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北师大版七年级下学期期末考试名师押题卷（二）
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版七年级下册第1—6章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即米．甲型流感病毒的直径大约83纳米左右，“83纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）下列事件是随机事件的是（ ）
A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．从地面发射1枚导弹，击中空中目标
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起
3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了遵义市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江金华·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南湘潭·一模）如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，，则（ ）．
A．25 B．36 C．33 D．24
7．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（23-24九年级下·北京西城·阶段练习）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：
1日 2日 3日 4日 5日 6日
供应量（个） 90 100 90 100 90 100
销售量（个） 80 90 85 80 90 85
记为6月t日冰激凌的供应量，为6月t日冰激凌的销售量，其中，2，…，30．用销售指数（，）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当时，表示6月t日的日销售指数．给出下列四个结论：
①在6月1日至6日的日销售指数中，最小，最大；
②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意，2，3，4，5，6，7，都有。其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
10．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的值为 ．
12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在一个不透明的盒子中装有10个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ．
13．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，， 按以下步骤作图∶ ①以顶点A为圆心， 以任意长为半径作弧， 分别交于点M， N； ②分别以点M， N为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧在内交于点P； ③作射线， 交边于点D， 若的面积为2， 则的面积为 ．
14．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b,若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A,B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1） ;（2） ；（3）新构造出的正方形面积为 ．
15．（23-24八年级·江苏·期中）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；（3）若，则 ， ， ．
16．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为 ．
17．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
18．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（23-24七年级下·广东佛山·期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值∶，其中
20．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
(1)上表中的__________，__________．
(2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）．
(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
21．（2023·山东·七年级统考期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
22．（2023·湖北·七年级统考期中）如图，在中，，．
(1)通过图中尺规作图的痕迹，可以发现：
直线是线段的_________________，射线是的_________________．
(2)求的度数．
23．（22-23七年级下·四川成都·期末）天府国际机场通航，负责机场货物装卸的某物流公司，现有甲、乙两条自动分拣流水线．已知甲运转1小时后，乙开始运转．如图所示，折线段、线段分别表示甲、乙两条流水线装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系．其中，甲停转了2小时进行技术改进，改进后甲继续运转且流水线装卸效率与乙流水线相同；乙在运转了36分钟时，两条流水线装卸货物的重量相等．(1)当时，甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是 ；当时，乙装卸货物的重量y（吨）与时间（小时）之间的关系式是 ；(2)求m和n的值；(3)当时，甲、乙两条流水线装卸货物的重量相差35吨，求时间t的值．
24．（23-24八年级·陕西西安·期末）探究与实践 问题发现：（1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______；
问题探究：（2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度；
问题解决：（3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）
25．（22-23七年级·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．
(1)若，求证：平分；(2)若的面积为2，的面积为8，求的面积；
(3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明．
26．（22-23七年级下·四川成都·期末）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．
(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版七年级下学期期末考试名师押题卷（二）
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：北师大版七年级下册第1—6章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（22-23七年级下·四川成都·期末）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即米．甲型流感病毒的直径大约83纳米左右，“83纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：83纳米米米，故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）下列事件是随机事件的是（ ）
A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．从地面发射1枚导弹，击中空中目标
C．任意画一个三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起
【答案】B
【分析】本题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案，正确把握相关定义是解题关键．
【详解】A、通常温度降到以下，纯净的水结冰是必然事件，故A错误，不符合题意；
B、从地面发射1枚导弹，击中空中目标是随机事件，故B正确，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故C错误，不符合题意；
D、太阳从东方升起是必然事件，故D错误，不符合题意；故选：B．
3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）在刚过去的10月份中，同学们以饱满的精神状态参加了遵义市中学生体育过程性考核．在下列常见的体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误；B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；D．是轴对称图形，故D正确．故选：D．
4．（2024·浙江金华·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，完全平方公式及同底数幂乘法法则分别计算并判断．
【详解】解：A、，故原计算错误；
B、，故原计算错误；
C、，故原计算错误；
D、，故原计算正确；故选：D．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，完全平方公式及同底数幂乘法法则是解题的关键．
5．（2024·湖南湘潭·一模）如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．
【详解】解：∵∴∵∴
A．若添加，根据可判定；
B．若添加，根据可判定；
C．若添加，不能判定；
D．若添加，则，根据可判定；故选C．
6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，，则（ ）．
A．25 B．36 C．33 D．24
【答案】A
【分析】本题考查的完全平方公式的应用，熟练掌握这个知识点是解题的关键．
先将原式变形为，再代入计算即可．
【详解】解：，，
原式，故答案为：A．
7．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线．解决问题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，对顶角相等．
由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可．
【详解】∵，∴，
∵，∴．故选：B．
8．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到，即可证明，可得，，根据，即可解题．
【详解】解：∵，，，
∴，，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∵，，∴．故选：B．
9．（23-24九年级下·北京西城·阶段练习）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：
1日 2日 3日 4日 5日 6日
供应量（个） 90 100 90 100 90 100
销售量（个） 80 90 85 80 90 85
记为6月t日冰激凌的供应量，为6月t日冰激凌的销售量，其中，2，…，30．用销售指数（，）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当时，表示6月t日的日销售指数．给出下列四个结论：
①在6月1日至6日的日销售指数中，最小，最大；
②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③；
④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意，2，3，4，5，6，7，都有。其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据题意，，最大，，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；；，，故③错误；
根据题意，，，∵，
∴，
对任意，2，3，4，5，6，7，都有正确，解答即可．本题考查了函数模型的选择和应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】根据题意，，最大，，最小，
故①正确；
6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；
；，
，故③错误；
根据题意，，，∵，
∴，
对任意，2，3，4，5，6，7，都有正确，故选：C．
10．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键．
对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果．
【详解】和均为等腰直角三角形，，，，
，， ，所以①错误，
为等腰直角三角形，平分，，所以②正确，
，，，，，
，所以③正确，
点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形，，
，，
，，
，，，
，，所以④正确，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查绝对值的非负性及偶次方的非负性，积的乘方逆运算，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性，求得，再根据积的乘方逆运算解答．
【详解】∵，且，
∴，∴
∴，故答案为．
12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在一个不透明的盒子中装有10个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．根据从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，故答案为：5．
13．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，， 按以下步骤作图∶ ①以顶点A为圆心， 以任意长为半径作弧， 分别交于点M， N； ②分别以点M， N为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧在内交于点P； ③作射线， 交边于点D， 若的面积为2， 则的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查角平分线性质．根据题意过点作交延长线于点，，利用角平分线性质可求出，继而求出本题答案．
【详解】解：过点作交延长线于点，于Ｆ，
，
∵是的平分线，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图①，有A、B两个正方形，边长分别为a，b,若将这两个正方形叠放在一起可得到图②，则图中阴影部分面积为1，若将A,B并列放置构造出新的正方形可得到图③，图中阴影部分面积为24．
则：（1） ;（2） ；（3）新构造出的正方形面积为 ．
【答案】 1 12 49
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是；
（2）由，求出的值即可；
（3）由，，通过完全平方式的变形，即可得出结果．
【详解】解：（1）由图可知①中小正方形的边长为，面积为1，
，
故答案为：1；
（2），
，
由图可知②中新构造出的正方形边长为，
面积，
，
，
故答案为：12；
（3）∵，，
新构成的正方形面积为．
故答案为：49
15．（23-24八年级·江苏·期中）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示k从i开始取数一直取到n，全部加起来，即．例如：当i=1时，．
（1）①，②，③中和为45的是 ；（填写编号）
（2） ；（3）若，则 ， ， ．
【答案】 ①③/③① 15 4 20
【分析】本题主要考查了整式乘法运算，有理数加法运算，解题的关键列出题意，根据题干所给信息，列出算式．
（1）根据题干提供的信息列式计算即可；
（2）根据题意列出算式，然后计算即可；
（3）先根据中二次项系数为3，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．
【详解】解：（1）①，
②，
③，∴和为45的是①③．故答案为：①③．
（2）．故答案为：15．
（3）∵中二次项系数为3，∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，，故答案为：4；；20．
16．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为 ．
【答案】/15度
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，再由等边对等角确定，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，沿折叠，点落在点处，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
17．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，以，，为顶点的三角形与全等时，，分点沿运动和沿运动两种情况，根据列方程，即可求解．注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：点P从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C从用时间为：，
点从运动到点C后，从点C返回，又运动了．
如图，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
当点沿运动时，，
解得；
当点沿运动时，，
解得，，符合题意，
综上所述，的值为1或．
故答案为：1或．
18．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知和都是等腰三角形，且，顶角，等腰 的顶点D在边上滑动，点E在边的延长线上滑动．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】或
【分析】分和两种情况讨论即可．
【详解】解：∵和都是等腰三角形，且，顶角，
∴，，，
又∵线段绕点D逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，
当时，
∵，，
∴
∴，
∴，
当时，连接
∵，
∴
∴，
∴点三点共线，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
补充说明：∵，，
∴，
∴.
∴点三点共线，此时的图形应修正为下图：
综上所述，或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确找出两种情况并利用两种情况推导角度是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（23-24七年级下·广东佛山·期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值∶，其中
【答案】（1）0；（2），
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂：
（1）用负整数指数幂和零指数幂进行化简运算即可；
（2）先用乘法公式去化简中括号内，再用多项式除以单项式法则化简代数运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
20．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
(1)上表中的__________，__________．
(2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）．
(3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
【答案】(1)；158(2)(3)除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【分析】本题考查了频率估计概率．（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【详解】（1）解：，；
故答案为：；158；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率估计值是；故答案为：；
（3）解：（个）；
答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
21．（2023·山东·七年级统考期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出格点ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的A1B1C1；
(2)求A1B1C1的面积；(3)在DE上画出点P，使PB+PC最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）利用割补法求三角形的面积．
（3）关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
【详解】（1）如图所示，
（2），
∴△A1B1C1的面积为；
（3）如图所示，关于DE作点C的对称点C'，连接C'B，交DE于点P，此时点P即为所求．
【点睛】本题考查画轴对称图形，根据轴对称线的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题关键．
22．（2023·湖北·七年级统考期中）如图，在中，，．
(1)通过图中尺规作图的痕迹，可以发现：
直线是线段的_________________，射线是的_________________．
(2)求的度数．
【答案】(1)垂直平分线，角平分线
(2)
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线和作已知角的平分线的作法，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，再由三角形内角和定理可得， 从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：根据作法得：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线；
故答案为：垂直平分线，角平分线
（2）解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
即∠DAE=29°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握作已知线段的垂直平分线和作已知角的平分线的作法，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
23．（22-23七年级下·四川成都·期末）天府国际机场通航，负责机场货物装卸的某物流公司，现有甲、乙两条自动分拣流水线．已知甲运转1小时后，乙开始运转．如图所示，折线段、线段分别表示甲、乙两条流水线装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系．其中，甲停转了2小时进行技术改进，改进后甲继续运转且流水线装卸效率与乙流水线相同；乙在运转了36分钟时，两条流水线装卸货物的重量相等．(1)当时，甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是 ；当时，乙装卸货物的重量y（吨）与时间（小时）之间的关系式是 ；(2)求m和n的值；(3)当时，甲、乙两条流水线装卸货物的重量相差35吨，求时间t的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）先求出当时，甲的装卸货物的速度为42吨/小时，由此即可求出甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是；再根据题意求出乙装卸货物的速度，进而求出乙装卸货物的重量y（吨）与时间（小时）之间的关系式即可；（2）根据题意可得段甲装卸货物的速度为70吨/小时，由此即可求出m的值，进而求出n的值；（3）分乙未装卸货物和当乙开始装卸货物，且乙比甲少时，当乙开始装卸货物，且乙比甲多时，三种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，甲1小时共装卸货物42吨，
∴当时，甲的装卸货物的速度为42吨/小时，
∴当时，甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是；
∵乙在运转了36分钟时，两条流水线装卸货物的重量相等，
∴乙装卸货物的速度为吨/小时，
∴当时，乙装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是，
故答案为：；；
（2）解：由（1）可知段甲装卸货物的速度为70吨/小时，
∴，
（3）解：当乙未开始装卸货物时，则，解得（不合题意，舍去）；
当乙开始装卸货物，且乙比甲少时，则，解得；
当乙开始装卸货物，且乙比甲多时，则，解得；
综上所述，t的值为或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象并求出对应的函数关系式是解题的关键．
24．（23-24八年级·陕西西安·期末）探究与实践
问题发现：（1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______；
问题探究：（2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度；
问题解决：（3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）
【答案】（1）；（2）；（3）该物业筹集的资金不够用，说明见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积即可得到结论；
（2）设，则，，即，由（1）的结论可得，则（负值舍去），；
（3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据，得到， 则，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：（1）正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积，即，
∴，
故答案为：；
（2）设，
∴，
∵的面积为，
∴，即，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
（3）该物业筹集的资金不够用，说明如下：
设，
由题意得，，
两个三角形区域的面积之和，
两个长方形区域的面积之和，
∴一共需要的资金 元，
∵，
∴，
∴一共需要的资金 元，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该物业筹集的资金不够用．
25．（22-23七年级·四川成都·期末）如图，直线，直线，直线交直线于点A，交直线于点B，直线交直线于点C，交直线于点 D，点 E为线段的中点，F为线段上一点，连接，．
(1)若，求证：平分；(2)若的面积为2，的面积为8，求的面积；
(3)若，请写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)，见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的逆运用，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）通过边的等量代换，得，，结合平行线的性质，即可作答．（2）由平行线的性质，得，由线段的中点，得，证明，得，通过面积的关系，得，即可作答．
（3）由全等三角形的性质，得，结合“三线合一”证明为等腰三角形，因为平行线的性质，得，证明得，再结合线段的和差关系，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E为的中点，∴
又∵，∴，∴
又∵，∴，
∴∴平分；
（2）解：如图，延长，交直线于点H
∵∴
∵E为的中点，∴
在△BEF和△DEH中
∴，∴
∴
∵EF=EH；
（3）解：，证明如下：如图，延长，交直线于点P，连接
由（2）可知，∴
∵∴，
即∴为等腰三角形，
又∵直线，直线∴
在和中
∴∴
∴即．
26．（22-23七年级下·四川成都·期末）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．
(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．
【答案】(1)3(2)，理由见解析(3)①证明见解析；②12
【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；
（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；
（3）如图所示， 在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；
②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．
【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．
∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，
∴．
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长，交于点．
由（1）可得，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵．
∴．
（3）解：①如图所示， 在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；
②如图所示，过点C作于G，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
