中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024七年级下册数学期末测试卷【提高卷B】
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（新情境试题 生活应用型）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（新情境试题 生活应用型）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（新情境试题 生活应用型）某数学兴趣小组的四位同学在讨论“比较与的大小”这一问题时意见产生了分歧，你认为说法正确的同学是（ ）
小明：无法比较它们的大小，与x的取值有关．
小红：无论x取何值，都有．
小华：无论x取何值，都有．
小敏：的值与的值可能相等．
A．小明 B．小红 C．小华 D．小敏
6．如图，已知，用尺规作图如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N
②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C
③作射线
那么下列角的关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有一张长为，宽为的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒（如图），已知纸盒的高度为，则纸盒的底面积为（单位：）（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A．6 B．或8 C．或6 D．0
10．有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的边长之和为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
11．如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当时，； ②平分；
③与相等的角有3个；④．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
12．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．某代数式 可以表示为 的形式，则的值为 ．
14．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，直线，点在直线上，点在直线上，，若，则 ．
16．（新情境试题 生活应用型）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表：
销售量 1 2 3 4 5 …
销售总价（元） 6 9 …
请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ．
17．如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
18．如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算或化简：
(1)
(2)
(3)．
20．先化简再求值：
(1) ，其中，．
(2)先化简再求值，其中．
21．如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
22．（新情境试题 社会热点型）海南省今年体育中考首次出现选考项目，参考学生需从“A．游泳、B．跳绳、C．篮球、D．足球、E．排球”中选一项参加考试，某校为了解学生的选考情况．随机抽取了部分初三考生的选考项目进行调查，并根据调查结果绘制了如图1和图2不完整的统计图，请你根据图中信息回答下列问题：
(1)在调查活动中，采取的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次被抽查的学生共有______名；扇形统计图中“C．篮球”所占扇形的圆心角为______度；
(3)若该校共有1000名考生，请根据调查结果估计该校选择“D．足球”的学生共有______名；
(4)本次调查中抽中的“A．游泳”的学生中有10名女生，若从这24名学生中随机抽取1名学生讲座，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______．
23．完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，
(1)若，，求的值．
(2)若，则 ；
(3)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求三角形的面积．
24．如图，中，，点D是边上的一点，连接，以为边向下作等边，过点E作，垂足为F，连接 ．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
25．（新情境试题 综合与实践）综合与实践
【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
操作过程及内容如下（如图①）．
操作1：将正方形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形展开，得到折痕；
操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即．
【解决问题】
（1）在图①中，若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形．
（2）请在图①中证明．
【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：
（3）如图②，若，则 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024七年级下册数学期末测试卷【提高卷B】
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了积的乘方、单项式的乘法、完全平方公式和平方差公式，根据法则和公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．（新情境试题 生活应用型）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义；
根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误；
小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误；
故选：B．
3．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．（新情境试题 生活应用型）某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是．当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态．随意变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单的概率计算，由概率公式求解即可，得出所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【详解】解：由题意可知，主动轴上有三个齿轮，齿数分别是；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，
∴在主动轴与后轴的不同齿轮上变换一共有种情况，而自行车处于加速状态的有种，
∴自行车处于加速状态的概率，
故选：D．
5．（新情境试题 生活应用型）某数学兴趣小组的四位同学在讨论“比较与的大小”这一问题时意见产生了分歧，你认为说法正确的同学是（ ）
小明：无法比较它们的大小，与x的取值有关．
小红：无论x取何值，都有．
小华：无论x取何值，都有．
小敏：的值与的值可能相等．
A．小明 B．小红 C．小华 D．小敏
【答案】B
【分析】本题考查整式的混合运算，两个代数式作差，利用多项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项，根据结果与0的大小比较可得结论．
【详解】解：
，
∴无论x取何值，都有，即小红说法正确，
故选：B．
6．如图，已知，用尺规作图如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点N
②以点N为圆心，为半径画弧，交已画的弧于点C
③作射线
那么下列角的关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由作图可知：，推出射线是的角平分线，由此即可判断；
【详解】解：由作图可知：，
∴射线是的角平分线，
故A、C、D正确，
故选：B．
7．有一张长为，宽为的长方形纸片，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将剩下部分折起，制成一个无盖的纸盒（如图），已知纸盒的高度为，则纸盒的底面积为（单位：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式乘除的应用．先表示出纸盒底面的长为，宽为，根据矩形的面积公式和整式的乘法法则即可解答．
【详解】纸盒底面的长为，宽为，
∴底面积为（）．
故选：D
8．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】解: ∵，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
9．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ）
A．6 B．或8 C．或6 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】解：能用完全平方公式因式分解，
则（能用完全平方公式因式分解，即，
解得或．
故选：B．
10．有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的边长之和为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图甲中阴影部分的面积得，图乙中阴影部分的面积得，再通过即可求解，由面积之间的关系得出关系式是解题的关键．
【详解】图甲中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为的正方形面积中减去两个边长分别为、的正方形面积，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
11．如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当时，； ②平分；
③与相等的角有3个；④．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④．
【详解】
解：①，
，
∴，
，
，
当时，，
∴，
∵平分，
∴，
故①正确；
②不能证明，
无法证明为的角平分线，故②错误；
③平分，
．
直线，交于点，
．
，
，
与相等的角有三个，故③正确；
④，
，
，故④正确；
所以正确的结论有①③④．
故选：C．
12．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出．
【详解】取的中点，连接，过点作，．
∵四边形为正方形，
∴，．
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
∵，平分
∴，
∴．
在和中
∴≌
∴
在和中
，
∴≌
∴，
又∵平分，，
∴
∵，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴≌
∴
∴．
故选．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．某代数式 可以表示为 的形式，则的值为 ．
【答案】11
【分析】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出是解题关键．
利用，将原式进行化简，得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11．
14．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】57
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据图形，利用割补法得到，再根据完全平方公式求得，进而代值求解即可．
【详解】解：由图形得阴影部分的面积为
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：57．
15．如图，直线，点在直线上，点在直线上，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质和垂直的定义，过作，又则，再根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】如图，过作，又则，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16．（新情境试题 生活应用型）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表：
销售量 1 2 3 4 5 …
销售总价（元） 6 9 …
请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ．
【答案】
【分析】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键.
销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：，，，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系.
【详解】解：观察表格即可得到：当时，，
当时，，
当时，
…
∴销售总价（元）与销售量之间的关系式为
故答案为：.
17．如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
18．如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的性质等知识和与折叠有关的角的计算等知识．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意；
【详解】解：∵，
．
根据折叠的性质得，，
．
故①正确，符合题意；
∵，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
根据折叠的性质得，，
，
当时，，
故③错误，不符合题意；
，
．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算或化简：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算等知识点，
（1）根据整式的混合运算顺序，首先求出负指数次幂、零指数次幂，绝对值，平方的值各是多少，然后从左向右依次计算即可；
（2）根据整式的混合运算顺序，首先计算乘方，然后进行单项式乘除计算即可；
（3）先运用公式因式分解，然后再进行单项式乘法计算即可；
关键是能对算式进行准确变形，并能运用乘法公式进行计算．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
20．先化简再求值：
(1) ，其中，．
(2)先化简再求值，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值：
（1）先根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
21．如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的性质，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出，即可求出的度数；
（2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】（1）解：∵，
，
，
；
（2）由（1）得，
∵平分，
，
．
22．（新情境试题 社会热点型）海南省今年体育中考首次出现选考项目，参考学生需从“A．游泳、B．跳绳、C．篮球、D．足球、E．排球”中选一项参加考试，某校为了解学生的选考情况．随机抽取了部分初三考生的选考项目进行调查，并根据调查结果绘制了如图1和图2不完整的统计图，请你根据图中信息回答下列问题：
(1)在调查活动中，采取的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次被抽查的学生共有______名；扇形统计图中“C．篮球”所占扇形的圆心角为______度；
(3)若该校共有1000名考生，请根据调查结果估计该校选择“D．足球”的学生共有______名；
(4)本次调查中抽中的“A．游泳”的学生中有10名女生，若从这24名学生中随机抽取1名学生讲座，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是______．
【答案】(1)抽样调查
(2)，
(3)
(4)
【分析】本题考查了概率公式：某事件的概率等于该事件所占的结果数除以总的结果数．也考查了统计图和样本估计总体．
（1）根据题意可判断调查的方式；
（2）用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用乘以“C．篮球”的占比可求得答案；
（3）用样本估计总体即可求解；
（4）直接利用概率公式计算．
【详解】（1）解：在调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）解：（人），
本次被抽查的学生共有名；
（人），
，
扇形统计图中“C．篮球”所占扇形的圆心角为度；
故答案为：，；
（3）解：（人），
估计该校选择“D．足球”的学生共有名；
故答案为：；
（4）解：本次调查中抽中的“A．游泳”的学生中有10名女生，若从这24名学生中随机抽取1名学生讲座，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是．
故答案为：．
23．完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，
(1)若，，求的值．
(2)若，则 ；
(3)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求三角形的面积．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键．
（1）将完全平方公式变形为，即可求解；
（2）根据进行代值计算即可；
（2）设，．则，，据此求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴,
∴．
（3）解：设，．
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，
∵，
∴．
又∵，
∴．
由（1）可得，
∴．
∴，
∴．
24．如图，中，，点D是边上的一点，连接，以为边向下作等边，过点E作，垂足为F，连接 ．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，
（1）根据等边三角形得出，再根据角角边即可求证；
（2）在中，根据勾股定理得出，再根据三角形全等的性质，得出，在中，根据直角三角形的性质即可求解；
【详解】（1）证明：等边三角形，
，即
在与中
（2）解：在中
在中
，即
是的垂直平分线，即 ．
25．（新情境试题 综合与实践）综合与实践
【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
操作过程及内容如下（如图①）．
操作1：将正方形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形展开，得到折痕；
操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即．
【解决问题】
（1）在图①中，若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形．
（2）请在图①中证明．
【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：
（3）如图②，若，则 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）4
【分析】对于（1），根据折叠和平行线的性质得，，可知四边形是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；
对于（2），令正方形的边长为2，设，再根据勾股定理求出，然后说明，求出，进而得出答案；
对于（3），仿照（2）解答即可．
【详解】（1）根据折叠可知，，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形；
（2）根据折叠可知，，令正方形的边长为2，设，
则，．
∵四边形是正方形，
∴，.
在中，根据勾股定理，得，
解得，
则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴；
（3）令正方形的边长为3，设，则，
∵，
∴，．
在中，根据勾股定理，得，
解得，
则．
由（2），得，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：4．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
