23.1 平均数与加权平均数
基础巩固JICHU GONGGU
1．某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( )
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A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨
2．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间(小时) 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是( )
A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时
3．甲、乙两位同学一起研究这样的一道物理题：将m1g温度为t1的冷水与m2g(m1≠m2)温度为t2的热水混合，如果不计热量损失，求混合后的温水温度t，甲根据平均数的知识猜想t＝，乙根据加权平均数的知识猜想t＝，可以确定( )
A．甲的猜想正确，乙的猜想不正确
B．甲的猜想不正确，乙的猜想正确
C．甲、乙两人的猜想都正确
D．甲、乙两人的猜想都不正确
4．若数据2，3，－1，7，x的平均数为2，则x＝________.
5．某班有40名学生，分成4个小组，每个 ( http: / / www.21cnjy.com )小组10人．在一次数学考试中，第一小组的平均成绩为78分，第二小组的平均成绩为80分，第三小组的平均成绩为75分，第四小组10名学生的成绩(单位：分)分别为85 , 92 , 76 , 78 , 87 , 81 , 83 , 89 , 86 , 73，求这次考试的班级平均分.
能力提升NENGLI TISHENG
6．已知样本x1，x2，x3，x4的平均数是2，则x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为( )
A．2 B．2.75 C．3 D．5
7．某中学初三(1)班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．3∶2 D．2∶3
8．某市为了全面推进素质教育，努力提高学生的综合素质，改革中考评价方式，每一个学生的毕业成绩由四个部分组成，成长记录成绩、平时测试成绩、毕业学业水平测试成绩、体育测试成绩(满分均为100分)．小聪、小亮的四项成绩如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)分别计算小聪和小亮的平均成绩；
(2)若学校按2∶3∶3∶2方法计算毕业成 ( http: / / www.21cnjy.com )绩，毕业成绩达80分以上(含80分)为“优秀毕业生”．小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？
(3)小聪和小亮升入高中后，请你对他们两人今后的发展给每人提一条建议．
参考答案
1．C 点拨：根据平均数公式可得这5天平均每天的用水量是＝32(吨)，选C.
2．B 点拨：根据题意得(5×10＋6×15＋7×20＋8×5)÷50＝(50＋90＋140＋40)÷50＝320÷50＝6.4(小时)．
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．
3．B 点拨：本题运用定义法解答，利用加权平均数的意义可知答案为B.易错之处就是混淆算术平均数和加权平均数，而错选A.
4．－1 点拨：本题运用定义法和方程思想，由平均数的定义，得×(2＋3－1＋7＋x)＝2，解得x＝－1.
5．解：第四小组的总分是85＋92＋…＋73＝830(分)；
则班级平均分为
＝
＝79(分)．
答：这次考试的班级平均分为79分．
6．D 点拨：∵x1，x2，x3，x4的平均数是2，即2＝，∴x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是＝2＋3＝5.故选D.
7．C 点拨：解答本题运用了方程思想，设男、女生的人数分别为x、y，
82x＋77y＝80(x＋y)．
整理，得2x＝3y.
∴x∶y＝3∶2.故选C.
8．分析：从条形统计图中得出各人的每项成绩后计算平均成绩，再根据不同的权重计算两人的加权成绩，然后给出建议．
解：(1)小聪的平均成绩是：(80＋90＋98＋60)÷4＝82(分)，
小亮的平均成绩是：(85＋75＋75＋95)÷4＝82.5；
(2)小聪成绩是：(80×2＋90×3＋98×3＋60×2)÷10＝84.4(分)，
小亮成绩是：(85×2＋75×3＋75×3＋95×2)÷10＝81(分)．
小聪和小亮都达到了“优秀毕业生”水平；甲的成绩更好些．
(3)小聪要加强体育锻炼，注意培养综合素质；小亮在学习文化知识方面还要努力，成绩有待进一步提高．3.2 中位数和众数
能力点1求一组数据的中位数、众数
题型导引利用排序的方法寻找一组数据的中位数，根据一组数据中数据出现的频数确定这组数据的众数．
【例1】数据9，10，10，8的中位数是______，众数是____________．
分析：把这组数据按大小排列，位于中间位置的是两个数10，9，所以中位数是＝9.5，其中9，8各出现了一次，10出现了两次，因此众数是10.
答案：9.5 10
规律总结在正确理解并掌握的中位数和众数的概念的基础上，选择正确的数据．中位数应先排列顺序后再找，中位数只有一个，但是众数有时不止1个．
变式训练
甲、乙两小组各10名学生某次数学测验成绩如下：(单位：分)
甲组：76 81 82 83 84 85 86 86 87 90
乙组：75 78 79 80 82 84 85 89 89 91
(1)分别求出两组的平均数、众数和中位数？
(2)分别就平均数、众数和中位数指出哪组成绩较好？
分析：利用平均数、中位数和众数的概念求出两组数据的平均数、中位数和众数，然后结合实际作出判断．
解：(1) 甲：平均分84，众数86，中位数84.5.
乙：平均分83.2，众数89，中位数83.
(2)从平均数看：甲较好；从众数看：乙较好；从中位数看：甲较好．
能力点2利用方程思想求“三数”
题型导引当一个问题中知道“三数”中的某个量时，利用方程思想求其他的量．
【例2】一组数据：2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
分析：因为中位数的值与大小排列顺序有关 ( http: / / www.21cnjy.com )，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大(或从大到小)排列在中间(在第二位或第三位结果不影响)；结尾；开始的位置．
解：(1)将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，x，4，
处于中间位置的数是3，x，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是(3＋x)÷2，
平均数为(2＋3＋4＋x)÷4，
∴(3＋x)÷2＝(2＋3＋4＋x)÷4，
解得x＝3，大小位置与3对调，不影响结果，符合题意．
(2)将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，x，
中位数是(3＋4)÷2＝3.5，
此时平均数是(2＋3＋4＋x)÷4＝3.5，
解得x＝5，符合排列顺序．
(3)将这组数据从小到大的顺序排列为x，2，3，4，
中位数是(2＋3)÷2＝2.5，
此时平均数是(2＋3＋4＋x)÷4＝2.5，
解得x＝1，符合排列顺序，
∴x的值为1，3或5.
故选B.
规律总结在“三数”问题中，经常会遇到在一组数据中，某个数据是未知的，通过知道“三数”中的“一数”，来确定出未知的数据，这时，往往需要根据“三数”的定义建立方程，进而解决问题．
变式训练
1．一组数据按从小到大排列为：2，4，5，x，7，7，8，15.已知这组数据的中位数是7，这组数据( )
A．众数是5 B．众数是7C．众数是5和7 D．没有众数
2．已知一组数据x，－5，4，－3，2，－5，当x取什么值时，此组数据的中位数为－1.
分析解答
1．解析：据中位数的定义可求得x，即(7＋x)÷2＝7，解得x＝7，则这组数据出现次数最多的是7，所以这组数据的众数为7.
答案：B
2．解：除x外，将剩下5个数据由小到大排列为－5，－5，－3，2，4.当x≤－5时，则中位数为＝－4，不符合题意；当－5＜x≤2时，中位数为＝－1，解得x＝1；当x＞2时，中位数为＝－，不符合题意，所以x只能是1.23.3 方差
能力点1求一组数据中的方差
题型导引利用方差的计算公式求一组数据的方差．
【例1】求下列各组数据的方差．
(1)1，2，3，4，5，6，7，8，9;
(2)101，100，108，106，110，109，100，93，94，94.
分析：根据所给的数据，先求出平均 ( http: / / www.21cnjy.com )数，再根据方差公式s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]进行计算，计算时应仔细，避免出现错误．
解：(1)这组数据的平均数是 (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)÷9＝5，
则方差是：×[(1－5)2＋(2－5)2＋(3－5)2＋…＋(9－5)2]≈6.7.
(2)这组数据的平均数是
(101＋100＋…＋94)÷10＝101.5，
则方差是：×[(101－101.5)2＋ (100－101.5)2＋(108－101.5)2＋…＋(94－101.5)2]＝38.05.
规律总结求方差的步骤可概括为：“一均，二差，三方，四均”，即第一步先求原始数据的平均数，第二步求原始数据中各数据与平均数的差，第三步求所得各个差数的平方，第四步求所得各平方数的平均数．
变式训练
1．小芳通过计算甲、乙、丙、丁四组数据的方差后，发现有三组数据的方差相同，请你通过观察或计算，找出方差不同的一组数据________．
甲：102 103 105 107 108
乙：2 3 5 7 8
丙：4 9 25 49 64
丁：2102 2103 2105 2107 2108
2．求数据501，502，503，504，505，506，507，508，509的方差．
分析解答
1．解析：本题主要考查对方差的理解及计算．方差只是反映一组数据波动的大小，而与平均数值的大小没有关系，通过计算可知甲、乙、丙、丁四组数据的平均数不同，但甲、乙、丁的方差是一样的，不同的是丙．
答案：丙
2．分析：本题若直接计算过于繁琐，观察这组数都在500左右，所以可将每个数据都减去500，然后计算所得到的新数据的方差即可．
解：将每个数据都减去500得：1，2，3，4，5，6，7，8，9.
这组数据的平均数为x＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，
所以方差为：s2＝×[(1－5)2＋(2－5)2＋…＋(9－5)2]＝.
能力点2方差的应用
题型导引利用方差的大小比较，确定数据的稳定情况．
【例2】甲、乙两人5次射击命中的环数如下：
甲：7 9 8 7 9
乙：7 8 9 8 8
计算得甲、乙两人5次射击命中环数的平均数都是8环，甲命中环数的方差为0. 8，由此可知( )
A.甲比乙的成绩稳定 B.乙比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩一样稳定 D.无法确定谁的成绩更稳定
解析：由题意，得乙组数据的方差s＝×[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2]＝0.4.∵s＝0.8，∴s＞s.∴乙比甲的成绩稳定．
答案：B
规律总结首先算乙的方差，再根据甲、乙两人的方差进行比较，方差越小，成绩越稳定．
变式训练
某公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下(每个月满分为10分)：
甲：5 6 8 7 9 7
乙：3 6 7 9 10 7
(1)分别求出甲、乙两人的平均得分；
(2)根据所学方差知识，请你比较谁的工作业绩较稳定．
解：(1)x甲＝＝7(分)，
x乙＝＝7(分)．
(2)s＝，s＝5，因为s所以甲的工作业绩比较稳定．23.1 平均数与加权平均数
能力点1求一组数据的平均数
题型导引根据平均数的定义，求一组数据的平均数，或利用平均数求一组数据中的某一个未知数据．
【例1－1】求下列各组数据的平均数．
(1)5，3，7，8，2；
(2)71，69，72，74，66，65，70，73.
分析：(1)组中的几个数，大小比较分散，可选用定义法； ( 2 )组中的数均接近70 , 可用新数据法．
解：(1)＝×(5＋3＋7＋8＋2)＝×25＝5.
(2)把这组数据中的每个数据都减去70，则得到一组新数据：1，－1，2，4，－4，－5，0，3.则＝70＋＝70＋0＝70.
规律总结当一组数据中的各个数的大小比较 ( http: / / www.21cnjy.com )分散时，可选择定义法；当一组数据中的各个数都接近某一数值时，可先计算出每个数与该数的差的平均数，然后再加上该数，即为所求的平均数．
【例1－2】某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九(三)班的演唱打分情况为：89，92，92，95，95，96，97，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的得分为________．
解析：先将最高分97分和最低分89分去掉，然后求剩余数的平均数为：
＝94(分)．
答案：94分
规律总结具体问题中的平均数，我们要根据题意选取合适的数据，然后利用平均数的概念，进行计算．
【例1－3】数据1，2，x，－1，－2的平均数是0，则x的值是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：由已知得＝0，解得x＝0.
答案：A
规律总结已知一组数据的平均数，求其中的未知数据时，常采用方程思想，在本题中根据平均数的计算公式列方程，从而求出x的值即可．
变式训练
1．(1)15，23，17，18，22的平均数是________．
(2)在一次实验中，10架某种飞机的最大飞行速度分别是(单位：m/s)
422，423，412，431，418，417，425，428，413，441.这些飞机的平均最大飞行速度是________．
2．某歌曲比赛初选中，10名评委给一位 ( http: / / www.21cnjy.com )歌手打分如下：9.79，9.67，9.87，9.95，9.78，9.68，9.57，9.89，9.85，9.82.若去掉一个最高分和一个最低分，这名歌手最后得分是( )
A．9.80 B．9.79 C．9.78 D．9.76
3．已知一组数据7，6，x，9，11的平均数是9，那么数x等于( )
A．3 B．10 C．12 D．9
分析解答
1．(1)解析：利用算术平均数的一般解法计算即可．
由平均数定义得
＝(15＋23＋17＋18＋22)＝19.
答案：19
(2)解析：我们观察数据发现，这些数据都在420左右波动，我们不妨把原数据都减去420得到一组新数据：2，3，－8，11，－2，－3，5，8，－7，21，这些新数据的平均数容易求得，′＝×(2＋3－8＋11－2－3＋5＋8－7＋21)＝3，于是原数据的平均数为＝′＋420＝423(m/s)．
答案：423m/s
2．解析：去掉一个最高分和一个最低 ( http: / / www.21cnjy.com )分，该选手的有效分数为8个评委给出，计算8个人的平均分为(9.79＋9.67＋9.87＋9.78＋9.68＋9.89＋9.85＋9.82)÷8≈9.79(分)．
答案：B
3．解析：×(7＋6＋x＋9＋11)＝9，解得x＝5×9－7－6－9－11＝12.
答案：C
能力点2用加权平均数解决问题
题型导引对于一组数据，如果其权重不同，所关注的方面不同，得到的结论是不同的．
【例2】一家外贸公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩如下：
应试者 听 说 读 写
甲 73 80 85 82
乙 85 83 78 75
(1)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，应该录用谁？
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按2∶2∶3∶3的比确定，应该录用谁？
分析：(1)这家公司按照3∶3∶2∶2的 ( http: / / www.21cnjy.com )比确定听、说、读、写的成绩，说明各项成绩的“重要程度”有所不同，听、说的成绩比读、写的成绩更加“重要”，计算两名候选人的平均成绩，实际上是求听、说、读、写四项成绩的加权平均数，3，3，2，2，分别是它们的权．
(2)由于录取时侧重考虑笔译能力，所以在四项成绩的权的分配上与(1)有所不同，读、写的权大一些．
解：(1)听、说、读、写的成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，则甲的平均成绩为
＝79.3(分)，
乙的平均成绩为
＝81(分)．
显然，乙的成绩比甲的成绩高，所以从成绩看，应该录取乙．
(2)听、说、读、写的成绩按照2∶2∶3∶3的比确定，则甲的平均成绩为
＝80.7(分)，
乙的平均成绩为
＝79.5(分)．
显然甲的成绩比乙的成绩高，所以从成绩看，应该录用甲．
规律总结加权平均数，侧重不同的权重，计算的加权平均数的值不同，数据的权能够反映出数据的相对“重要程度”．
变式训练
1．一次演讲比赛，评委将从演讲内容、 ( http: / / www.21cnjy.com )演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容∶演讲能力∶演讲效果＝5∶4∶1的比例计算选手的综合成绩(百分制)．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请确定出两人的名次.
2．某校规定学生期末数学总评成绩由下列三部分组成：考试成绩、课外作业、平时成绩，三部分所占比例如图所示．若小丽的这三项得分依次是94分，80分和86分，则她这个学期期末数学总评成绩是多少？
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分析解答
1．分析：这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，演讲内容∶演讲能力∶
演讲效果＝5∶4∶1，说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度，5、4、1分别是三项成绩的权．
解：选手A的最后得分为：＝90.
选手B最后得分为＝91.
可知选手B获得第一名，选手A获得第二名．
2．解：因为94×70%＋80×10%＋86×20%＝91(分)，
所以她这个学期期末数学总评成绩是91分．3.2 中位数和众数
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1．合作交流是学习数学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8，7，7，8，9，7，这组数据的众数是( )
A．7 B．7.5 C．8 D．9
2．某公司10名职工月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是( )
工资(元) 2000 2200 2400 2600
人数(人) 1 3 4 2
A．2400元、2400元 B．2400元、2300元
C．2200元、2200元 D．2200元、2300元
3．已知一组数据：20 , 40 , 50 , 50 , 50 , 60 , 70 , 80，它们的平均数、中位数、众数的大小关系为( )
A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数 D．平均数＞中位数＝众数
4．在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是________分，众数是________分．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．若n个数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，中位数为b，众数为c，则n个新数据5x1，5x2，5x3，…，5xn的平均数为________，中位数为________，众数为________．
6．某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14，12，13，12，17，18，16.求这组数据的众数和中位数．
7．某电脑公司的王经理对2013年4月份电脑的销售情况做了调查，情况如下表：
每台价格(元) 6000 4500 3800 3000
销售量(台) 20 40 60 30
请你回答下列问题：
(1)2013年4月份该电脑公司销售电脑价格的众数是________，本月平均每天销售电脑________台；
(2)如果你是该公司的经理，根据以上信息，应该如何组织货源？
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8．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，如下表所示：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1)求这15名营销人员该月的销量的平均数、中位数、众数．
(2)假设销售部负责人把每名营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由．
参考答案
1．A 点拨：掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．这组数据中7出现的次数最多，故众数为7.
2．A 点拨：∵2400出现了4次，出现的次数最多，∴众数是2400元；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是(2400＋2400)÷2＝2400元．故选A.
3．D 点拨：∵平均数是52.5，中位数是50，众数是50，∴平均数＞中位数＝众数，故选D.
4．90 90 点拨：观察折线图可知，成绩为90的最多，所以众数为90分，
这组学生共10人，中位数是第5、6名的平均分，
读图可知，第5、6名的成绩都为90，故中位数为90分．
5．5a 5b 5c
6．解：在这组数据14，12，13，12，17，18，16中，
12出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是12册，
把这组数据从小到大排列为：12，12，13，14，16，17，18，
中间的数是14，
则这组数据的中位数是14册．
7．解：(1)3800 5
(2)根据各种价位的电脑销售量的比重，在组织货源时将6000元，4500元，3800元，3000元的电脑的比例分别设置为，，，.
8．解：(1)平均数为
＝320，
即平均数为320件．
中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的月销售额达不到320件，这说明320虽然是所给一组数据的平均数，但受到极端数值的影响，不能反映营销人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210既是中位数，又是众数，且是大部分销售员能达到的定额．23.4 用样本估计总体
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1．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级20名学生，将所得数据整理并制成下表：
睡眠时间(小时) 6 7 8 9
学生人数(个) 8 6 4 2
据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间是________小时．
2．小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是______．
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3．某校在“爱护地球 绿化祖国”的活动 ( http: / / www.21cnjy.com )中，组织学生开展植树造林．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：
植树数量(单位：棵) 4 5 6 8 10
人数 30 22 25 15 8
则这100名同学平均每人植树________棵；若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是________棵．
4．某油桃种植户今年喜获丰收，他从采摘的一批总质量为900千克的油桃中随机抽取了10个油桃，称得其质量(单位：克)分别为：
106，99，100，113，111，97，104， 112，98，110.
(1)估计这批油桃中每个油桃的平均质量；
(2)若质量不小于110克的油桃可定为优级，估计这批油桃中，优级油桃占油桃总数的百分之几？达到优级的油桃有多少千克？
5．王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各 ( http: / / www.21cnjy.com )栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
(1)分别计算甲、乙两山杨梅的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
(2)试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
6．经市场调查，某种优质西瓜质量为(5 ( http: / / www.21cnjy.com )±0.25)kg的最为畅销．为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验．现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下(单位：kg)：
A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 ( http: / / www.21cnjy.com )5.0 4.9 4.8 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
优等品数量(颗) 平均数 方差
A 4.990 0.103
B 4.975 0.093
(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好．
7．某班45名学生的体重记录如下(单位：千克)：
48，48，42，50，61，44，43，51，46，46，51，46，50，45，52，54，51，57，55，48，49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44， 41，49，53，52，49，61，58，52，54，50
(1)某人采用随机抽样的方法抽到了5名学生的体重如下：(单位：千克)48，51，57，56，58.请计算这个样本的平均数和方差．
(2)某人采用随机抽样的方法抽 ( http: / / www.21cnjy.com )到了10名学生的体重如下：(单位：千克)42，46，51，48，56，49，50，50，41，49.请计算这个样本的平均数和方差．
(3)请比较(1)和(2)的结果，你认为采用哪种随机抽样方式估计更可靠．
8．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500mL的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A.全部喝完；B.剩约；C.剩约一半；D.开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)参加这次会议的有多少人？在图(2)中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？(计算结果请保留整数)
(3)据不完全统计，该单位每年约有 ( http: / / www.21cnjy.com )此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用(2)中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500mL/瓶)有多少瓶？(可使用科学计算器)
参考答案
1．7 点拨：这20名学生每天的平均睡眠时间是＝7(小时)，据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间是7小时．
2．小李 点拨：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，则这两人中的新手是小李．
3．5.8 5800 点拨： ( http: / / www.21cnjy.com )平均每人植树的棵数为×(4×30＋5×22＋6×25＋8×15＋10×8)＝5.8(棵)；用样本估计总体，用样本平均数乘以总体中数据的总个数，估计该校学生的植树总数是5.8×1000＝5800(棵)．
4．解：(1)x＝×(106＋99＋100＋113＋111＋97＋104＋112＋98＋110)＝105(克)．由此估计这一批油桃中，每个油桃的平均质量为105克；
(2)×100%＝40%，900×40%＝360(千克)．
估计这一批油桃中优级油桃占总数的40%，其质量为360千克．
5．解：(1)x甲＝40，x乙＝40，
总产量为40×100×98%×2＝7840(千克)．
(2)s＝×[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38(千克2)，
s＝×[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24(千克2)，
∴s>s.所以乙山上的杨梅产量较稳定．
6．解：(1)16 10
(2)从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好；
从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；
从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术．
7．解：(1)x1＝×(48＋51＋57＋56＋58)
＝54(千克)，
s＝×[(48－54)2＋(51－54)2＋(57－54)2＋(56－54)2＋(58－54)2]＝14.8.
(2)x2＝×(42＋46＋51＋48＋56＋49＋50＋50＋41＋49)＝48.2(千克)，
s＝×[(42－48.2)2＋(46－48.2)2＋…＋(41－48.2)2＋(49－48.2)2]＝17.16.
(3)采用第(2)种随机抽样的方式更可靠，因为(2)中的样本容量更大一些．
8．解：(1)根据所给扇形统计图可知，剩约的人数是总人数的50%，
∴25÷50%＝50，参加这次会议的总人数为50人．
∵×360°＝36°，
∴D所在扇形圆心角的度数为36°，
补全条形统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：
÷50
＝÷50≈183(毫升)；
(3)该单位每年参加此类会议的总人数约为2400人～3600人，则浪费矿泉水约为3000×183÷500＝1098(瓶)．23.4 用样本估计总体
能力点1用样本的平均数来估测总体的平均数
题型导引当一组数据具有充分的代表性时，可以利用样本的平均数来估计总体的平均数，进而求出总量．
【例1】“珍惜能源，从我做起，节约用 ( http: / / www.21cnjy.com )电，人人有责”．为了解某小区居民节约用电情况，物业公司随机抽取了今年某一天本小区10户居民的日用电量，数据如下：
用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
日用电量(度) 4.4 4.0 5.0 5.6 3.4 4.8 3.4 5.2 4.0 4.2
(1)求这组数据的平均数；
(2)已知去年同一天这10户居民的平均日用电量为7.8度，请你估计，这天与去年同日相比，该小区200户居民这一天节约了多少度电？
分析：(1)用算术平均数公式可计算出平均数；(2)由10户居民的平均日用电量估计该小区200户居民的平均日用电量，所以该小区节约的用电量等于用电户数与两年同一天的日平均用电量之差的积．
解：(1)这组数据的平均数为：
x＝
＝
＝4.4(度)．
(2)200×(7.8－4.4)＝680(度)，即该小区200户居民这一天大约节约了680度电．
规律总结根据平均数的定义可知x＝，然后由样本平均数估计总体平均数．
变式训练
1．某班主任老师想了解本班学生平均 ( http: / / www.21cnjy.com )每月有多少零用钱，随机抽取了10名同学进行调查，他们每月的零用钱数目是(单位：元)10，20，20，30，20，30，10，10，50，100，则该班学生每月平均零用钱约为( )
A．10元 B．20元 C．30元 D．40元
2．李大伯有一片果林，共80棵果树，某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取2棵果树共摘得果子的质量分别为(单位：kg)：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25， 0.24，0.26， 0.26，0.25，0.23，以此计算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为多少？
分析解答
1．解析：x＝(10＋20＋20＋30＋20＋30＋10＋10＋50＋100)÷10＝30，因此可以估计该
班学生每月平均零用钱为30元，故选C.
答案：C
2．分析：先求出2棵果树共摘得果子的平均质量，即可认为是这批果子的单个质量，两棵果树所摘果子总质量平均数约等于每棵树的产量，然后乘以80，即可求出这批果子的总质量．
解：由题意得(0.28＋0.26＋0.24＋0.23＋0.25＋0.24＋0.26＋0.26＋0.25＋0.23)÷10＝0.25(kg)，∴这批果子的单个质量约为0.25kg.
0．25×10÷2×80＝100(kg)，
∴这批果子的总质量约为100kg.
能力点2利用样本的方差对总体进行决策
题型导引根据样本中的方差估测总体的离散程度，进而对问题进行决策．
【例2】为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度如下表所示(单位：厘米)
编号 1 2 3 4 5
甲 12 13 15 15 10
乙 13 14 16 12 10
请你评价哪个品种出苗更整齐．
分析：根据方差的特征可知，方差是反映一组数据稳定程度的量，要判断哪个品种出苗更整齐，只要计算样本的方差，然后比较方差的大小即可说明问题．
解：x甲＝×(12＋13＋15＋15＋10)＝13(厘米)，
x乙＝×(13＋14＋16＋12＋10)＝13 (厘米)，
s＝×[(12－13)2＋(13－13)2＋(15－13)2＋(15－13)2＋(10－13)2]＝3.6，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(12－13)2＋(10－13)2]＝4，
∵s＜s，∴甲种水稻出苗更整齐．
规律总结解决问题时应熟练掌握方差的计算方法：先计算平均数，然后再根据方差的计算公式进行计算，并且可以利用样本的方差估计总体的方差．
变式训练
省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表(单位：环)：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是________环，乙的平均成绩是________环；
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
(3)根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
解：(1)9；9.
(2)s＝×[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2]
＝×(1＋1＋0＋1＋1＋0)＝.
s＝×[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2]
＝×(1＋4＋1＋1＋0＋1)＝.
(3)推荐甲参加全国比赛 ( http: / / www.21cnjy.com )更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．23.3 方差
基础巩固JICHU GONGGU
1．已知甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差s＝，乙组数据的方差s＝，则( )
A．甲组数据比乙组数据的波动大
B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大
D．甲乙两组数据的波动大小不能比较
2．一组数据－2，－1，0，1，2的方差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是( )
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
4．已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是( )
A．2.8 B． C．2 D．5
5．甲、乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下(单位：吨/公顷)
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
经计算，x甲＝10，x乙＝10，试根据这组数据估计________种水稻品种的产量比较稳定．
6．把一组数据中的每一个数据都减去100，得一组新数据，若求得新一组数据的平均数是4，方差是4.则原来一组数据的方差为________．
7．若甲、乙两个样本的数据如下：
甲：10，9，11，8，12，13，10，7
乙：7，8，9，10，11，11，12，12
用计算说明哪个样本波动较小．
能力提升NENGLI TISHENG
8．水果销售公司去年3至8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣两种水果．如图是两种水果销售情况的折线统计图．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)分别求这两种水果销售量的平均数和方差；
(2)请你从以下两个不同的方面对这两种水果的销售情况进行分析：
①根据平均数和方差分析；
②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析．
参考答案
1．B 点拨：“两组数据的平均数都是5”是个无关条件，因为s＜s，所以乙组数据比甲组数据的波动大，应选B.
2．B 点拨：可直接利用方差公式进行计算，也可借助计算器来求．
3．B 点拨：根据方差的意义可作出 ( http: / / www.21cnjy.com )判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．A
5．甲 点拨：甲种水稻产量的方差是：
×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
乙种水稻产量的方差是：
×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244.
∴0.02＜0.244，∴产量比较稳定的水稻品种是甲．
6．4
7．解：先计算样本平均数，得x甲＝10，x乙＝10.
s＝×[02＋(－1)2＋12＋(－2)2＋22＋32＋02＋(－3)2]
＝3.5，
s＝×[(－3)2＋(－2)2＋ (－1)2＋02＋12＋12＋22＋22]＝3.
∵s＞s，∴样本乙波动较小．
8．解：(1)x吐鲁番葡萄＝(4＋8＋5＋8＋10＋13)÷6＝8，
s＝[(4－8)2＋(8－8)2＋…＋(13－8)2]÷6＝9，
x哈密大枣＝(8＋7＋9＋7＋10＋7)÷6＝8，
s＝[(8－8)2＋(7－8)2＋…＋(7－8)2]÷6＝.
(2)①∵x吐鲁番葡萄＝x哈密大枣，∴吐鲁番葡萄和哈密大枣的销售情况接近，∵s＞s，
∴哈密大枣的销售情况较稳定；
②∵吐鲁番葡萄的销售情况的折线呈上升趋势，而哈密大枣的销售情况的折线呈下降趋势，
∴从折线图上看两种水果销售量的趋势，吐鲁番葡萄的销售情况较好．
