
8．（4分）在△ABC中， ，P是直线 BD上的一点，若 ，则实数 t的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
又 P是直线 BD上的一点，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 t＝ ．
故选：B．
9．（4分）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而
成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
第 8页（共 18页）
【解答】解：对于 A，函数 ，定义域为 R，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故 A符合图象；
对于 B，函数 ，定义域为 R，
因为 ，所以函数为奇函数，
又 ，故 B不符题意；
对于 C，函数 ，定义域为 R，
因为 ≠0，故 C不符题意；
对于 D，当 x＝0时， ≠0，故 D不符题意．
故选：A．
10．（4分）已知函数 f（x）＝|sinx+a|，给出下列四个结论：
①对任意 a∈R，函数 f（x）的最大值与最小值，之差为 2；
②存在 a∈R，使得对任意 x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2a；
③当 a≠0时，对任意非零实数 x， ；
④当 a＝0时，存在 T∈（0，π），存在 x0∈R，使得对任意 n∈Z都有 f（x0）＝f（x0+nT）．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
【解答】解：当 a＝0时，f（x）＝|sinx|的最大值为 1，最小值为 0，①错误；
当 a＝1时，f（x）＝|sinx+1|，
则 f（x）+f（﹣x）＝|1+sinx|+|1﹣sinx|＝1+sinx+1﹣sinx＝2，②正确；
当 a≠0时，f（x+ ）＝|sin（x+ ）+a|＝|a+cosx|，f（ ）＝|a+sin（ ）|＝|a+cosx|，③正
确；
当 a＝0时，f（x）＝|sinx|的周期 T＝π，
取 T＝ ，x0＝ ，即存在 T∈（0，π），存在 x0∈R，使得对任意 n∈Z都有 f（x0）＝f（x0+nT），④正
确．
第 9页（共 18页）
故选：D．
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
11．（5分）已知θ为第三象限角，且 ，则 cosθ＝ ，sin（θ+π）＝ ．
【解答】解：∵θ为第三象限角，且 ，
∴cosθ＝﹣ ；
sin（θ+π）＝﹣sinθ＝ ．
故答案为： ； ．
12．（5分）已知 O为坐标原点，A（3，﹣6），B（﹣5，2）， ＝ （ ），则 C点坐标为 （﹣1，
﹣2） ．
【解答】解：由 ＝ （ ），可知 C为线段 AB的中点，
又 A（3，﹣6），B（﹣5，2），则 C（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
13．（5分）若 tanα＝2，则 ＝ ．
【解答】解：∵tanα＝2，∴ ＝ ．
故答案为： ．
14．（5分）已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示．
①函数 f（x）的最小正周期为 ；
②将函数 f（x）的图象向左平移 t（t＞0）个单位长度，得到函数 g（x）的图象．若函数 g（x）为偶函
数，则 t的最小值是 ．
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【解答】解：①由函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象可得函数的图象经过点（0，1），
故有 2sinφ＝1，
结合图象可得φ＝ ，f（x）＝2sin（ωx+ ）．
再把点（ ，﹣1）代入，可得 2sin（ + ）＝﹣1，即 sin（ + ）＝﹣ ．
结合图象可得 + ＝ ，∴ω＝ ，故函数 f（x）＝2sin（ x+ ）的最小正周期为 ＝
；
②将函数 f（x）＝2sin（ x+ ）的图象向左平移 t（t＞0）个单位长度，
得到函数 g（x）＝2sin（ x+ + ）的图象，
若函数 g（x）为偶函数，则 + ＝kπ+ （k∈Z），即 t＝ + ，k∈Z．
则正数 t的最小值是 ，此时，k＝0．
故答案为：① ；② ．
15．（5分） 在区间[0，π]上有且仅有 3个对称中心，给出下列四个结论：
①ω的取值范围是 ；
②f（x）的最小正周期可能是 ；
③f（x）在区间 上单调递减；
④f（x）在区间（0，π）上有且仅有 3条对称轴；
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①中，因为 x∈[0，π]，所以ωx+ ∈[ ，ωπ+ ]，ω＞0，
又因为 在区间[0，π]上有且仅有 3个对称中心，
所以 ≤ωπ+ ＜ ，解得 ≤ω＜ ，所以①正确；
②中，最小正周期 T＝ ∈（ π， π]，因为 ∈（ π， π]，所以②正确；
③中，因为 x∈（0， ），所以ωx+ ∈[ ， ω+ ]，ω＞0，
第 11页（共 18页）
又由①选项的分析， ≤ω＜ ，所以 ≤ ω+ ＜ ＜π，
所以 f（x）在区间 上单调递减，所以③正确；
④中，由①选项的分析，当 ≤ωπ+ ＜3π，
则 f（x）在区间（0，π）上有且仅有 2条对称轴，所以④不正确．
故答案为：①②③．
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（15分）已知 A（﹣2，1），B（2，0），D（0，3），且 ，AC与 BD相交于点 P．
（1）求点 C和点 P的坐标；
（2）求 ．
【解答】解：（1）设 C（x，y），因为 ＝（x﹣2，y）， ＝（2，2）， ，
所以 ，解得 C（4，2）；
因为 ＝ ，A、B、C、D不共线，所以四边形 ABCD为平行四边形，
所以 ＝ ＝（3， ），
所以 ＝ + ＝（1， ），即 P（1， ）．
（2）因为 ＝（6，1），所以 ＝ ＝ ．
17．（15分）设 是不共线的两个向量．
（1）若 ， ，求证：A，B，D三点共线；
（2）若 8 +k 与 共线，求实数 k的值．
【解答】解：（1）证明： ，
∴ ，且有公共点 B，
∴A，B，D三点共线；
（2）∵ 不共线，∴ ，
又 与 共线，∴存在实数λ，使 ，
第 12页（共 18页）
∴ ，解得 k＝±4．
18．（15分）已知函数 ．
（1）某同学利用五点法画函数 f（x）在区间 上的图象，他列出表格，并填入了部分数据，
请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
（2）已知函数 g（x）＝f（ωx）（ω＞0）．
①若函数 g（x）的最小正周期为 ，求 g（x）的单调递增区间；
②若函数 g（x）在 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
x
0 π 2π
f（x） 0 2 0 0
【解答】解：函数 ，x∈ ，
x
0 π 2π
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
（2）①因为 g（x）＝f（ωx）＝2sin（2ωx﹣ ），
第 13页（共 18页）
因为函数的最小正周期 T＝ ＝ ，可得ω＝ ，
即 g（x）＝2sin（3x﹣ ），
函数 g（x）的单调递增区间满足：﹣ +2kπ≤3x﹣ ≤ +2kπ，k∈Z，
解得﹣ + kπ≤x≤ + kπ，k∈Z，
所以函数 g（x）的单调递增区间为：[﹣ + kπ， + kπ]（k∈Z）；
②函数 g（x）在 上无零点，
因为 x∈ ，所以 2ωx﹣ ∈[﹣ ， ωπ﹣ ]，
所以﹣ ＜2ωπ﹣ ＜0，
解得 0＜ω＜ ．
即ω的取值范围为（0， ）．
19．（14分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一个对称中心到其相邻的对称
轴的距离为 ，且图像上一个最低点为 ．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）若当 时方程 f（x）+m＝0有唯一实根，求 m的范围．
【解答】解：（1）由题意可得 ＝ ，可得 T＝ ，
而 T＝ ＝ ，可得ω＝ ，
再由图像上一个最低点为 ，可得 A＝ ，
且 × +φ＝ +2kπ，k∈Z，又因为 0＜φ＜π，
可得φ＝ ，
所以 f（x）＝ sin（ x+ ）；
（2）当 时方程 f（x）+m＝0有唯一实根，即﹣m＝f（x），
所以 x+ ∈（ ， ），
第 14页（共 18页）
设 t＝ x+ ∈（ ， ），
设 g（t）＝ sint∈（ ， ），
所以 t∈（ ， ）时，g（t）单调递减，
f（x）∈[﹣1，1）时满足方程 f（x）+m＝0有唯一实根，
所以 m∈（﹣1，1]．
20．（13分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高
处俯瞰四周景色．位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为
124米，设置有 36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面 145米时
大约需要 15分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过 t分钟后游客甲距离地面的高度为 H米，已知 H关于 t的函数关系式满足 H（t）＝Asin（ωt+φ）
+B（其中 A＞0，ω＞0， ，求摩天轮转动一周的解析式 H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到 52米？
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔 5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长
时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？
【解答】解：（1）由题意知，A＝ ×124＝62，A+B＝62+B＝145，解得 B＝83，
又 T＝15×2＝30，所以ω＝ ＝ ，
t＝0时，H（t）＝62sinφ+83＝145﹣124＝21，解得 sinφ＝﹣1，
第 15页（共 18页）
因为|φ|≤ ，所以φ＝﹣ ，
所以 H（t）＝62sin（ t﹣ ）+83，0≤t≤30；
（2）令 H（t）＝52，得 62sin（ t﹣ ）+83＝52，解得 sin（ t﹣ ）＝﹣ ，
即 cos t＝ ，令 t＝ ，解得 t＝5，
所以游客甲坐上摩天轮后 5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到 52米；
（3）由题意知，H（t）＝62sin（ t﹣ ）+83＝﹣62cos t+83，中间间隔 5个座舱，即 H（t﹣6）
＝﹣62cos[ （t﹣5）]+83，
令 H（t）＝H（t﹣5），得 cos t＝cos（ t﹣ ）＝ cos t+ sin t，
即 cos t﹣ sin t＝0，所以 cos（ t+ ）＝0，解得 t+ ＝ +kπ，k∈Z；
所以 t＝ +15k，k∈Z；k＝0时，t＝2.5＜5，不合题意；当 k＝1时，t＝17.5，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同．
21．（13分）对于分别定义在 D1，D2上的函数 f（x），g（x）以及实数 k，若存在 x1∈D1，x2∈D2使得 f（x1）
﹣g（x2）＝k，则称函数 f（x）与 g（x）具有关系 M（k）．
（1）若 f（x）＝cosx，x∈[0，π]；g（x）＝sinx，x∈[0，π]，判断 f（x）与 g（x）是否具有关系 M（﹣
2），并说明理由；
（2）若 f（x）＝2sinx，f（x）＝2sinx与 g（x）＝2cos2x+sinx﹣1具有关系 M（k），求 k的取值范围；
（3）已知 a＞0，h（x）为定义在 R上的奇函数，且满足：
①在[0，2a]上，当且仅当 时，h（x）取得最大值 1；
②对任意 x∈R，有 h（a+x）＝﹣h（a﹣x）．
判断 f（x）＝sin2πx+h（x）与 g（x）＝h（x）﹣cos2πx是否具有关系 M（4），并说明理由．
【解答】解：（1）f（x）与 g（x）具有关系 M（﹣2），理由如下：
当 x∈[0，π]时，f（x）＝cosx∈[﹣1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]，
当 x1＝π，f（x）＝f（π）＝﹣1，
当 时， ，
此时 ，
第 16页（共 18页）
则 f（x）与 g（x）具有关系 M（﹣2）；
（2）f（x）＝2sinx∈[﹣2，2]，
g（x）＝2cos2x+sinx﹣1＝ ，
因为 sinx∈[﹣1，1]，
则当 sinx＝﹣1时， ，
则 ，
所以 ，
则 ；
（3）不具有 M（4）关系，理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当 x＝ 时，h（x）取得最大值 1；
又 f（x）为定义在 R上的奇函数，
故在[﹣2a，0]上，当且仅当 时，f（x）取得最小值﹣1，
由对任意 x∈R，有 h（a+x）+h（a﹣x）＝0，
所以 y＝f（x）关于点（a，0）对称，
又 h（a+x）＝﹣h（a﹣x）＝h（x﹣a），
所以 h（x）的周期为 2a，
故 h（x）的值域为[﹣1，1]，
sin2πx∈[﹣1，1]，cos2πx∈[﹣1，1]，
当 h（x1）＝1时， ；
sin2πx1＝1时， ，
若 ，则 ，k，n∈Z，
此时有 f（x1）＝sin2πx1+h（x1）＝2；
当 h（x2）＝﹣1时， ，m∈Z；
cos2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z，
若 ，则 ，t，m∈Z时，
第 17页（共 18页）
有 g（x2）＝h（x2）﹣cos2πx2＝﹣2；
由于 ，
所以 sin2πx1+h（x1）+cos2πx2﹣h（x2）＜4，
故不存在 x1∈R，x2∈R，使得 sin2πx1+f（x2）+cos2πx2﹣f（x2）＝4，
所以 f（x）＝sin2πx+h（x）与 g（x）＝h（x）﹣cos2πx不具有关系 M（4）．
第 18页（共 18页）