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专题01 期末解答压轴题
一、解答题
1．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示）
方法： ；
方法： ．
(2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ；
(3)根据（）中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
2．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
(1)由图2可以得到：_____
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
3．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与；与；与
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．
4．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：___________；
方法2：___________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
(3)已知，，求___________．
(4)已知，求的值．
5．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
6．（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案）
（）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系；
（）图中，，，，求的度数.
7．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由；
(3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）．
8．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧．
(1)如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿；
(2)射线为的角平分线．
①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿
9．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接，
(1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数；
(2)点M为直线下方的动点，连接，平分，
①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
10．“千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足．
(1)填空： ， ．
(2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数．
11．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
12．已知直线，点、分别为，上的动点，且平分交于．
(1)如图，若，，
①直接写出的度数；
②求与的度数．
(2)如图，延长交直线于，平分交于点，写出与的关系，并说明理由．
13．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
14．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点．
(1)如图1：
①如果，，那么的度数为______；
②如果设，，那么的度数为______．
（用含有、的式子表示）
(2)如图2：
①试说明；
②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______．
15．已知直线，点在直线、之间，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，直线过点，分别与直线、交于点、，，求证：；
(2)如图2，点F在直线上，、分别平分、，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，平分．直线与交于点，平分，．求证：．
16．在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
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10专题01 期末解答压轴题
一、解答题
1．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示）
方法： ；
方法： ．
(2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ；
(3)根据（）中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)；；．
【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出；
（）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解；
（）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【解答】（1）解：方法：大正方形的边长为，
∴；
方法：大正方形面积各个部分面积之和，
∴；
故答案为：；；
（2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴；
令，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
∴．
2．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
(1)由图2可以得到：_____
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】
（1）本题考查了完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图2中几何图形的面积，即通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题．
（2）本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，以及因式分解的运用，先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的方法即可求解．
【解答】（1）解：由图知，．
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
3．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与；与；与
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
(3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．
【答案】(1)；
(2)它们的“对消值”为；
(3)代数式的最小值是．
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解；
()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【解答】（1）∵，
,
，
∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：；
（2），，
∵与互为“对消多项式”，
，，
，，
∴它们的“对消值”为；
（3），，
，
∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式的最小值是．
4．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：___________；
方法2：___________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
(3)已知，，求___________．
(4)已知，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)16
【分析】（1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果；
（2）由图2中阴影部分的面积表示可得：；
（3）由可得，故，，即可得出结果；
（4）设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果．
【解答】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，；
（3）解：由（2）题结论可得，
，时，
，
；
；
（4）解：设，，
可得，
，
，
又，
且由，
可得，
．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．
5．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
【答案】(1)
(2)155
(3)①见解析；②9
(4)
【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论进行求解即可；
（3）①根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，画图即可；②根据①可知的值，代入求解即可；
（4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可．
【解答】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积，
大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积，
∴；
由图3知，∵大正方形的面积，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积，
∴；
故答案为：，．
（2）∵由（1）知：，
∴，
，
把代入，
．
故答案为：155．
（3）①∵，
可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：
②由①知：，
∴．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，
∴拼成的正方形的边长最长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键．
6．（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案）
（）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系；
（）图中，，，，求的度数.
【答案】（）；（）；（）．
【分析】（）由平行公理的推论可得，进而得到，，即可求出，再根据角的和差关系即可求解；
（）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解；
（）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解；
本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，正确作出辅助线及掌握平行公理的推论是解题的关键．
【解答】解：（）∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）)如图，过点向左作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（）如图，过点向右作
∵，
∴，
∴，，
∴．
7．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由；
(3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键；
（1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案；
（2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论；
（3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案．
【解答】（1）解：∵，
∴
∵，CE平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过F点作，则，
即
设，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过F点作，过G点作，
∴ ，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
∵平分，
∴
又∵，，，
∴，
∴；
8．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧．
(1)如图1，若，，直接写出的度数＿＿＿＿；
(2)射线为的角平分线．
①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②当点与点不重合，且时，直接写出的度数＿＿＿＿
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②或
【分析】（1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可．
【解答】（1）解：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①．
证明：如图，设在上有一点在点的右侧，设，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②如图，当点在点右侧时，
由①得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
如图，当点在点左侧，点在点右侧时，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
又∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
9．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接，
(1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数；
(2)点M为直线下方的动点，连接，平分，
①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①，证明见详解；②或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作，过点M作，设，，可得，则，则，即可求证；
②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则，通过平行线的性质得到，即，解得；当点P在线段延长线上时，过点P作，，设，，通过平行线的性质和角平分线的意义得到，代入得，解得．
【解答】（1）证明：过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①解：，
设，，
∵平分，
∴，
∵平分，∴，
过点P作，过点M作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则，
设，设
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点P在线段延长线上时，
过点P作，则，设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
综上：的度数为或．
10．“千园之城”深圳目前是国内公园最多的城市，全市公园数量达到1290个．其中一个公园为吸引游客，在公园湖边布置了“灯光秀”，为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足．
(1)填空： ， ．
(2)若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C．点D在射线AF上，在转动过程中，（为常数）且度数保持不变，请求出的值和的度数．
【答案】(1)，
(2)秒，秒
(3)，
【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可；
（3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，据此求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得 ；
当时，如图，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：．
理由：设灯B射线转动时间为秒，
∵，
∴，
又∵，
∴，而，
∴，
∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值，
此时，．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
11．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
【答案】(1)见讲解；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键．
（1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证；
（2）结合（1），证明；
（3）结合（1），证明．
【解答】（1），
，
（2）猜想：
由（1）可知，
，，
，
得证；
（3）当成立
由（1）可知，
，，
，
得证．
12．已知直线，点、分别为，上的动点，且平分交于．
(1)如图，若，，
①直接写出的度数；
②求与的度数．
(2)如图，延长交直线于，平分交于点，写出与的关系，并说明理由．
【答案】(1)①；②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）①根据，结合“两直线平行，同旁内角互补”，计算求出的度数即可；②点向右作，根据角平分线的定义、补角的性质，求出的度数，根据平行线的性质、三角形外角的性质，求出的度数即可；
（2）根据角平分线的定义，设，，结合补角的性质、三角形外角的性质、角的和差，用含和的式子表示出与，观察整理得出与的关系即可．
【解答】（1）解：①∵，
∴，
又∵，
∴；
②如图，点向右作，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
设，，
∴，，
，
∵，
，即，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键．
13．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析
【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即
（2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立．
本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键．
【解答】（1）如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
（2）图2成立，图3不成立．
证明：如图2，延长到K使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
如图3，如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
14．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点．
(1)如图1：
①如果，，那么的度数为______；
②如果设，，那么的度数为______．
（用含有、的式子表示）
(2)如图2：
①试说明；
②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______．
【答案】(1)①；②
(2)①见详解；②
【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案；
（2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可．
【解答】（1）解：①如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②；
（2）①证明：如下图，过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
15．已知直线，点在直线、之间，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，直线过点，分别与直线、交于点、，，求证：；
(2)如图2，点F在直线上，、分别平分、，若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，平分．直线与交于点，平分，．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）先证明，再利用平行线的性质、邻补角的定义即可证明结论；
（2）设，，推出，由已知得到，利用平角的定义得到，据此求解即可；
（3）设，，推出，由平行线的性质推出，，在中，得到，据此通过计算即可证明．
【解答】（1）证明：延长交于点Q，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过E作，如图．
∵平分，平分，
∴设，．
∵，．
∴，
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作，，过H作，如图．
∵平分，平分，
设，，
由（2）方法可得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与角之间的关系是解题的关键．
16．在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)或14或16秒
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．
（1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；
（2）同（1）易证，则，，于是；
（3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：结论：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：，不合题意；
②当时，点M在上，点N也在上，如图，
∵，
∴点M与点N重合，
∴，
解得：；
③当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：当或14或16秒时，与全等．
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