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2023-2024七年级下册数学期末测试卷【培优卷A】
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键．
由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，
……
，
∵，
∴每4个3相乘为1个循环，
∵，
∴的个位数字为9，
故选：D．
2．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式．
【详解】解：对图形进行点标注，如图所示：
左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，
，即，，
，即，
阴影部分面积之差，
因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即．
故选：B．
3．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：．
4．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
故选：．
5．（新情境试题 生活应用型）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（ ）
A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能
【答案】D
【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果.
【详解】假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4；
假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2；
假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0；
假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2；
假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4；
第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数.
故选D.
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵，
∴．
故选：A．
7．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（ ）
A．109° B．110° C． D．
【答案】A
【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出与的关系式，最后由，即可求出范围，得出答案．
【详解】如图，延长，分别交和于点，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∴，
解得：，
∴的最大整数值是．
故选：．
8．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积．
【详解】解：如图，连接、，设的面积为，
，
的面积为，的面积为，
的面积为，
,
的面积为，的面积为，的面积为，
，
，即的面积为2
故选：B
9．设是正整数，记，则是的一个多项式，下列结论正确的是（ ）
A．的最高次数项系数为1 B．的常数项系数为
C．是的一个三次多项式 D．的三次项系数是
【答案】D
【分析】本题考查了数字类规律探究，完全平方公式，多项式的定义，根据，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，，……，
∴，
A. 的最高次数项系数为，故该选项不正确，不符合题意；
B. 的常数项系数为，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是的一个四次多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D. 的三次项系数是，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
10．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．6
【答案】D
【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．
【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，
图2有共用部分，可以减少小木棍根数，
仿照图2得到图3，要7根小木棍，
同法搭建的图4，要9根小木棍，
如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，
如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，
∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．
故选：D
11．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3 B．1或
C．1或或 D．1或或5
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝6 3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝3t 6，
∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t 5＝18 3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或或
故选：C．
12．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论：
①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．7个
【答案】A
【分析】由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确．
【详解】解：如图1所示：
∵和是正三角形，
∴，，，
又∵，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴， 故结论①正确；
∵，
∴，
，
，故⑤正确，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，， 故③正确，
∴是等边三角形，故⑥正确
∴，
∴，
∴， 故②正确；
若，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误；
过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示：
∵，，，
∴，
又∵在的内部，
∴点C在的平分线上，故结论⑦正确；
综合所述共有6个结论正确．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
设，
∴，
∵x，y为实数，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴对于，当时，S有最大值，
当时，S有最小值，
∴的最大值与最小值的和为．
故答案为：．
14．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
【答案】2697
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键．
从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
【详解】解：设是正整数，
由于，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
，
是第675组的第一个数，
即：．
故答案为：2697．
15．已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 .
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义．根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果．
【详解】解：当点F在下方时，
过点F作，过点E作，如图1所示：
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②当点F在上方时，过点E作，如图2所示：
设，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
综上所示：的值为或，
故答案为：或．
16．（新情境试题 学科交叉型）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 ．
【答案】12或48或84
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键．
①在直线上方，得；
②在直线下方，直线上方，得；
③都在直线下方，得；
④，在直线上方和下方，得，
分别解方程即可．
【详解】解：①在直线上方，如图：
当时，则，
∴，
解得：；
②在直线下方，直线上方，
当时，则，
∴，
解得：；
③都在直线下方，
当时，则，
∴，
解得：；
④在直线上方，直线下方，
当时，则，
∴，
解得：（舍），
综上所述，t为12或48或84，
故答案为：12或48或84．
17．在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
【答案】 或
【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解；
分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可；
本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是的中点，
∴，
∴的周长的周长，
故答案为：；
如图，设，则，
当四边形的周长的周长时，
即，
整理得，，
∴，
解得；
当的周长四边形的周长时，
即，
整理得，
∴，
解得；
∴或，
故答案为：或．
18．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ．
【答案】
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】解：连接ED
是的中线，
，
设，
与是等高三角形，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（2）根据单项式乘法及整式加法计算即可；
（3）根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式计算即可；
（4）根据平方差公式及完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的运算，绝对值的非负性，先利用平方差公式，完全平方公式化简括号里的式子，再利用多项式除以单项式进行计算，根据非负性求出x，y的值，代入求解即可．
【详解】原式
，
，
，
∴原式．
21．（新情境试题 社会热点型）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是__________；条形统计图中C项活动的人数是__________；
(3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是__________．
(4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为__________．
【答案】(1)抽样调查
(2)，20
(3)
(4)800
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，利用样本估计总体的思想进行求解：
（1）根据调查的方法，进行判断即可；
（2）用选项的人数除以所占的比例求出总人数，用总人数减去其他人数求出C项活动的人数，用360度乘以项所占的比例求出圆心角的度数；
（3）直接利用概率公式进行计算即可；
（4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：本次调查采用的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2），
，；
故答案为：，20；
（3）抽到男生的概率是：；
（4）．
22．（新情境试题 综合与实践数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
(2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 .
(3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知,，求和的值.
②已知，求.
【答案】(1)，
(2)
(3)1，3，2
(4)①，；②
【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键.
（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；
（2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案；
（4）①利用和计算即可；
②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可.
【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：
（3）拼图如下：
观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
（4）①根据（2）题可得，
∵,，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.
23．（新情境试题 新定义问题）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．
(1)若，且OE在内部，求的度数；
(2)若OE恰好平分，求的度数；
(3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键．
（）根据“好线”的定义即可求解；
（）根据“好线”和角平分线的定义求解即可；
（）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵射线是的“好线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，平分，
∵射线是的“好线”，
∴，
∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：或．
理由：当在内部时，如图，
由（）可得，，
设，则，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
当在内部时，如图，
由（）可得，
设，则，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴；
综上，当在内部时，；当在内部时，．
24．，点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且
(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）如图1，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质分别求得，，再根据，即可求出①②结论；
（2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值；
（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
①，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，
，
．
（3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．
25．（新情境试题 综合与实践【问题探究】
（1）在中，，的平分线交于点，于点．
①如图1，试说明；
②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）．
【答案】（1）①见解析；②，见解析；（2）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）①根据角平分线的定义得到，然后根据证明，得到结论；②根据全等得到，然后证明得到结论；
（2）根据三角形的面积公式得到，然后根据，，得到，，推理得到，求出长，进而计算面积即可．
【详解】解：（1）①因为平分，
所以．
因为，，
所以．
在和中，
，，，
所以，
所以．
②．
理由：由（1）得，
所以．
在和中，
，，，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
因为的面积为，，
所以，
解得．
由①②可知，，
所以，．
因为，，
所以，即，解得，
所以，
所以，
故种植鲜花的面积是．
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2023-2024七年级下册数学期末测试卷【培优卷A】
【北师大版】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1、2、3、4、5、6章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.)
1．的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
2．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（ ）
A． B． C． D．
5．（新情境试题 生活应用型）某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点 4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则 15 次点名后蹲下的学生人数可能是（ ）
A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能
6．已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（ ）
A．109° B．110° C． D．
8．如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设是正整数，记，则是的一个多项式，下列结论正确的是（ ）
A．的最高次数项系数为1 B．的常数项系数为
C．是的一个三次多项式 D．的三次项系数是
10．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．6
11．如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3 B．1或
C．1或或 D．1或或5
12．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论：
①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．7个
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
13．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ．
14．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ．
15．已知直线，E为两直线间一定点，，若点F为平面内一动点，且满足，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则 .
16．（新情境试题 学科交叉型）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 ．
17．在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
18．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．先化简，再求值：，其中．
21．（新情境试题 社会热点型）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是__________；条形统计图中C项活动的人数是__________；
(3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是__________．
(4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为__________．
22．（新情境试题 综合与实践）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
(2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 .
(3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知,，求和的值.
②已知，求.
23．（新情境试题 新定义问题）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．
(1)若，且OE在内部，求的度数；
(2)若OE恰好平分，求的度数；
(3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．
24．，点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且
(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
25．（新情境试题 综合与实践）【问题探究】
（1）在中，，的平分线交于点，于点．
①如图1，试说明；
②如图2，点是线段上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图2，是某市的一块空地，，点、E、分别在边、、上，、和是三条小路（小路宽度忽略不计），且满足平分，，．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，求种植鲜花的面积（即的面积）．
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