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2023-2024七年级下册数学期末测试卷【培优卷B】
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．（新情境试题 生活应用型）如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可．
【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：，
，
∴
∵花圃的总面积，
故选：B．
2．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．64
【答案】C
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得．
此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键．
【详解】∵若与互为相反数，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
3．（新情境试题 生活应用型）某网店实行优惠购物，优惠规定如下：如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元，若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列代数式，整式的运算，根据题意先求出的范围，再分类讨论即可，解题的关键是读懂题意，理解优惠方案及分类讨论思想的应用．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
当时，则，
两次购物的实际付款共为：元；
当时，则，
两次购物的实际付款共为：元；
当时，则，
两次购物的实际付款共为：（元）；
∴可能，不可能，
故选：．
4．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【答案】B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：
则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为9.6．
故选：B．
5．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形，进而根据概率公式，即可求解．
【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以选6个数字，故总可能结果有种可能
依题意，，，共有9种可能，每种有6种排列方式，
其中，，每种可能有3种不同排列
；和， 共9种可能；
的排列有6种可能，同理....，6种可能
则符合题意的共有种，
∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是，
故选：D．
6．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，求出正三角形的高，连接、、 ，根据，得出，，的关系即可，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．
【详解】∵正三角形的边长为，
∴正三角形的高，
如图， 连接、、 ，
设，，，
∵，
∴ ，
∵为正三角形，
∴，
∴，
∵以，，为边可以组成三角形，，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（ ）．
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解．
【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当A、M、H三点共线时，值最小，
如图，
此时∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9．若实数x，y，z满足，求（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可．
【详解】解：令，则
∵，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∵
，
，
∵
∵，
∴，解得：，
∴，
故选：B．
10．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过作，则由，可得
∴，，
∴．
如图2，同理可得．故①有可能，
如图3，同理可得．故②有可能，
其中：当时，，故③有可能，
如图4，同理可得．故④有可能，
如图5，同理可得．
如图6，同理可得．
综上所述，①②③④均有可能．
故选：D
11．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决．
【详解】解：①由题意得，三个角分别是、、，
且，，
又
，
，
②三个角分别是、、，
有且只有一个角最大，即为，
且，，
又
，
．
故选：D．
12．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【分析】
设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．
【详解】解：如图，设正方形的边长为，
则，
，
，
∵长方形纸片的周长为，面积为，
∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意；
图中①的面积为，
②的面积为，
∴①和②的面积差为，
∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意；
∵长方形纸片和①的面积差为，
∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 .
【答案】793
【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解．
【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2．
当时，，不相等且都不是质数，矛盾；
当时，，此时，符合题意，
所以；
当时，，不满足条件．
综上，．
14．若，，且，则 ．
【答案】1或81/81或1
【分析】根据绝对值意义得到，，根据，得到，得到，， 把分解因式，分，与，两种情况求值即得．
本题主要考查了绝对值，代数式求值．熟练掌握绝对值意义，完全平方公式分解因式，分类讨论，是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴当，时，，
当，时，．
故答案为：1或81．
15．如图，在中，，点是上一动点（点与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键．
在点的运动过程中，点，关于对称，，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，点到的距离最大，的面积最大．在中利用面积公式求出，再求，可得的面积．
【详解】解：在点的运动过程中，点，关于对称，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当时，点到的距离最大，
的面积最大．
，
．
．
．
故答案为：4．
16．如图，已知，，，则 ．
【答案】/360度
【分析】本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解．
【详解】解：如图，过作．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
17．已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长、交于点，证明，则．熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
【详解】解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在下方时，延长、交于点，
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵；
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
18．如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设，则，由可得，，设，则，于是，，利用列出方程，求得，则．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，
，，
设，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
【答案】（1），9；（2）的值为1．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．
（1）先根据整式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式凑成含已知条件的完全平方公式，最后将、代入计算即可．
【详解】解：（1）
当时；原式；
（2）
当、时，原式．
20．（新情境试题 社会热点型）《大中小学劳动教育指导纲要 （试行）》要求初中阶段每周劳动时长不少于3小时．某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．绘制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
时长/小时
人数 m 60 32 n
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)本次调查中，该校采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)统计表中的 ， ；
(3)从该样本中随机抽取一名初中生每周劳动时长，其恰好在A 等级的概率是 ；
(4)请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数约有 人．
【答案】(1)抽样调查
(2)28、80
(3)
(4)600
【分析】本题考查调查与统计，涉及调查方式的选择、扇形统计图、简单概率计算、利用样本估计总体等知识点：
（1）根据“普查”与“抽样调查”的适用范围进行选择；
（2）先根据B部分人数及所占比例求出抽取学生总数，再根据A，D部分所占比例求出对应人数；
（3）恰好在A 等级的概率等于A 等级人数所占比例；
（4）利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：本次调查中，该校采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：抽取学生总数为：，
，
，
故答案为：28，80；
（3）解：A 等级人数所占比例为：，
因此恰好在A 等级的概率是，
故答案为：；
（4）解：每周劳动时长不符合要求的人数约有：（人），
故答案为：600．
21．如图，A，O，B三点在同一条直线上，．
(1)写出图中的补角是 ，的余角是 ；
(2)如果平分，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
（1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答；
（2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出．
【详解】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，，
∴，，
∴的补角是，的余角是，
故答案为：；．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵A，O，B三点在同一条直线上，
∴．
故答案为：．
22．（新情境试题 探究型）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示）
方法： ；
方法： ．
(2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ；
(3)根据（）中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)；；．
【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出；
（）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解；
（）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【详解】（1）解：方法：大正方形的边长为，
∴；
方法：大正方形面积各个部分面积之和，
∴；
故答案为：；；
（2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴；
令，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
∴．
23．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设．
(1)①若，则______°；
②用含x的代数式表示．
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处．
①若，，求x；
②若 ，用含x的式子表示．
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
（1）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由矩形的性质得出，则；
②由折叠的性质得，再由平角的定义求出的度数，再由矩形的性质得出，则，即可得出结果；
（2）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由平行线的性质得出，由折叠的性质得，最后由平行线的性质得出，即可得出答案；
②由平行线的性质得出，再由折叠的性质得，即可得出结果．
【详解】（1）解：①由折叠的性质得：，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：80；
②由折叠的性质得：，
，
四边形是矩形，
，
；
（2）解：①由折叠的性质得：，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
即，
解得：；
②，
，
由折叠的性质得：，
．
24．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______．
(2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，．
【答案】(1)
(2)秒或秒或
【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
（1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论；
（2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．
【详解】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1，
过作，则，
，，
，
，
故答案为：；
（2）①设射线旋转的时间为秒；
第一次平行时，如图2，
则，，
，，
，
即，
解得：秒；
②第二次平行时，如图3，则，，
，，
，
即，
解得：秒；
③第三次平行时，如图4，则，，
，，
，
即，
解得：秒；
故答案为：15秒或63秒或135．
25．中，，，过点作．连接，，为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．
求证：①；
②；
(3)如图3，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)8
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【详解】（1）解：，，，
．
，，
∴，
，
故答案为：8；
（2）解：①，
，，
，
在和中，
，
；
②，，
，，
∴，
，
为中点，
，
又，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：连接，如图，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
，
，
，
在中，，
，
．
当点，点，点共线时，最大值为12，最小值为6，
．
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【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．（新情境试题 生活应用型）如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．64
3．（新情境试题 生活应用型）某网店实行优惠购物，优惠规定如下：如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元，若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（ ）元
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
5．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．2
7．如图，是边长为的正三角形内的一点，到三边的距离分别是，，，若以，，为边可以组成三角形，则应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（ ）．
A．2 B． C． D．1
9．若实数x，y，z满足，求（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
12．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．已知正整数m、、、都是质数，并且，则 .
14．若，，且，则 ．
15．如图，在中，，点是上一动点（点与点不重合），连接，作关于直线的对称点，当点在的下方时，连接，则面积的最大值为 ．
16．如图，已知，，，则 ．
17．已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．
18．如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
20．（新情境试题 社会热点型）《大中小学劳动教育指导纲要 （试行）》要求初中阶段每周劳动时长不少于3小时．某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．绘制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
时长/小时
人数 m 60 32 n
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)本次调查中，该校采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)统计表中的 ， ；
(3)从该样本中随机抽取一名初中生每周劳动时长，其恰好在A 等级的概率是 ；
(4)请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数约有 人．
21．如图，A，O，B三点在同一条直线上，．
(1)写出图中的补角是 ，的余角是 ；
(2)如果平分，，求的度数．
22．（新情境试题 探究型）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示）
方法： ；
方法： ．
(2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ；
(3)根据（）中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
23．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设．
(1)①若，则______°；
②用含x的代数式表示．
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处．
①若，，求x；
②若 ，用含x的式子表示．
24．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转．
(1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______．
(2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，．
25．中，，，过点作．连接，，为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．
求证：①；
②；
(3)如图3，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，求线段的长度的取值范围．
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